自旋和角动量-Oriyao

1、第六章 自旋和角动量内容简介：在本章中，我们将先从实验上引入自旋，分析自旋角动 量的性质，然后讨论角动量的耦合，并进一步讨论光谱线在磁场中的分裂和精细结构。最 后介绍了自旋的单态和三重态。§ §§§§§§6.16.26.36.46.56.66.7电子自旋电子的自旋算符和自旋函数 角动量的耦合电子的总动量矩 光谱线的精细结构 塞曼效应自旋的单态和三重态首先，我们从实验上引入自旋，然后分析自旋角动量的性质。K施特恩-盖拉赫实验是发现电子具有自旋的最早实验之一。如右图所示，由源射出的处于基K态的氢原子束经过狭缝和不均匀磁场， 照射

2、到底片PP上。结果发现射线束方向 发生了偏转，分裂成两条分立的线。这说明氢原子具有磁矩，在非均匀磁场的作用下受到S态的氢原子，轨道角动量为零，S态氢原子的磁力的作用而发生里偏转。由于这是处于矩不可能由轨道角动量产生。 这种磁矩在磁场中的取向， 则它在沿*Z方向的外磁场U H =nH cose这是一种新的磁矩。另外，由于实验上只有两条谱线，因而是空间量子化的，H中的势能为而且只取两个值。假定原子具有的磁矩为 M ,(6.1.1)9为外磁场与原子磁矩之间的夹角。则原子Fz=M cos日（6.1.2）<ZcZ实验证明，这时分裂出来两条谱线分别对应于Z方向所受到的力为COS0 = "N

3、和cos日=一1两个值。为了解释施特恩-盖拉赫实验，乌伦贝克和歌德斯密脱提出了电子具有自旋角动量，他们认 为：每个电子都具有自旋角动量 的任意方向取为 Z方向，则S =±和 2（ 6.1.3）S在空间任何方向上的投影只能取两个值。若将空间每个电子均具有自旋磁矩 M它与自旋角动量之间的关系为lMr=-eS (SI)或 mS (CGS)( 6.1.4) mcMs在空间任意方向上的投影只能取两个值:Msz =±口 =±Mb(SI)或2mM B是玻尔磁子。电子自旋的回转磁比率为：Mze十 MzSzSz轨道角动量的回转磁比率为：M sz = ± = ±M

4、 B （CGS）2mee（CGS） me-吕(SI)或 -岛(CGS)2m2me自旋回转磁比率是轨道运动回转磁比率的两倍。自旋是电子的固有属性，千万不要以为，电子的自旋是因为电子在作机械的自转引 起的。可以证明，如果将电子想象成为一个电荷均匀分布的小球，由于电子的半径约为 2.8x103cm，要想使它的磁矩由于自转而达到一个玻尔磁子，则它表面的转速将超过光速,这显然是与相对论矛盾的。 子自旋是电子的内禀属性， 电子自旋具有下述属性：它是个内禀的物理量，电子自旋是一个新的自由度，与电子的空间运动完全无关。电 电子的自旋磁矩是内禀磁矩。不能用坐标、动量、时间等变量表示;它完全是一种量子效应，没有经

5、典对应量。也就是说，当At 0时，自旋效应消失。它是角动量，满足角动量最一般的对应关系。而且电子自旋在空间任何方向上的投影只取土射2两个值。6.2电子自旋算符和自旋函数自旋是一个力学量，在量子力学中，它应该用线性厄米算符表示。其次，既然是算 由于自旋具有角动量性质，而角动量符，它的性质就应该由算符所满足的对易关系决定。算符J满足的对易关系是:在量子力学中，不要误以为角动量就是，"Jxp只是轨道角动量，是角动量的一种。凡满足(6.2.1 )的算符都是角动量。自旋既然是角动量，那么它自然满足:8X8 =仿8( 6.2.2)写成分量形式:SXSy -§Sx =Sx,Sy曰慮SyS

6、z Sz§ =Sy,SZ =iASx（ 6.2.3）SZSx -SXSz =Sz,SX =iASy由于自旋S在空间中任意方向的投影只能取±/j/2两个值。因此，任意选定x,y,z坐标系后,2 2 2g,Sy,SZ三个算符的本征值都是珈2，Sx ,Sy ,Sz的值都是卅/4即Sx2 =Sy2 =Sz2 =S2/4（ 6.2.4）2则S的本征值为:Sx2 +Sy2 +Sz2 =3扩/4（ 6.2.5）若将任何角动量平方算符的本征值记为J2=j（j+1沟2，j称为角动量量子数，则自旋角动量量子数s满足:S? =s（s+1）扩=3於/4（6.2.6）所以S =1/ 2为方便起见，引

7、入算符C=热,&占恵J曳则由（6.2.2 ）及（如）式得去皿 （6.2.9）写成分量形式疗xE -色厲=<?x,t?y =2ic?z 岂色-色疗y =耳4 =20 改疗x -区茂=曳,钦=2ic?y（6.2.9）而t?x ,c?y, aZ的本征值为±1,而且（6.2.10）定义：任意算符 A和B的反对易关系为A,B+=AB +BA （ 6.2.11）氓卫y+=（?x0y +0yQ<1 1=（色巴C?zC?y）&y +-C?y（t?yC?Z 至电）=0（6.2.12）同理m，0+=O（6.2.13）D?Z/?xk=0（ 6.2.14）现在来找特定表象下，Ox

8、'CTyCz算符的矩阵形式。2由于 S与Sz对易，则在它们的共同表象中，Sz的矩阵必然为0（ 6.2.15）T丿这是因为 Sz只有两个本征值，因而它对应的矩阵只能是2X2的矩阵，而且在Sz自身表象中，矩阵对角线上的元素就是它的本征值。为求出Cx，Gy在0表象中的矩阵形式，注意到 Cx与by反对易，则Cx与by也只能是a2X2矩阵。令白x =!b、d>(6.2.16)由于Sx是厄米矩阵,CTx也是厄米矩阵，则氏白z +戌戌=e=俾1。£ :JyO f II - E J 叮卩：O 4(6.2.17)则 a =0,d =0<3x2 2又由于bx =1则bxlb=1。(6

9、.2.18)0lb2;=1-2即 |b|2 =1 则 b =0。若取a =0，贝U bx(6.2.19)由对易关系得 by =(耳0 -CXZ)=综上所述H 0丿121 0丿,Gy,Sy2i屮T，li 0丿0丿bx，Oy,OZ称为泡利矩阵。-if1 0 ) 飞-1>(6.2.20)(6.2.21)(6.2.22)因为任何2 X2的厄米矩阵都可表示为单位矩阵和bx，by,Gz三个矩阵的线性组合，所以泡利矩阵非常有用。现在求电子自旋算符对应的波函数。在Sz表象中，由本征函数，方77(6.2.23)即耐12 b0 丫1】川】 T人0丿2 10； 0 丫01" -1九丿2 M丿(6.2

10、.24) ( 6.2.25)/1 所以，Sz的本征函数为 £ =12 ，/1 =卩 P弋丿 自旋算符用矩阵表示后，自旋算符的任一波函数G11 G12G21 G22(6.2.27)(6.2.26)G也可表示为2x2的矩阵包含自旋在内的电子波函数可表示为®1(x, y,z,t)"_(x, y, z,刼 2,t)、乙（X, y,乙t）-i；(x, y,乙S/2,t)(6.2.28)电子波函数的归一化必须同时对空间积分和对自旋求和,阳如呻“（屮1*,屮；）仆b=（|屮+1屮2|2）d?=1V2丿(6.2.29)由甲给出的几率密度为計屮=1屮+艸2|2(6.2.30)表示在

11、t时刻，在（x,y,z）点周围单位体积内找到电子的几率。2分别表示在点周围单位体积内（x,y,z）找到自旋Sz#/2和Sz=S/2的电子的几率。贝y算符G在甲态中,对自旋求平均的结果是G11G21G21 G22抱=屮;GZ +UG12屮2 丹2G21W +屮;G22屮2VG A甲乜甲=（屮:,屮;）算符G在甲态中，对坐标和自旋同时求平均的平均值为(6.2.32)(6.2.31)6.4 两个角动量的耦合在同一个原子中，电子既有自旋角动量，又有轨道角动量，因此很自然的，总要讨 论两个角动量之间的耦合。对于多粒子体系，只要粒子具有角动量，总存在角动量之间耦 合的问题。而且，有许多问题，在耦合后得出的

12、角动量表象中讨论会更方便。1.角动量升降算符4设L为轨道角动量算符，满足对易子2 2 对L和Lz的共同本征函数W|m , L的本征值是1（1 +1）胪,Lz的本征值是m ,1和m是角动2量量子数和相应的z分量角动量量子数。显然，在（L ,Lz）的共同表象中,2L和Lz的矩阵元分别是2(L ),m-|m =1(1 州用PPmm，( 6.3.2 )引入算符L+和L_，令L+ =Lx +iLy(6.3.4)L_=Lx iLy(6.3.5)LzL + = Lz(Lx= LxLz +i 方 Ly + i(LyLz= (Lx+iLy)Lz +/i(Lx + iLy)= Lz +札 +即+iLy)旅)(6.

13、3.6)Lz,L4 才L+( 6.3.7)LzLm =L4Lz +ft 屮 lm= (m+1)肚罗lm(6.3.8)上式表明，L¥| m也是Lz的本征函数，本征值为（m+1W，因此L学lm与屮l,m+最多相差一个常数，即有Lim =C|,m +(6.3.9)同理，可以证明Lz，L=L +(6.3.10)LzLlm =(m -1)冑m( 6.3.11)Llm “m屮lz( 6.3.12)Clm和Cm是待定的常数。为了求出Cim和Cl；，注意到矩阵元(6.3.13)*斗.(LAmlm=,阳 m L胖im d r =C|m 6| J 爲十(Lm ：lm4HpVmLimdr 虫徭心(6.3.

14、14)又因2 2 _ _ _L =Lx +Ly +Lz =(Lx+iLy)(LxiLy)+Lz ( 6.3.15)(6.3.16)(L2)m,m =(L 丄m,m +(Lz)m,m /i(Lz)m,ml(l T)扩 迈(L4m,m(Lm，m +m2?j2 -mjj.2m'( 6.3.17)=(L *m ,m 丄(L Jm 丄m +mm/j另外，由于幺和L?y是厄米的，所以有(LJm 丄m =(Lx -iL y ) m _Lm(Lx ) m J,m i ( Ly )m 丄 m* *Lx ) m,m 1i ( L y ) m,m 1= (Lx +iL y)m,m 丄=(L +)m.m_L(

15、6.3.18)将( 6.3.18 )代入(6.3.17 )得2l(l切常斗(Lnkm+扩(m2 m)或写成(L4m,m2 =1(1 +1)克2 m(m1)护=(l +m)(l -m+1)护(6.3.19)(Lm,m/阳(l +m)(l -m+1)=(L丄m丄m(6.3.20)由(6.3.9 ) , (6.3.12 )及(6.3. 20 )，我们最后得出Clm =(L Jm 十,m= S/l +m +1)(l -m)(6.3.21)Cl： =(L m S=S J(l +m)(l -m +1)(6.3.22)利用这些结果，可以求出在2L和Lz的共同表象中，LX和Ly的矩阵元是1 1Lx，Ly =(

16、L+L(Lx)m,m 丄2 |_( L m,m 丄+( L dm ,m 丄=2(L巾m,m4卉 f=-J(l +m)(l -m+1) 2(6.3.23)(6.3.24)= (Lx)m5应该指出，上述各式并非只对轨道角动量成立。对于轨道角动量，屮Im就是球谐函数Yim，对于其它角动量，屮lm虽不是球谐函数，但只要满足角动量定义（6.3.1 ）式，并把I和m理解为相应的角动量平方和角动量z分量的量子数，（6.3.21 ） （6.3.24 ）式恒成立。例如对电子自旋角动量，S=1/2 , m=1/2由（6.3.23 ）及（6.3.24 ）得2.无耦合表象和耦合表象-i02=（Sx）1 1(6.3.2

17、5)=(Sy)1 1(6.3.26)这正是自旋矩阵的泡利表示。现在转而讨论耦合表象。角动量Jl和之和是讨论两个角动量Jl和J2的耦合。Jl和J2既可以是自旋角动量，也可以是轨道角动量或其它角动量。按定义，应有Ji xJi= i/jJi(6.3.27)JJ2=请J 2(6.3.28)以及对易关系2Jl ,Jii=0(i=x, y, z)(6.3.29)2J2 ,J2i =0(i =x,y,z)(6.3.30)假定Ji和J2是两个独立的角动量，因此有(6.3.31)2 2J1、J2、仁、J2z是四个两两相互对易的算符，可以用它们的共同的本征函数系构成一个表象,2 2称为无耦合表象。这个无耦合表象的

18、基矢必定是（J ,J1z）的共同本征矢与（J2 , J2z）的共同本征矢的乘积。即若(6.3.32)J1 I j1,m =j1(j1+1)1 j1,mjJ j1,m)j1 ,m12J2 I j2,m2)=j2(j2+1)1 j2,m2J2J j2,mj2,m(6.3.33)(6.3.34)则无耦合表象中的基矢|j1,g,j2,m2）是ji ,mi, j2, m2)= ji,mj 丨 j2,m2-t T TJ =J1 +J2(6.3.35)容易证明,J也是角动量，也满足(6.3.36)22而且J和Jz与Ji J2等满足下述对易关系:(6.3.37)22 T?222J ,Ji =(Ji+2),Ji

19、 =Ji +J2 +2JiLJJ2, Ji =02因为Ji与向量:的任何分量对易。同理2 2J ,J2 =0(6.3.38)另外，显然还有2Jz,Ji =0 , Jz,J2 =0(6.3.39)2J ,Jz = 0(6.3.40)2 2 2这些对易关系表明，J1、2、J、Jz这四个算符两两对易,它们具有共同的正交、归一、完备、封闭的本征函数系。记相应的量子数卜j2、j、m的本征函数为|ji、j2、j、m，有Ji2|ji、j2、j、m) = j (j +i)扩ji、j2、j、m(6.3.41)Jz|ji、j2、j、m)=m|ji、j2、j、m (6.3.42)显然，总角动量量子数j，它的z分量量

20、子数m与ji,j2,mi,m2有关，为了找出它们之间的关 系，必须先将耦合表象和无耦合表象这两个表象联系起来。为此，将耦合表象的基矢j1、）2、j、m）按无耦合表象的基矢I j1,mi, j2, m展开:ji、j2、j、m)=2 I ji ,mi, j2,m2) ji,mi, j2,m2| ji、j2、j、m)mi , m2(6.3.43)（6.3.43 ）式中的系数（ji,mi, j2,m2| ji、j2、j、m）称为矢量耦合系数或克莱布希-戈尔登系数。以算符Jz分别作用于（6.3.43 ）式两端Jz|ji、j2、j、m =s (Jiz+Jiz)| ji, m,j2, m2x( ji,m,j

21、2,m2| ji、j2、j、m)(6.3.44)m, m2于是有m+m2(6.3.43 )可写为|ji、j2、j、m)=2 I ji,mi,j2,mm)( ji,mi,j2,m-gI ji、j?、j、m)(6.3.46)mi , m2(6.3.45)公式（6.3.43）或（6.3.46）其实就是将耦合表象和无耦合表象联系起来的表象变换公式。 表象变换是个幺正变换，克莱布希-戈尔登系数其实就是幺正变换的所对应的幺正矩阵的矩阵元。我们已经找到了m和m、m2之间的关系，进一步，现在来求量子数j和卜j2之间的关系。由于j、）1、j2的最大值依次为 m m、叫，而且m=m +叫，因此j的最大值 hx必

22、然是 jmax “1 +j2（ 6.3.47）当ji、j2同时给定时，无耦合表象中基矢|ji,mi, j2,m2）的数目是（2ji+1）（2j2+1）个。由于表象变换不改变基矢的数目，所以，耦合表象的基矢的数目与无耦合表象基矢的数目相等。 再注意到对于确定的j、m的取值是（_j,_j_1）共（2j +1）个值，于是(6.3.48)j -4miax送（2j +1） =（2j1 +1）（2 j2 +1）j -4miin由以上两式可求得jmin =1 j1 j2|( 6.3.49)由此得出，当ji、j2给定时,j的可能取值为(644)(6.3.50)j =jl +j2, jl +j2 1,Hl|jl

23、 T6.4 电子的总动量矩若无自旋角动量和轨道角动量的耦合，自旋的存在并不影响能级的位置和电子的空间 运动（即轨道运动），而只能将能级的简并度加倍，并在空间波函数上乘以自旋波函数。在中心力场中，电子的自旋波函数可写为：屮nimims =RnI(r)YmeW4s(Sz)( 6.4.1)式中s（Sz）为自旋S的本征函数，与其相应的本征值为間，ms=±2 （自旋磁量子数）。2 2相应的显然上式为H、L、LZ、SZ的共同本征函数。 此时H丄、LZ、SZ组成一组完备力学量集合,量子数n I、m、ms为好量子数。但若考虑自旋轨道耦合，则电子的哈密顿量将变为:41 d j其中 qr)=42u(r)

24、2m2c2r dr由于Lz,= Lz,LxSx打 Lz,LySy(643)=Lz,Lxa+Lz, LyjSy = iSLySx- Lx5y)H0同理SZ,=SZ,LxSx +SZ,LySy =SZ,SxLLx+Sz,Sy丄 = i/(Sylx-Sxly0可见Lz与Sz都与哈密顿量H不对易，故它们都不再是好量子数。为了考察能与H可对易的量子数，考虑总角动量:LL+S(644)由于L,S=0，J , Jz =0L ,Jz =0,L , J =0(645)S ,Jz =0 ,L ,L S=02可见，Lz、Jz、J、H彼此之间相互对易，称为一组同时具有确定值的力学量完备集。亠 2 2在L ,S.,J

25、,Jz的共同表象中其本征函数可记为做曰WSJ =(646)2因为4（8,®,）是L的本征态，则2 . 2 L_ Im=c(647)L<)1=C4(648)2L 电=C(649)2即伞、Q都是L的本征态，且本征值相同,为*是Jz的本征态。有叫2叫丿(6.4.10)即2因此它们必然具有相同的量子数l 。另外，因Lzg 0 1?皿】飞丿2k0 T 丿(6412)又由于 Jz =Lz +Sz (6.4.11)Lz0 =(jj)02Lz 电=(Jz'+Q 屯2(6413)(6.4.14)记Jz的本征值为Jz'=mjS，则由mj =(m+-)弁可得与©对应的Lz的

26、本征值为 m，与对应的Lz的本征值为(m+1为则 4 ocY, m，电 ocY, m+ 1 于是有:zaY'其共同本征函数可写为 叙8,cp,sz) =1丫(6415)2的本征态，而22 2 2J =(L +S) =L +8=L +?带 +方(bx L： 4广23 cL +-S +/jLz-4+cryLy +crzLz)(6.4.16)hL_z+rE，nW(6.4.21)当+2有:二展1(6.4.23)ZU其中L± = Lx ±iLy则Ly,m l+ m)(l ±m+1)Y,m +(6417)(6418)J2 何,m、Mlm十丿相应方程为:(6.4.19)

27、l(l +1) +J(l w)(l +m+1)a +l(l +1) += (m +1) Zb =0 +m -再a + J(l m)(l +m +1)b =0 J4a、b有非零解的条件:3l (l +1)+m 几4J(l m)( I +m +1)=0(6420)J(l m)( l +m +1)l(l +1)+ - -(m+1) - A4这两个根分别为:写成A=j(j +1)后，可知j =l ±(6.4.22)(6424)fb Jl +m +1Y 、则 4(8,卑 Sz)=jIbYl,m丰丿(6425)利用归一化条件, 最后得出I +m +1Y,m "I +m+1KYI，m(0

28、(6426)屮 nImlms(rQ®,Sz) =RnlHjm(3®，Sz)( 6.5.4)1同理，当j =l 时2I +m +10 '2l+1 Y,m+b 丿(6427)6.6光谱线的精细结构作为角动量耦合计算的一个例子，本节讨论在无外场情况下，电子自旋对类氢原子的 能级和谱线结构的影响。电子自旋与轨道角动量之间存在相互作用，但这种相互作用的能量和电子的动能，以 及电子在核的力场中的势能相比是很小的。如果不考虑电子自旋与轨道相互作用的能量， 则类氢原子的哈密顿量可写为：扩4H0 缶话也(r)(661)对于类氢原子，如果不考虑核外电子对核的屏蔽，则4 zr2U(r)=

29、亠r(662)2Ho、L、Lz、Sz都相互对易，它们有共同本征函数(无耦合表象)屮nImlms(r,Q®,Sz) =RnlYlml (Q 巧人(663)1其中，叫送，讪是自旋Sz的本征值，m是磁量子数。描写电子态的四个量子数由n I、m、ms来确定。电子的能级En有n2度简并。考虑电子自旋，ms可取两个值，因而能级的简并度为2n2。以J =L+S表示电子的总角动量算符。因为2 2L , J ,Jz,Ho两两相互对易，所以，体系的定态2m2c2r dr于是体系的哈密顿量写为：H =Z2 +U (7) +品？ W(6.5.6)（6.5.4 ）所表示的波函数是耦合表象的基矢。现在我们把自旋

30、和轨道运动之间的相互作用能考虑进去，这个能量为:昇）1? §=U（r）l? S?（6.5.5）(6.5.12)=Ho +H由于Lz,LlS H0(6.5.7)SZ'LJS M0(6.5.8)因此，Lz，Sz都与H不对易，这时电子的态不能用量子数 m和ms来描述，或者说m和ms不是好量子数。口 亠KI十2 -2224斗2 3丄2另一万面，由于 J =(L +S)2 =L +S +2L S ， s =扩4(6.5.9)E斗彳 1223亠2则 L S = -J -L -S2242 2所以J , Jz, L都和H对易，j,m,l都是好量子数。H的本征函数就是耦合表象的基矢。而H的本征

31、函数和本征值可由H的本征方程H甲=(Ho+H 用(6.5.10)求出。Ro的本征由与在一般情况下， Ht H。，我们可以用微扰论的方法进行求解。又由于值简并，须采用简并微扰论来讨论。 将甲按Ro的本征函数展开。考虑到H与Jjz'J对易,H与Lz,Sz不对易，显然用 Ro在耦合表象中的本征函数（6.5.4 ）展开计算时要方便得多。令甲=Z Cijm 屮 nIjm( 6.5.11)Ijm简并微扰的久期方程为W H jm,jm -E §f6jPmmGjm =0Ijm其中H|m，ijm =(nl J m H nIjm)= fRn2|(r)S2drlimiLS|ljm)(6.5.13)

32、斗彳1223(ljmL S|ljm)=(lim|2J -L -4扩|ljm)-(6.5.14)舟3=Vj(j +1)l(l +1)-5jj 商 6mm，24则 Hl；，mRm= fRRl(r)qr)r2drj(j+1)l(l +1)血暦 *m，(6.5.15)(6.5.16)所以(6.5.12 )可化为Hnj-ECljm =0(6.5.17)于是有：E(1Hn；jJ2j(j +1)_l(| +1)-3Rl(r)E(r)r2drE表示微扰对能量的一级修正值。注意到 E只与n,l,j有关，而与m无关，因此简并只是部分解除，仍存在对量子数 m的2j +1度简并。当n,l给定后，j的取值为j =1 &

33、#177;1/2 （除1=0 外），因此，自旋轨道耦合也消除了部分简并，使原来对应于n,l量子数的能级Enl分裂为两个能级。由于两个能记得差别很小，从而导致了光谱线精细结构的出现下面我们来计算类氢原子2卩项（n= 2,l =1 ）的精细结构。齐2,、弹，、2 , Ze2 严Rl（r）,2mec22e(6.5.18)0 Rl （）dr= 72 IdrZ42mec2a3 n3l(l +1 2)(l +1)其中30mee贝y Enl,j±+2 =En0)十meC2色Z十2 In丿n +1)(l +1)(6.5.19)E E(0)匚nl ,j ±2匚n苗2 I n 丿 l(2l +

34、1)2mec(6.5.20)"冑c 1371称为精细结构常数。由于H ijm，ljm是对角矩阵,因此 Ho在耦合表象中的基矢就是零级波函数屮nljm，用无耦合表象的波函数表示为n,l,l +2,m( r,日，平 Sz)=l +m + 丄+12lRnj(r)Y,m¥e,£(Sz)+21< +1$l -m 十一2+12lFlj(r)Y,m 十2(日,®)/丄(Sz)"2(6.5.21)屮n,l,l 42,m(r, 巴 Sz)=-2 2l +1I /(lRnj(r)Y,m42e,®)/1(Sz)+-1 2l +1I 丿Rnj (r)Y

35、,mH12e,®)Z(Sz)2(6.5.22)从无耦合表象到耦合表象波函数的变换，也可以认为是简并微扰中零级波函数的重新组合, 以使得H，在简并子空间中对应的矩阵对角化。6.6塞曼效应 碱金属，氢原子和类氢原子核最外层电子有一个价电子。在磁场中，由于磁场对电子的作 用，将使这些原子的光谱线发生分裂。具体的分裂情况与所考虑的自旋在磁场中附加能量、 自旋与轨道相互作用等有关，下面分两种情况讨论。1.简单塞曼效应在这种情况下，略去自记为B。选磁场方向为z轴,先考虑磁场的附加能量远大于自旋轨道相互作用能的情况。旋轨道的相互作用能。 在实验室范围内，磁场近似为均匀磁场，即Bx =By =0 ，

36、B=Bz (6.6.1)相应的磁矢势A和标势*是B,x , Az= 0 , 9=0 2By , Ay =设一价金属的电子在其它电子屏蔽下与原子核和库仑场为 （6.6.1 ）的形式，则体系的哈密顿量为：1eB OeB O 2呻H =（Px -丁y）2 +（Py +X）2 + Pz +v（r） 2me2c2c1 2=P2me1 2P2讥由于（6.8.3 ）式中e2B24 c2因而（6.6.3 ）式右端正比于 B2的项可以略去，得：(662)V（r），外加磁场具有2ce2B24c22呻+y ) +V(r)22呻+(xpx y 卩)+学& +y2)+V(r) c22e B 2 (x 4ceB+

37、Lz +c(x2+y2)/号L4c(664)(663)W（r）屮nlm= EnMlm(6.6.6)2日=盘赢+益Lz （ 665）(665 )式右端的第二项实际就是轨道磁矩与外磁场的相互作用能U_ eLz2mec2H0=2mrV（r）的本征方程为:_亘话2me式中屮nlm= RnYlm是Ho、L、Lz的共同本征函数。Eni是本征值。显然，由于 屮nlm是Lz的本征函数，因而 屮nlm也是H的本征函数，相应的本征值为:Enlm占l +益咙上式表明：加上磁场后，对(667)相邻两能级之间的间隔为m的2l +1度简并被消除，原来的 Eni能级分裂为21十1条能级, Z 益”益称为拉摩频率。光谱线在外

38、场中分裂的现象称为塞曼效应。上述计算并未考虑到电子的自旋。现在考虑电子的自旋，则哈密顿量变为匚寸屮+V（r）屮+旦 （Lz +胃CTz）屮=£屮2me2mec(668)I001叫:。上式可写为:2me2me丁屮1+V（r）屮1 +旦（Lz柿）屮1=E屮12meCW（r）屮2 +旦（Lz _防屮22mec(6.6.9)比较（6.6.6)和(6.6.8 )可见，SZ =材2 , Enim = Eni+；e(1)2讥cSZ =射2 , Enim = Eni+卑(m -1)2mec在外磁场中，能级与 m相应的能谱是:(6610)(6.6.11)有关，原来有m引起的简并被消除，而且，能量与自旋有关。2.反常塞曼效应在强磁场下，不考虑自旋轨道耦合，原子光谱发生分裂的现象称为简单塞曼效应或 正常塞曼效应。在磁场较弱时，要考虑电子自旋轨道耦合能的贡献，这时原子光谱线的分 裂现象，称为反常塞曼效应或一般塞曼效应。考虑电子的自旋轨道耦合能的贡献，我们可以得出反常塞结合上一节的讨论结果， 曼效应的能谱结构为：Enijm j丨丄1+(1 +)mj 柚 i= Enij 权 2j1() mj fe21+2j(j(