线性代数的应用案例解析

1、.案例已知不同商店三种水果的价格、阵：商店A商店 B不同人员需要水果的数量以及不同城镇不同人员的数目的矩苹果橘子人员 A人员B苹果橘子梨0.100.150.150.100.200.10人员 A 5人员 B 410城镇1 1000城镇 2 20005001000A，第二个矩阵为 B,而第三个矩阵为C。第一个矩阵为( 1)求出一个矩阵，它能给出在每个商店每个人购买水果的费用是多少？( 2)求出一个矩阵，它能确定在每个城镇每种水果的购买量是多少？解：( 1)设该矩阵为 D ，则D=BA ，即：100.100.150.150.202.303.050.10购买水果的费用为1.65，0.101.652.1

2、0此结果说明， 人员 A 在商店3.50，人员 B 在商店 A 购买水果的费用为(2)设该矩阵为E,则E=CB，即：人员 A 在商店 B 购买水果的费用为2.30，人员 B 在商店 B 购买水果的费用为 2.10。1000 500 5 10 3E2000 1000 4 5 57000 12500 550014000 25000 11000城镇 1 苹果的购买量为 7000，城镇 1 橘子的购买量为12500，城镇 1 梨的购买此结果说明，量为 5500；城镇 2 苹果的购买量为 14000，城镇 2 橘子的购买量为 25000，城镇 2 梨的购买 量为 11000。题后说明：这是一个矩阵的具体

3、应用问题。 其实很显然在没有矩阵的知识前， 我们也可以解出这一简单 的问题。此题的一般提法是：现有两个城镇(城镇 1 和城镇 2)；城镇 1 中有人员 A( 1000 人)和人 员B (500人),城镇2中有人员A (2000人)和人员B (1000人)；人员A需苹果、橘子 和梨分别5、10和3，而人员B需苹果、橘子和梨分别 4、5和5;现不妨假设每个城镇中 都有两个商店(商店 A和商店B)，每个商店内的苹果、橘子和梨的价格均不相同。商店A中苹果、橘子和梨的价格分别为每斤0.10、 0.15 和 0.10，而商店 B 中苹果、橘子和梨的价格分别为 0.15、 0.20、 0.10。现问 :(1

4、)每个商店每个人购买水果的费用是多少？ (2)每个城镇每种水果的购买量是多少？解：( 1 )商店 A ：人员 A 购买水果的费用为：5 0.10 10 0.15 3 0.10 2.30人员 B 购买水果的费用为：4 0.10 5 0.15 5 0.10 1.65商店B：人员A购买水果的费用为：5 0.15 10 0.20 3 0.10 3.05人员B购买水果的费用为：5 0.10 2.104 0.15 5 0.20此时如果用矩阵表示的话，有：商店B3.052.102）也是一样的。商店A人员A 2.30 人员B 1.65 显然答案与用矩阵算出来的是一致的；同理对于然而，不难看出利用矩阵求解此问题

5、要简单明了的多。就此问题而言，数据简单且较少，如果是更为复杂的问题，如：假设这里的城镇有10个，商店有50个的话。显然用一般解法是很繁琐的，而用矩阵求解仍是只需要一个算式即可。案例158511220200121543则售货收入可由下法算出15152032820012.40.35181222.5A B0.511615123.31284111.62025321.5解由表中数据设矩阵B0.30.5某文具商店在一周内所售出的文具如下表，周末盘点结账，计算该店每天 的售货收入及一周的售货总账.文具星期单价（元）-一一二二三三四五六橡皮（个）1585112200.3直尺（把）15

6、2018168250.5胶水（瓶）2001215431所以，每天的售货收入加在一起可得一周的售货总账，即32 12.4 22.5 23.3 11.621.5 123.3（元）案例三某工厂检验室有甲乙两种不同的化学原料，甲种原料分别含锌与镁10%与 20%， 乙种原料分别含锌与镁10%与 30%,现在要用这两种原料分别配制 AB两种试剂， A试剂需含锌镁各2克，5克，B试剂需含锌镁各1克，2克.问配制AB两种试 剂分别需要甲乙两种化学原料各多少克？t克;根据题意，得如下矩阵方程解： 设配制A试剂需甲乙两种化学原料分别为 x，y克；配制B试剂需甲乙两 种化学原料分别为S,0.1 0.10.2 0.

7、30.1 0.10.2 0.3，X,BA 1B ,F面用初等行变换求A 1,0.1 0.1 10.2 0.3 0010r1110r2100010r221101 101 20010r1 r21 030100 1 20 10即A130201010所以XS 30 t2010101010y即配制A试剂分别需要甲乙两种化学原料各 原料分别为10克，0克.10010克，配制B试剂需甲乙两种化学案例四T衫：小号，26元，30元.若商店某周共售出了 13件T衫， 毛收入为320元.已知大号的销售量为小号和加大号销售量的总和，大号的销售 收入也为小号和加大号销售收入的总和，问各种型号的T衫各售出多少件？解 设该

8、T衫小号，中号，大号和加大号的销售量分别为x(i 1,2,3, 4)，由一百货商店出售四种型号的 衫的售价分别为：22元，24元,中号，大号和加大号.四种型号的T题意得x1 x2 22x1 24x2X1X3 x41326X3 30X4320X3 X4022x1 26X3 30x40F面用初等行变换把A化成行简化矩阵111113111113222426303202221，I310248341011042210120132202630002248828611111311111330120133 220120130248344 22200088022488286004802A341000110012

9、4010881313081000110012101021131301324141000110012100001121321r22331000110000100001109211 210000100001000011921所以方程组解得X1X2X3X41921因此T衫小号，中号，大号和加大号的销售量分别为1 件,9 件,2件和1件.案例五一个牧场，12头牛4周吃草10/3格尔，21头牛9周吃草10格尔，问24格尔牧 草，多少头牛18周吃完？（注:格尔一一牧场的面积单位）解设每头牛每周吃草量为X，每格尔草地每周的生长量（即草的生长量）为y，每格尔草地的原有草量为a，另外设24格尔牧草，z头牛18周

10、吃完.其中（X, y,a）是线性方程组的未知数12 4x 10a/3 10/3 4y 则根据题意得 21 9x 10a 10 9yz 18x24a24 18y化简得144x40 y10a0189x90y10a018zx432y24 a0根据题意知齐次线性方程组有非零解，故r(A) 3,即系数行列式1444010189901018z432240，计算得z 36.所以24格尔牧草36头牛18周吃完.案例六田忌和齐王赛马双方约定出上、中、下三个等级的马各一匹进行比赛，比赛共3场，胜者得一分，负者-1分。已知在同一等级的马进行赛跑，齐王可稳操胜券，另外，齐王的中等马 对田忌的上等马，或者齐王的下等马对

11、田忌的中等马，则田忌赢。齐王和田忌在排列赛马出场顺序时各取下列 6种策略之一：上、中、下上、下、中中、上、下中、下、上下、中、上下、上、中 若将这6种策略从1到6依次编号，则可写出齐王的赢得矩阵案例七奶粉一奶粉二奶粉三甲超市5810乙超市735甲乙两超市销售三种奶粉的日销售量见下表抽象为矩阵5 8 10单价利润奶粉一151奶粉二121奶粉三202单价与利润见下表抽象为矩阵B151220求甲乙两超市销售奶粉总收入与总利润收入利润甲5 15 8 12 10 20 3715181 10 2 33乙 7 15 3 12 5 20 2417 1 3 1 5 2 201515 8 10371 33由此得矩

12、阵C AB1217 3 5241 2020 2案例八机床定模型案例九军事通讯中的加密与解密兴兴机械厂生产甲乙丙三种规格机床，其价格和成本见下表甲乙丙单价（万元每台）765成本（万元每台）64.54一月份，工厂收到北京上海和广东三地的订购数量如下表北京上海广东甲机床（台）457乙机床（台）568丙机床（台）349请计算各地订购三种机床的总价值总成本和总利润各是多少。军事中通讯中，需要将字符转化成数字，所以这就需要将字符与数字对应，如:24 25 26如are对应的矩阵B=（1 18 5），如果直接按这种方式传输，则很容易被敌人破译而造成巨大的损失，这就需要加密，通常的做法是用一 个约定的加密矩阵

13、A乘以原信号矩阵B，传输信号时，不是传输的矩阵B，而是传输的转换后的矩阵 C=Abt,收到信号时，再将信号还原。如果敌人不知道加密矩阵,则他就很难弄明白传输的信号的含义。收到的信号为C= 21 27-1 031T ,并且已知加密矩阵是 A= 0 11 111，问1原信号 B 是什么？解答：由加密原理知：BT=A -1C所以先求逆矩阵：-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1从而得到A -1= -1-1-1-121所以BT=A -1C=-1-127-13125所以 B= 4 225 ，信号为dby.案例韩信点兵有兵一队，人数在队士兵多少人？500 到 1000 人之内，三三数之剩

14、二，五五数之剩三，七七数之剩二问这案例商品市场占有率S 经营同类产品，他们相互竞争，每年 R 公司保有四分之一的顾客，而四 R 公司。当产品S 公司占有五分之二的市场份额，问两年有两家公司 R 和分之三转移到 S公司，每年S公司保有三分之二的顾客，三分之一转移向开始制造时 R 公司占有五分之三的市场份额，而 后，两家公司占有的市场份额变化怎样？五年后又怎样？是否有一组初始市场份额分配数据 使以后每年市场份额分配额定不变？解答：两年后市场份额 R和S公司分别为31%和69%，五年后市场份额 R和S公司分别为 31%和69%, R和S两家公司市场稳定的初始份额为十三分之四约为31%和十三分之九约为

15、案例工人工资定价问题69%。现有一个木工、一个电工、一个油漆工三人相互同意彼此装修他们自己的房子， 在装修之前，他们约定： (1) 没人总共工作 10 天( 包括给自己家干活在内 )；(2)每人的日工资根据一般的市价在 6080元之间； (3) 每人的日工资数应使得每人的总收入与总支出相等，下面的表格是他们工作天数的分配方案， 根据分配方案 表，确定他们每人的日工资.'天数工种木工电工油漆工在木工家的工作天数216在电工家的工作天数451在油漆工家的工作天数443解：设Xi,X2,X3分别表示木工、电工、油漆工的日工资，根据总收入等于总支出, 建立方程组2x1X26X310x14x15x2X310x24为4x23X310X38x1X26X304x15x2X304X14X27x30整理得齐次线性方程组解出方程组的全部解为31XiX2X3368 （其中k为任意实数）.1由于日工资在6080元之间，故取k 72,得日工资分别为X1 62, X2 64, X372.案例十四制造商生产三种不同的化学产品 A、B、C,每种产品都需要经过两种机器 M和N的制作。而生产每一