高三数学第一轮总复习 10.6相互独立事件和独立重复试验（第1课时）

1、1第 十 章第 十 章排列、组合、二排列、组合、二项式定理和概率项式定理和概率210.6 相互独立事件和独立重复试验相互独立事件和独立重复试验考考点点搜搜索索相互独立事件的概念，相互独立事件相互独立事件的概念，相互独立事件同时发生的概率，以及有一个发生的概同时发生的概率，以及有一个发生的概率率独立重复试验的概念，在独立重复试验的概念，在n次独立重次独立重复试验中事件复试验中事件A恰好发生恰好发生k次的概率次的概率3高高考考猜猜想想1. 利用相互独立事件和独立重复试利用相互独立事件和独立重复试 验的概率公式，求随机事件的概率验的概率公式，求随机事件的概率.2. 结合等可能性事件、互斥事件解结合等

2、可能性事件、互斥事件解决综合性的概率问题决综合性的概率问题.3. 概率条件的分析与转化概率条件的分析与转化.4 1. 事件事件A(或或B)是否发生对事件是否发生对事件B(或或A)发发生的概率生的概率_，这样的两个事件叫，这样的两个事件叫做相互独立事件做相互独立事件. 2. 事件事件A、B是相互独立事件，它们同是相互独立事件，它们同时发生记作时发生记作_.两个相互独立事件同时两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的发生的概率，等于每个事件发生的概率的_，即，即P(AB)=_.AB没有影响没有影响积积P(A)P(B)5 3. 一般地，如果事件一般地，如果事件A1，A2，An相相互独

3、立，那么这互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的于每个事件发生的概率的_，即，即P(A1A2An)=_. 4. 如果在如果在n次重复试验中，每次试验结果次重复试验中，每次试验结果的概率都的概率都_其他各次试验的结果，其他各次试验的结果，则称这则称这n次试验是独立重复试验次试验是独立重复试验. 5. 如果在如果在1次试验中某事件发生的概率为次试验中某事件发生的概率为p，那么在，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好次独立重复试验中这个事件恰好发生发生k次的概率为次的概率为Pn(k)=_.积积P(A1)P(A2)P(An)不依赖于不依赖于-(1-)kk

4、n knC pp6 6. 一般地，对相互独立事件一般地，对相互独立事件A，B，有，有 (1)P(A+B)=_； (2)P(A+B)+P(AB)=_. 盘点指南：盘点指南：没有影响；没有影响； AB；积；积； P(A)P(B)； 积；积；P(A1)P(A2)P(An)； 不依赖于；不依赖于； ；P(A)+P(B)-P(AB)；1P(A)+P(B)-P(AB)1-(1-)kkn knC pp7 将一枚硬币连掷将一枚硬币连掷5次，如果出现次，如果出现k次正面次正面的概率等于出现的概率等于出现k+1次正面的概率，那么次正面的概率，那么k的的值为值为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解：解

5、：由由 ，得得 ，即，即k+(k+1)=5，所以，所以k=2.C5-115- -155111( ) (12)( )( )222kkkkkkCC155kkCC8 一道数学竞赛试题，甲解出它的概率一道数学竞赛试题，甲解出它的概率为为12，乙解出它的概率为，乙解出它的概率为13，丙解出它的，丙解出它的概率为概率为14，由甲、乙、丙三人独立解答此，由甲、乙、丙三人独立解答此题只有一人解出的概率为题只有一人解出的概率为( ) A. 49 B. C. D. 59 解：解： .B112413241231131211123423423424P 9 一出租车司机从饭店到火车站途中有六一出租车司机从饭店到火车站途

6、中有六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是事件是相互独立的，并且概率都是 .那么那么这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率是岗的概率是 _. 解：解：因为这位司机在第一、二个交通岗因为这位司机在第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以所以 .134271114(1- ) (1- )33327P 10 1. 甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束局者获得这次比赛的

7、胜利，比赛结束.假设在一局中，甲获胜的概率为假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获，乙获胜的概率为胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立，各局比赛结果相互独立.已已知前知前2局中，甲、乙各胜局中，甲、乙各胜1局局.求再赛求再赛2局结束局结束这次比赛的概率这次比赛的概率.题型题型1 求相互独立事件发生的概率求相互独立事件发生的概率11 解：解：记记“第第i局甲获胜局甲获胜”为事件为事件Ai(i=3,4)，“第第j局乙获胜局乙获胜”为事件为事件Bj(j=3,4). 设设“再赛再赛2局结束这次比赛局结束这次比赛”为事件为事件A， 则则A=A3A4+B3B4，由于各局比赛结果相，由于各局比赛结果相互

8、独立，互独立， 故故P(A)=P(A3A4+B3B4) =P(A3A4)+P(B3B4) =P(A3)P(A4)+P(B3)P(B4) =0.60.6+0.40.4=0.52. 所以再赛所以再赛2局结束比赛的概率为局结束比赛的概率为0.52.12 点评：点评：相互独立事件的概率求解，先相互独立事件的概率求解，先将整个事件进行划分：即分成各个基本事将整个事件进行划分：即分成各个基本事件，这与计数中的分步计数原理类似，划件，这与计数中的分步计数原理类似，划分的标准是这些基本事件发生的概率相互分的标准是这些基本事件发生的概率相互之间是没有影响的；然后求得各基本事件之间是没有影响的；然后求得各基本事件

9、的概率之积，即为所求事件的概率的概率之积，即为所求事件的概率.13 在一天内甲、乙、丙三台设在一天内甲、乙、丙三台设备是否需要维护相互之间没有影响备是否需要维护相互之间没有影响，且且甲、乙、丙在一天内不需要维护的概率甲、乙、丙在一天内不需要维护的概率依次为依次为0.9、0.8、0.85.则在一天内三台设则在一天内三台设备都需要维护的概率是多少？备都需要维护的概率是多少？14 解：解：设甲、乙、丙三台设备在一天内设甲、乙、丙三台设备在一天内不需要维护的事件分别为不需要维护的事件分别为A、B、C， 则则P(A)=0.9，P(B)=0.8，P(C)=0.85. 三台设备都需要维护的概率三台设备都需要

10、维护的概率 =(1-0.9)(1-0.8)(1-0.85)=0.003. 答：答：三台设备都需要维护的概率为三台设备都需要维护的概率为0.003.1()( )( )( )PP A B CP A P B P C 15 2. 某学生在上学路上要经过某学生在上学路上要经过4个路口，假个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是到红灯的概率都是13，遇到红灯时停留的时，遇到红灯时停留的时间都是间都是2 min.求这名学生在上学路上因遇到红求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是灯停留的总时间至多是4 min的概率的概率. 解：解：设设“

11、这名学生在上学路上因遇到红这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间至多是灯停留的总时间至多是4 min”为事件为事件B，“这这名学生在上学路上遇到名学生在上学路上遇到k次红灯次红灯”为事件为事件Bk(k=0,1,2). 题型题型2 求独立重复事件中事件求独立重复事件中事件A 恰好发生恰好发生k次的概率次的概率16 则由题意，得则由题意，得 ， , . 由于事件由于事件B等价于等价于“这名学生在上学路这名学生在上学路上至多遇到两次红灯上至多遇到两次红灯”， 所以事件所以事件B的概率为的概率为P(B)=P(B0)+P(B1)+P(B2)= . 点评：点评：独立重复试验的概率计算直接按独立重复试验的

12、概率计算直接按公式计算即可公式计算即可.40216()( )381P B113141232()( ) ( )3381P BC222241224()( ) ( )3381P BC8917 甲、乙两名职业围棋手进行围甲、乙两名职业围棋手进行围棋比赛，已知每赛一局甲获胜的概率为棋比赛，已知每赛一局甲获胜的概率为0.6，问比赛采用三局两胜制还是五局三胜制对甲问比赛采用三局两胜制还是五局三胜制对甲更有利？更有利？ 解：解：(1)当采用三局两胜制时，当采用三局两胜制时， 设设A1表示事件表示事件“甲净胜第一、二局甲净胜第一、二局”， A2表示事件表示事件“前两局甲、乙各胜一局，前两局甲、乙各胜一局，第三局

13、甲获胜第三局甲获胜”，则，则P(A1)=0.62=0.36， . 因为因为A1、A2互斥，所以甲获胜的概率为互斥，所以甲获胜的概率为P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=0.36+0.288=0.648.122()0.6 0.4 0.60.288P AC18 (2)当采用五局三胜制时当采用五局三胜制时,设设B1表示事件表示事件“甲甲净胜第一、二、三局净胜第一、二、三局”;B2表示事件表示事件“前三局甲前三局甲胜两局胜两局,第四局甲胜第四局甲胜”;B3表示事件表示事件“前四局甲、前四局甲、乙各胜两局乙各胜两局,第五局甲胜第五局甲胜”,则则 ， ， . 因为因为B1、B2、B3互斥互斥,所以甲

14、获胜的概率为所以甲获胜的概率为P(B1+B2+B3)=P(B1)+P(B2)+P(B3)=0.216+0.259+0.207=0.682. 因为因为0.6820.648,故采用五局三胜制对甲更故采用五局三胜制对甲更有利有利.2223()0.60.4 0.60.259P BC22234()0.60.40.60.207P BC31()0.60.216P B19 3. 在一次抗洪抢险中，准备用射击的方在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油法引爆从桥上游漂流而下的一个巨大的汽油罐罐.已知只有已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次命中

15、才能引爆油流出，第二次命中才能引爆.每次射击是每次射击是相互独立的，且命中的概率都是相互独立的，且命中的概率都是 . (1)求油罐被引爆的概率；求油罐被引爆的概率； (2)如果引爆或子弹打光则停止射击，如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为设射击次数为，求，求不小于不小于4的概率的概率.题型题型3 求求“综合事件综合事件”的概率的概率 2320 解：解：(1)解法解法1： . 解法解法2： . 即油罐被引爆的概率为即油罐被引爆的概率为 .1222212()33333PC11211334212212232()( )()( )333333243CC1140055521211-( )( ) -(

16、 )( )3333PCC112321-24324323224321 (2)当当=4时记为事件时记为事件A，则则 , 当当=5时时，意味着前意味着前4次射击只击中一次射击只击中一次或一次也未击中次或一次也未击中，记为事件记为事件B，则则 ，所以所求概率为所以所求概率为 . 即即不小于不小于4的概率为的概率为 . 1232124( )( )33327P AC13442111( )( )( )3339P BC417()( )( )27927P ABP AP B42722 点评：点评： 综合事件的概率求解，一般综合事件的概率求解，一般先按互斥事件进行分类，然后考虑用等先按互斥事件进行分类，然后考虑用等

17、可能性事件、相互独立事件或独立重复可能性事件、相互独立事件或独立重复试验事件求解基本事件的概率试验事件求解基本事件的概率.注意从正注意从正面求解较复杂时，从其对立面来解面求解较复杂时，从其对立面来解.23 某课程考核分理论与实验两部分某课程考核分理论与实验两部分进行进行,每部分考核成绩只记每部分考核成绩只记“合格合格”与与“不合不合格格”,两部分考核都是两部分考核都是“合格合格”, 则该课程考核则该课程考核“合格合格”.若甲、乙、丙三人在理论考核中合格若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为的概率分别为0.9, 0.8, 0.7; 在实验考核中合格的在实验考核中合格的概率分别为概率分别为0

18、.8, 0.7, 0.9, 所有考核是否合格相互所有考核是否合格相互之间没有影响之间没有影响. (1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率；两人合格的概率； (2)求这三个人该课程考核都合格的概率求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数结果保留三位小数).24 解：解：设设“甲理论考核合格甲理论考核合格”为事件为事件A1，“乙理论考核合格乙理论考核合格”为事件为事件A2，“丙理论考核合格丙理论考核合格”为事件为事件A3， 为为Ai的对立事件，的对立事件，i=1，2，3，设，设“甲实验考甲实验考核合格核合格”为事件为事件B1，“乙实验考核合

19、格乙实验考核合格”为事件为事件B2，“丙实验考核合格丙实验考核合格”为事件为事件B3.iA25 (1)设设“理论考核中至少有两人合格理论考核中至少有两人合格”为为事件事件C， 为为C的对立事件，的对立事件， 所以，理论考核中至少有两人合格的概所以，理论考核中至少有两人合格的概率为率为0.902.C123123123123123123123123( )() = ()()()() =0.9 0.8 0.7+0.9 0.8 0.3+ 0.9 0.2 0.7+0.1 0.8 07 =0.902 .P CP AA AAA AA A AAA AP AA AP AA AP A A AP AA A26 (2)

20、设设“三个人该课程考核都合格三个人该课程考核都合格”为事为事件件D. P(D)=P(A1B1)(A2B2)(A3B3) =P(A1B1)P(A2B2)P(A3B3) =P(A1)P(B1)P(A2)P(B2)P(A3)P(B3) =0.90.80.80.70.70.9=0.254. 所以，这三个人该课程考核都合格的概所以，这三个人该课程考核都合格的概率为率为0.254.27 1. 如果事件如果事件A与与B相互独立，则事件相互独立，则事件A与与 ， 与与B， 与与 也都相互独立也都相互独立.相互独立事相互独立事件与互斥事件是两个不同的概念件与互斥事件是两个不同的概念.两个相互独立两个相互独立事件可以同时发生，其发生的概率相互没有影事件可以同时发生，其发生的概率相互没有影响，而两个互斥事件不能同时发生，其发生的响，而两个互斥事件不能同时发生，其发生的概率相互有影响概率相互有影响.任何两个事件不可能既互斥又任何两个事件不可能既互斥又相互独立，两两独立的相互独立，两两独立的n个事件总起来不一定个事件总起来不一定是独立的是独立的.ABAB28 2. 在独立重复试验中，每次试验结在独立重复试验中，每次试验结