新整理三角形四心向量形式的结论及证明附练习答案

1、-WORD格式-专业资料-可编辑-1-A 4 A 冷 *' 三角形“四心”向量形式的充要条件应用W*f»在学习了平面向量一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有 关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：知识点总结1=S ABC3 故 OA OBOC 0 ；1)O 是 ABC 的童心 OA OB OC 0 ；S BOC S AOCS AOB若O是ABC的童心则 吕 吕1PG ( PA PB PC) G 为 ABC 的重心.丄32) O 是 ABC 的垂心-OA OB OB OC OC OA ；S : S : S:若O是ABC (非

2、直角三角形)的垂心，则bocaoc aob tan A tan B tan C故 tan AOA tan BOB tan COC 02 2 23) O 是 ABC 的外心 | OA | | OB | | OC |(或 OA OB OC )若O是一ABC的外心 S : S s 则 boc aoc aob sin BOC sin AOC sin AOBsin2A : sin2B : sin2C故 sin2AOA sin2BOB sin2COC 04)O是内心ABC的充要条件是ABBAOA(AC)OB (BC ) OC(CACB )0A| AB |AC| BA | BC | CA | CB |e ,

3、 e ,e引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记AB, BC,CA的单位向量为12ABC内心的充要条件可以写成：O A ( e i e3 ) O B(eie2 ) O C (e23，则刚才O是es ） 0O是ABC内心的充要条件也可以是aOA bOB cOC若O是ABC的内心，则SBOC S AOCaob a: b:故 aOA化 bOB cOCf 0 或 sinAOAsinBOB sinCOC 0 ；ABC的内心；| AB | PC | BC | PA | CA | PB 0 PAB丄 一向量（AC ）（0）所在直线过 ABC的内心（是 BAC的角平分| AB | | AC | 蟲於&

4、Z线所在直线）；二.范例（一） 将平面向量与三角形内心结合考查例1 . O是平面上的一定点，AB AC、满足OP OA （）AB ACA,B,C是平面上不共线的三个点，动点CB，0, 则P点的轨迹一定通过 ABC的（A ）外心（B）内心（C）重心（D）垂心-WORD格式-专业资料-可编辑-AB _ _解析：因为是向量 AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为ei e2，又和ABOP OA AP，则原式可化为 AP（ e1 e2 ），由菱形的基本性质知AP平分 BAC，那么在ZABC 中，AP平分 BAC，则知选B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生” ，首先FAB是什么？没见过！

5、想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起， 解这道题一点问题也没有。（二 ）将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例2 . H是. ABC所在平面内任一点，一 HA.HB _HB .HC二HC HA宀 点H是厶ABC的垂心. 丄=*一=U*=u丄由 HA HB HB HC HB （HC HA） 0 HB AC 0 HB AC ,同理HC AB , HA ' BC .故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（证略）例3.（湖南）P是厶ABC所在平面上一

6、点，若 PA PB PB PC PC PA ,贝U P是厶ABC的（D ）A .外、心' * B 广内心、* C 重心'D .垂心'解析:由 PA PB PBP得 PAPB PBRC二 0 .即 PB （PA PC） 0,即 PB CA 0 贝U PB CA,同理 PA BC, PC AB 所以P为ABC的垂心.故选D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等等相关相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直知识巧妙结合。变式：若H ABC所在平面内一点，且 则点H是厶ABC的垂ri

7、汁|2=| 才一1 HA !bC 1 HB cAHCAB2心证明:222 2HA HB CA BC(HA HB ) BA (CA CB)BA得(HA HB CA CB) BA 0即(HC HC )BA0/.丄AB HC丄±同理AC HB ,BCHA故H是厶ABC的垂心图6（三）将平面向量与三角形重心结合考查 例4.G是厶ABC所在平面内一点，心.-“重心定理”-GA GB GC =0 点G是厶ABC的重证明作图如右，图中 GB GC GE连结 BE 和 CE，贝U CE=GB , BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点，AD为BC边上的中线-WORD格式-专业资料-可编辑-将

8、GB GC GE 代入 GA GB GC =0,得GA EG =0 GA GE 2GD，故G是厶ABC的重心.（反之亦然（证略）例5. P是厶ABC所在平面内任一点.G是厶ABC的重心证明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG ( AG BG CG)V G是厶ABC的重心. GA GB GC =0 AG BG CG =0，即 3PG PA PB PC_1由此可得PG ( PA pb PC).(反之亦然(证略)3PG1 (PA PB PC).3(PA PB PC)例6若O 为ABC内一点，OA OB OC 0，贝U O 是 ABC 的（A .内心i* f B .外心Qc .垂心D .

9、重心解析：由OA OB OC 0得OB OC OA，如图以 OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则 "1 F tiltOB OC OD，由平行四边形性质知 OEod , OA 2 OE ,同理可证其它两边上的这个性质，2所以是重心，选D。点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三2 一 一角形中线的内分点，所分这比为。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。变式：已知D, E, F分别为 ABC的边BC , AC , AB的中点.贝U AD BE CF 0 .证明:3变式引申：如

10、图4,平行四边形1则 PO （ PA PB PC PD ）.4*电证明：ABCD的中心为O , P为该平面上任意一点，POPO 1 ( PA PC ) , PO21(PB PD),2（PA PB PC PD）.4（1 ）证法运用了向量加法的三角形法则，点评：证法2运用了向量加法的平行四边形法则.若P与O重合，则上式变 OA OB OC OD（四）.将平面向量与三角形外心结合考查ijp JiADBECF)BE32CFGBGCGA GBGCijnrasAADBE CF0 AD0GA23(GA GB GC )2)的外心，选B例7若O 为 ABC内一点，OA OB OC ,贝U O 是ABC 的(AA

11、A 内心B 外心C 垂心D 重心解析：由向量模的定义知 O到ABC的三顶点距离相等。故 O 是ABC 点评：本题将平面向量模的定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。(五)将平面向量与三角形四心结合考查例 8 已知向量 OPi , OP2 , 0P3 满足条件 OPi + OP2 + OP3 =0, |OPi | = |OP2 |=| 0P3 1 = 1 ,求证 Pi 2 3是正三角形.(数学第一册(下)，复习参考题五B组第6题)P P证明 由已知OP1 + OP2 =- OP3，两边平方得 OP1OP2 = 1 ,同理 OP2 OP3 = OP3 OP1 =1 , /. | P1P2

12、 | = | P2 P3 | = |P3 Pi - |= 3，从而 P1P2 P3 是正三角形OP1 + OP2 + OP3 =0 且I OP1 | = |OP2 | = |OP3 |.反之，若点O是正三角形 P1 23的中心，则显然有P P即O是厶ABC所在平面内一点，OP1 + OP2 + OP3 =0 且 |OP1 | = |OP2 | = |OP3 I 点 O 是正 P1P2 P3 的中心.例9 在 ABC中，已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且 QG:GH=1:2。【证明】：以A为原点，AB所在的直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系C(X2,y

13、2) , D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，则有：X1 X1 x y2yD (,0)、E (2,)、F (x 2, 2 )2 2 2 2 2_ X1 X2 y2H (X 2 , y 4 ) , G (,)33X1由题设可设Q ( ' , y 3 )、2AH (x 2 , y 4 ) QF(x 2 X1y2y 3 )222BC (x 2 X1 , y 2 )AH BCAH BC x 2 (x 2 一 x 2 ( x 2 X 1 ) y 4壬 。 公21) y 2 y 4 0FQAD设 A(0,0)、B (X1,0 )、C(x 2,y2)*B(X1 ,0QF AC一x=QF AC x

14、 2( 22x 1 )X1 ” 2 (2y 22 QH ( x 2耳_X2QG (2 x 12x3 x( 2 ,12X1，y 4 y 3 )2x x(222x23x 2 ( x 2 x 1 )2y 222)1 63x 2 (x 26y 2x 1 y 2 x 2 ( x 26 “32y 2x)y1 2x x1 2 尸一( 3x 2 ( x632 J22y 2y2)2=®QH即 QH =3QG，故 Q、G、H 三点共线，且 QG : GH=1 : 2【注】：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”

15、和“数”紧密地结合在一起，从 而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。例10 若0、H分别是 ABC的外心和垂心.LI f求证 OH OA OB 0C .证明"若4 ABC的垂心为外心为"O,如图r _连BO并延长交外接圆于D，连结AD , CD. I AD AB , CD BC 又垂心为 H, AH BC , CHAB , AH / CD , CH / AD ,四边形AHCD为平行四边形， .AH DC DO OC , 故 OH OA AH OA OB OC .外心、重著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”一一 心、垂心的位置关系

16、：(1 )三角形的外心、重心、垂心三点共线一一“欧拉线”；(2 )三角形的重心在“欧拉线”上，且为外一一垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的 距离是重心到外心距离的2倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例11 .设O、耳、H分别是锐角 ABC的外心、重心、垂心.亠* 求证 OG OH37聘-T:二 半1证明按重心定理 G是厶ABC的童心 OG (OA OB OC)3按垂心定理OH OA OB OC由此可得 OG OH .3P满足二、与三角形的“四心”有关的咼考连接题及其应用黑入1OP OA(AEAC |),0,，则动点P的轨迹一定通过厶ABC的()ABAC(A)外心

17、(B)内心/A/ /(C)重心(D)垂心/T*/AB -AC事实上如图设AE,AF* i 二都是单位向量ABAC例1 :( 2003年全国高考题)O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点C易知四边形AETF是菱形故选答案BOA OB OB OC OC OAO ABC所在平面内一点，如 例2 : ( 2005年北京市东城区高三模拟题)果 则O必为 ABC的( )(A) 外心(B) 内心(C) 重心(D) 垂心事实上OA OB OB OC(OA OC) OB 0 CA OB 0OB 丄 CA故选答案D例3 :已知O为三角形2 2 2ABC所在平面内一点，且满 足2 2 2-WORD格

18、式-专业资料-可编辑-OABC OB CA OC AB，则点O是三角形 ABC的（ ）-WORD格式-专业资料-可编辑-(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心事实上由条件可推出 OA OB OB OCOC OA故选答案 D例4 :设O是平面上一定点，ATB-C 是平面上不共线的三点，f动点P满足OP OA(ABAC),AB cos B AC cosC0,则动点P的轨迹一定通过厶ABC 的( ). 1厂外心！(耳)内p(C)重心| (D)垂心1 Ab1 AC(A)事实上 ()AB cosB AC cosCBC(BC ABC) 0故选答案D例5 : 2005 年全国(I )卷第15 题“ ABC

19、的夕卜接圆的心为O，两条边上的OH m(OA OBOC)，则实数m =先解决该题:作直经BD，连DA，DC ,有 OBOD，DA AB，AH BC , CH AB，故 CH / DA , AH / DCD CO CO DO CO二 OH-OAAHOADC故OHOAOB-4OC ,所以m评注：外心的向量表示可以完善为:故AHCD是平行四边形，进而AH DC，又DDC的交点为H ,BC若O为ABC的外心，H为垂心，则OH OA OBJiOC。其逆命题也成立。已知向量 OP1 , OP2 , OP3 满足条件 OP1 + OP2 + OP3 =0, |OP1 |=| OP 2 |=| OP 3 |=

20、1 ,求证: P1 P2P3是正三角形.(数学第一册(下)，复习参考题五 B组第6题)证明:由已知OP1 + OP2 =- OP3，两边平方得 OP1 OP2 =1 ,2同理OP OP = OP OP =2334,二 | P P |=| P P|=|PP |= 3，从而 P1P2P3 是正三角形12122 331反之，若点 O是正三角形P1P2P3的中心，则显然有OP1 + OP2 + OP3 =0 且 | OP1 |=| OP2 |=|OP3|,即卩O是厶ABC所在平面内一点，OP OP1 + 2 +OPOP3 =0 且 |1OP OP1 = 12 | = |3 I1 2 3的中心.点O是正

21、 P P P1.已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足OP =3( 2OA12OB +2OC ),-WORD格式-专业资料-可编辑-一 =-ABCP 一定为三角形一的B则点A AB边中线的中点b abC线的三等分点非重心C重心）.D AB边的中点分析：取AB边的中点1 1 1M，贝U OA OB2OM ,由 OP =3$2 OA + 2OB +2OC ）可得 3 OP 3OM 2MC ,MP 2 MC ,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心32 在同一个平面上有ABC及一点0满足关系式：oa2+bc2=ob2+ca2 = OC2 + AB2,则0为4 ABC的（D ）A.外心B.内心C.重心D .垂心3 已知 ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点 P满足：pa pb PC 0，则P ABC的（C ）A.外心飞抵JB.内心C重心D.垂心4 已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足：OP OA（ AB AC），贝u P的轨迹一定通过厶ABC的（C ）A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心5 已知 ABC , P为三角形所在平面上的动点，且满足：PA PC PA PB PB PC 0，则P点为三角形的（D ）A.外