线性矩阵不等式在控制理论中的应用及发展

1、第33卷第11期1999年11月上海交通大学学报JOU线性矩阵不等式在控制理论中的应用及发展胡中骥,施颂椒,翁正新(上海交通大学自动化系,上海200030)摘要:,非线性控制、H控制等,(利用最近发展起来的内点算法,ILMI问题,并用图示的方法说明了LMI,即其与已有的一些重要的控制原理,.然后,列举了一些具有代表性的用LMI求解控制问,特殊非线性系统的H综合,线性参数时变系统的增益调度.,对LMI技术作了展望,如用于时滞系统、随机系统的分析和综合问题的研究等.关键词:线性矩阵不等式;凸优化;鲁棒控制;动态耗散系统理论中图分类号:TP202.1文献标识码:AApplicationandDeve

2、lopmentofLinearMatrixInequalityinControlTheoryHUZhong2ji,SHISong2jiao,WENGZheng2xinDept.ofAutomation,ShanghaiJiaotongUniv.,Shanghai200030,ChinaAbstract:Theaimofthispaperistoshowthataverywidevarietyofanalysisandsynthesisproblemsincontroltheoriessuchasrobustcontrol,nonlinearcontrol,Hcontrolandsoforthc

3、anbereducedtothreestandardLinearMatrixInequality(LMI)problemswhichcanbesolvednumericallyandefficientlyusing.ThethreebasicLMIproblemswerepresented.Andthetherecentlydevelopedinterior2pointmethodsreasonwhyitcanbeusedinsuchawidevarietyofcontrolproblemswasilluminatedwithafigure,whichshowstherelationofLMI

4、withsomebasiccontrolprinciplessuchassmallgaintheoremandpositiverealtheorem.AlistofnewresultsofsomerepresentativecontrolproblemswhichappealtoLMIforsolutionwasgiven,includingthemultiobjectivesynthesisofLTI(LinearTimeInvariant)systems,theHrobustcontroldesignforsomespecialnonlinearsystemsandthegainsched

5、ulingofLPV(LinearParameter.SomepromisingcontrolproblemswhichcanbesolvedwithLMItechniquewereVarying)systems.presentedsuchastherobustcontrollerdesignforsometimedelaysystemsandstochasticsystemsKeywords:linearmatrixinequality(LMI);convexoptimization;robustcontrol;dissipativedynamicsystemtheory1LMI应用的基本问

6、题与控制理论相关的LMI问题的研究已有相当收稿日期:1998211226第11期胡中骥,等:线性矩阵不等式在控制理论中的应用及发展1459制问题变得实用有效.基本的LMI问题分三类2:严格LMI可解性问题(LMIP);特征值问题(EVP);广义特征值问题(GEVP).控制理论中的一些性能指标、稳定性判据等量化条件之所以可以转化为LMI标准问题,是由于一方面LMI能表示范围广泛的不同类凸约束,另一方面Lyapunov方法可以很方便地引出凸或拟凸问题.除此之外,图1对常用的鲁棒控制方法,如小增益定理、H的综合方法等与LMI技术的较为深层的关系进行了说明.其中,正实 有界实定阵扩展技术,即求构造一个

7、部分项已知的矩阵,并使它满足一定的性质,主要有矩阵完成引理.(2)LFT(LinearFractionTransformation)和多胞(polytopy)表示方法.系统不确定块的LFT表示8,9,是把系统各环节的反馈互联看成是双端口网络的互联,从而在使用LMI技术对系统变换进行描述时,更为直观,器结构.,由于多胞是凸,在求解控制器时,如,.因而能大大减少计.理3作为桥梁,起来,而且,它与LMI清晰的阐述,I3LMI在控制理论中的应用举例(1)用于LTI系统的鲁棒多目标分析和综图1LMI与一些控制原理的关系Fig.1RelationbetweenLMIandsomecontrolprinci

8、plesLMI标准问题的数值解法有多种,Beck在文献6中综述了这些方法.它们的共同思路都是把.主要的LMI求解LMI问题看作凸优化问题处理算法有替代凸投影算法、椭球算法及内点法.内点法又分中心点法、投影法、原始2对偶法.Nestorov等1对不同内点算法的计算复杂性界限给出了理论分析.从实验验证1上看,目前最好的内点法是7.投影算法跟其他方法Nemiroskii等的投影算法合2.基于Lyapunov方法和LMI技术可以统一处理LTI系统稳定、鲁棒性和性能指标问题,且得到的一些判据可为充要条件.统一处理这些鲁棒性能问题的优点是,一旦需要进行多目标综合,就可先把各性能指标与其相应的LMI可解条件

9、一一对应,然后利用LMI的线性特性,把与各目标相对应的.基于这一LMI像搭积木一样搭成统一的约束框架思路,目前已有一些重要的结果,如LTI系统用LMI表示的H、H2性能指标及极点配置的充要条件等10.相比,有如下优点:不需要给出迭代的初始可行解,即不另需独立的算法对初始可行解进行求解;它能够扩展到求解拟凸问题,即LMI约束下广义特征值问题;它能够充分利用有块对角结构的LMI问题的结构信息,减少保守性;整个过程可以给以清晰的几何图示进行说明,易于理解.目前基于MATLAB环境的LMI求解软件包采用的就是这种方法.2LMI用于控制问题常用的技术2,8(1)矩阵操作技术.用于把各种判据最终化为.矩阵

10、不等式的等价变换,主要有Schur补引LMI理;有约束条件矩阵不等式转化为无约束条件矩阵不等式,主要有S2Procedure引理;矩阵变量消去技术,主要有双边投影引理和Finsler引理;矩1460上海交通大学学报第33卷(NonLinearMatrixInequalities)来处理这些问题.一类特殊非线性是Lure和积分二次型非线性.文献13,20研究一般非线性系统的H控制问题,得到的结果都需归结到HJI和HJE的求解.但对一般的偏微分矩阵方程和不等式,数学上并无有效的求解算法.郭雷等15发现Lure非线性系统,本文作者发现具有积分二次型非线性环节的非线性系统,其H其中与LMI相关的主要是

11、后两种方法.14,17LMI计算工.DifferentialInclusion)的非线性.某些非线性系统全局线性化后,属于相应特定的线性微分包含.由于线性微分包含的线性特性,处理其鲁棒稳定问题较为方便,因而通过处理作为父集的线性微分包含来研究作为子集的一些非线性系统的分析和综合问题,不失为一种行之有效的方法.文献21已有这方面的相关结果.本文作者曾对属于某一多胞型线性微分包含的一类非线性系统,通过扩展双边投影引理和Finsler引理和进行矩阵变换,基于LMI解决了此类系统基于观测器的输出反馈控制器设计问题.其相应鲁棒H设计问题还需继续研究.用于动态时滞系统的研究.在时滞系统的稳定性、鲁棒性分析

12、和综合问题的一些新结果中,要么较少考虑系统同时具有状态和输入时滞22,要么所用方法比较特殊.其次,得到的判别条件往往与时滞无关,这样可能导致较大保守性.再次,由于时滞系统是无限维系统,其特征方程是超越的,而非代数的,故原有的对线性非时滞系统而发展起来的一整套H.一旦储存函数找到,可以它非线性矩阵不等式(NonLinearMatrixInequalities)方法由Lu等16提出.在文献19,20.但对H非线性问题可以化为逐点求解LMIs问题空间如何搜索并逐点求解;有没有一个最优标准,使得这一搜索最优;求得了采样点处的LMIs解,又如何合成一个光滑的矩阵函数,仍有待于进一步研究.16频域设计方法

13、不一定能直接套用于线性时滞系统的分析.但基于动态耗散理论和微分对策原理,可用状态空间法处理时具有状态和输入时滞的线性定常系统的H4LMI用于控制系统分析和综合问镇定问题,其状态反馈和基于观测器题的展望LMI技术进一步用于处理控制系统的分析和综合问题存在两方面的推力:即对控制本身与各种控制策略的深入理解和工业现场对控制的实时要求.LMI技术至少在以下一些方向可进一步研究:线性系统的仿射集上的最优化问题;具有LTI和LPV扰动的非线性系统的分析;内插问题;最优控制的逆问题;基于行为方法的系统建模和辨识问题;多判据LQG问题;非凸多判据二次问题.下面结合作者自己的一些研究工作,简述时滞系统和随机系统

14、LMI技术在特殊非线性系统、稳定性和鲁棒性中的应用和展望.的输出反馈设计都可得到与时滞参数相关的判别条件,而且部分结果可以化为Riccati方程和LMI来求解.第11期胡中骥,等:线性矩阵不等式在控制理论中的应用及发展10HillD,MoylanP.14615结论本文综述的各类线性和非线性系统的LMI分析和综合方法,其共性在于,处理控制问题的许多方法,如Lyapunov方法、正实 有界实定理、动态耗散理论都涉及到矩阵等式和不等式的各种操作和转换.通过某些技巧,其中一些矩阵等式或不等式又可以化为统一的、标准的LMI形式.其个性在于,针对不同控制系统模型,不同控制目标,控制过程中能获取的关于系统及

15、控制器不同程度的信息,如何充分利用信息,何充分扩展LMI技术,析,.参考文献:1NesterovY,NewiroskyA.Interior2pointpolynomialmethodsinconvexprogrammingM.Philadelphia,PA:SIAM,1994.2BoydS,GhaouiLE,FeronE,etal.LinearMatrixInequalitiesinsystemandcontroltheoryM.Philadelphia,PA:SIAM,1994.3AndersonBDO,VongpanitlerdS.Networkanalysisandsynthesis2a

16、modernsystemstheoryapproachM.EnglewoodCliffsNJ:Prentice2Hall,1973.4KarmarkarN.Anewpolynomial2timealgorithmforlinearprogrammingJ.Combinatorica,1984,4(4):373395.5DoyleJC,PakardA,ZhouK.LMIs,andMiuA.1232.6BeckC.ComputationalissuesinsolvingLMIsA.InProcIEEEConferDecisionandControlC.ReviewofLFTs,InProcIEEE

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20、88.18HillDJ,MoylanPJ.Dissipativedynamicalsyste2ms:basicinputou2tputandstatepropertiesJ.JandControlC.Brighton,England,1991.1227357.FranklinInst,1980,30(9):32719VanderSchaft.L2gainanalysisofnonlinearsystemsandnonlinearstatefeedbackH770784.20IsidoriA,AstolfiA.Disturbanceattenuationandco2ntrolviameasurementfeedbackinnonlinearsystemsJ.IEEETransanctionsonAutomaticControl,1992,37(9):12831293.21KamenetskiiVA,PyatnitskiiYS.Aniterativeme2thodofLyapunovfunctionconstra