2.1-向量习题课ppt课件

1、例例1.1.知知ABCABC的三个顶点的三个顶点A,B,CA,B,C及平面及平面ABCABC内一点内一点P P满足满足PA+PB+PC=AB,PA+PB+PC=AB,在下列四个结论在下列四个结论: :P P在在ABCABC的外部的外部P P在在ABCABC内部内部P P在直线在直线ABAB上上P P在边在边ACAC上上, ,正确的选项正确的选项是是 . .分析分析: : 本题主要考查平面向量的加减运算及两个向量共线的条本题主要考查平面向量的加减运算及两个向量共线的条件，关键是条件中的向量太多，必须减少向量的个数，件，关键是条件中的向量太多，必须减少向量的个数，实际上由平面向量基本定理知，平面上

2、的任一向量都可实际上由平面向量基本定理知，平面上的任一向量都可以由平面上两个不共线的向量线性表示以由平面上两个不共线的向量线性表示. .解答解答: :所以点所以点P P在边在边ACAC上上. .由由PA+PB+PC=ABPA+PB+PC=AB得得: :PA+PB+PC= PB-PA,即向量即向量PCPC与向量与向量APAP共线共线, ,且且P P为为ACAC的一个三等分点的一个三等分点, ,即即:PC=2AP,:PC=2AP,本题还可以有以下变形本题还可以有以下变形: :所以点所以点P P在边在边ACAC上上. .由由PA+PB+PC=ABPA+PB+PC=AB得得: :PB-AB=PA,即向

3、量即向量PCPC与向量与向量APAP共线共线, ,且且P P为为ACAC的一个三等分点的一个三等分点, ,所以所以:PC=2AP,由由PA+PB+PC-AB=0PA+PB+PC-AB=0因为因为变式变式:设设O是平面上一定点是平面上一定点,A,B,C是平面上不共线的三个点是平面上不共线的三个点, (),0ABACOPOAABAC BAC动点动点P满足满足: ,则点则点P在在 (1) 的平分线的平分线AD上上,(2)高线高线AE上上,(3)中线中线AF上上 ,(4)BC边的垂直平分线上边的垂直平分线上. ABCDPOBCBAC解答解答: :设设 , ,ABABAB ACACAC 那么那么 是分别

4、与是分别与 同同向的单位向量向的单位向量. .,AB AC ,AB AC 那么那么 的方向为的方向为 的的平分线平分线ADAD的方向的方向, ,ABAC 所以点所以点P P在在 的平分线的平分线ADAD上上. .BAC例例2.2.已知向量已知向量a=(1,-2),b=(0,1),a=(1,-2),b=(0,1),若若a a与与a+mba+mb的夹角为锐角的夹角为锐角, ,求求m m的取值范围的取值范围. .分析分析: :由于由于a a与与a+mba+mb的夹角为锐角，故有的夹角为锐角，故有a(a+mb)0,且且a与与a+mb不平行不平行.解答解答: :因为因为a=(1,-2),b=(0,1),

5、a=(1,-2),b=(0,1),所以所以a+mb=(1,-a+mb=(1,-2+m),2+m),因为因为a a与与a+mba+mb的夹角为锐角，的夹角为锐角，所以所以a(a+mb)0,a(a+mb)0,且且a a与与a+mba+mb不平行，不平行，即即1-2(-2+m)0,-2-(-2+m) 0,解得解得:m:m , ,且且m m 0 05 52 2所以所以:m:m的取值范围是的取值范围是m m , ,且且m m 0 05 52 2点评点评: :要特别注意要特别注意 a ab0b0并不是并不是a a与与b b的夹角为锐角的充要条件的夹角为锐角的充要条件. . 同样道理同样道理: : a ab

6、0b0).c=nb=(-2n,6n)(n0).所以所以c-a=(-2n-1,6n-2).c-a=(-2n-1,6n-2).由由 (c-a) a得得:解得解得所以向量所以向量c的坐标为的坐标为(-1,3).( 21) 1(62)20nn 点评点评: :求字母的值往往要从问题的条件入手求字母的值往往要从问题的条件入手, ,一般情况下一般情况下条件的个数与求知数的个数是相等的条件的个数与求知数的个数是相等的, ,只需列出关于求只需列出关于求知数的方程知数的方程, ,解方程组即可解方程组即可, ,这种用方程来处理数学问题这种用方程来处理数学问题的思想在数学解题中很普遍的思想在数学解题中很普遍, ,同学

7、们要高度重视同学们要高度重视. .例例5在直角坐标系中，已知在直角坐标系中，已知A(-1,0),B(3,4),若点若点C在在 的平分线上，且的平分线上，且 ，求向量，求向量 的坐标的坐标.AOB5OCOC分析：该问题的本质是求两个数，可以通过利用待定数法分析：该问题的本质是求两个数，可以通过利用待定数法解方程组求解解方程组求解解答一：设向量解答一：设向量=(x,y)，由题意得：，由题意得：OCcoscos,AOCBOC5OC，即即225,34555xyxxy解得：解得：x=1,y=2，或，或x=1，y=2检验得：检验得：x=1,y=2所以向量的坐标为所以向量的坐标为(-1,2)OCAOB解答二

8、：如图设解答二：如图设D=(-5,0)，那么：，那么：的平分线就是的平分线就是 的平分线的平分线.所以向量的坐标为所以向量的坐标为(-1,2)OCAOB由于由于OD=OB=5, ,设设BD的中点为的中点为M,OCBD则有则有M(-1,2), , OCOMOC5因为因为 ,ABDOxyM分析分析: :本题给出的条件仅是本题给出的条件仅是AB,ACAB,AC长长度度, ,因此问题中的两个向量应与它因此问题中的两个向量应与它们之间有一定关系们之间有一定关系, ,而寻求这种关而寻求这种关系就是正确解答本题的关键系就是正确解答本题的关键. .12解答解答: :取取ABAB中点中点E,E,因为因为D D为

9、为BCBC的中点的中点, ,所以所以所以所以 =(AE+ED)(BA+AC)= (AB+AC)(AC-AB) =(AE+ED)(BA+AC)= (AB+AC)(AC-AB)即即 的值为的值为 . .DE AC,DE= AC,AD BC2215()22ACAB 12= =AD BC52ABCD例例6 6如图在如图在 中，已知中，已知AB=3 ,AC=2 ,DAB=3 ,AC=2 ,D为为BCBC边的中点，边的中点，求求 的值的值AD BCABC.E点评点评: :由平面向量基本定理知由平面向量基本定理知, ,平面上任一向量都可以由平平面上任一向量都可以由平面上任两个不共线的向量线性表示面上任两个不

10、共线的向量线性表示, ,且是唯一的且是唯一的, ,解答此类解答此类题的关键有两点题的关键有两点: :(1)(1)选择平面上两个不共线的向量作为基底选择平面上两个不共线的向量作为基底; ;(2)(2)将问题中的向量用基底表示将问题中的向量用基底表示; ;变式变式1 1如图在如图在 中，已知中，已知AB=3 , AC=2 , DAB=3 , AC=2 , D为为BCBC边上的点，且边上的点，且BD=2DC,BD=2DC,求求 的值的值AD BCABC120BACABCDAC-AB2313=AB+ (AC-AB)= AC+ ABAD BC=( )( )AD=AB+BD=AB+ BCBC=AC-AB2

11、3232313解解: :所以所以 AC+ AB22211333ACAC ABAB 2111242 3 ()933233 变式变式2 2如图在如图在 中，已知中，已知AB=3 , AC=2 , D,EAB=3 , AC=2 , D,E为为BCBC边上的点，且边上的点，且BE=ED=DC,BE=ED=DC,求求 的值的值AD AEABC120BACABCDE略解略解: :ADBC=( )( ) AC+ AB AC- AB231322211939ACAC ABAB 2112142 3 ()993299 1323变式变式3 3如图在长方形如图在长方形ABCDABCD中，已知中，已知AB=4,BC=2

12、,M,N,PAB=4,BC=2 ,M,N,P为长方为长方形边上的中点形边上的中点,Q,Q是边是边CDCD上的点上的点, ,且且CQ=3DQ,CQ=3DQ,求求 的值的值MQ NPBCDAMQNP同学们不仿试试同学们不仿试试, ,仿照上述例题自己编题解答仿照上述例题自己编题解答. .所以所以略解略解: :NP= AD+ AB121212MQ= AD+ AB141111() ()2422MQ NPADABADAB 22113488ADABAD AB 11416348 120 ,90AOBAOC例例7 7如图如图, ,平面上有三个向量平面上有三个向量 , , , = =1, , , , = =1,

13、= = ， , ,假设假设 求求m+nm+n的值的值OA2 3OBOCOAOBOCOA+nOBOC=mDE分析分析: :本题主要考查平面向量基本题主要考查平面向量基本定理及实数与和量的积本定理及实数与和量的积. .解答一解答一: :延长延长AO,BO,AO,BO,作平行四边形作平行四边形ODCE,ODCE,使使OCOC为对角线为对角线, ,则有则有: :90 ,30 .DOCOCD2 3OC因为因为 , ,所以所以OD=2,OE=4, OD=2,OE=4, OD+OE=-2OC=所以所以 OA-4OB所以所以 m+n=-6 m+n=-6 OABC解答二解答二: :建立如图所示的直角坐标系建立如图所示的直角坐标系. .xy由已知可设由已知可设 =(1,0), = , =(1,0), = ,OA130,2 3.22mnn OB13(,)22OC=(0, 2 3)由由 得得, ,OA+nOBOC=m13(0, 2 3)(1,0)(,)22mn所以所以 即即2,4.mn 所以所以m+n=-6.m+n=