矩阵代数基本知识

1、附录I矩阵代数基本知识矩阵和行列式是研究多元统计分析的重要工具，这里针对本书的需要，对有 关矩阵代数的基本知识作回顾性的介绍，其中有些内容是过去教学计划中没有涉 及到的。一、向量矩阵的定义II，a2 P，川,an1,an2，H| ,anp排成如下形式的矩形数将n P个实数a11,a12,表，记为A则称A为n P阶矩阵，一般记为A (ajn p，称aij为矩阵A的元素。当n p时,aip , a2l , a22 ,称A为n阶方阵；若P 1 , A只有一列，称其为n维列向量，记为若n 1，A只有一行，称其为P维行向量，记为当A为n阶方阵，称 a11, a22 ,ann为A的对角线元素，其它元素称为

2、非对角元素。若方阵A的非对角元素全为0 ,称A为对角阵，记为IIIann1，称A为n阶单位阵，记为I n或A I。如果将n P阶矩阵A的行与列彼此交换，得到的新矩阵是P n的矩阵，记为进一步，若a11 a22称其为矩阵A的转置矩阵。若A是方阵，且A A，贝y称A为对称阵；若方阵 A (aj)nn，当对一切i j元素aij 0，则称为下三角阵；若A为下三角阵，则称A为上三角阵。、矩阵的运算1 .对A (aij )n p与B (bj )n p的和定义为:2.若a为一常数，它与矩阵n P阶矩阵A的积定义为:3.若A (aik) pq ， B (bkj)qn，则A与B的积定义为:根据上述矩阵加法、数乘

3、与乘的运算，容易验证下面运算规律:1.加法满足结合律和交换律2.乘法满足结合律(a )A a( A)， a(AB) (aA)B A(aB)3.乘法和加法满足分配律a(A B) aA aB， (a )A aA AA(B C) AB AC , (A B)C AC BC4对转置运算规律(A B) A B , (aA) (aA )(AB) BA , (A ) A另外，若A （aij ）n n满足A A AA I，则称A为正交阵。三、矩阵分块对于任意一个n p阶矩阵A，可以用纵线和横线按某种需要将它们划分成若 干块低阶的矩阵，也可以看作是以所分成的子块为元素的矩阵，称为分块矩阵， 即： 写成 其中 A1

4、1 （aij ）A12(aij)ni P2，A 21 (aij )n2 P1 ， A 22(aij)n2 P2 ，ij m Pi ?piP2 P。分块矩阵也满足平常矩阵的加法、乘法等运算规律。不难证明:Aii A12A。A 21 A22四、方阵行列式的性质一个n阶方阵A （aj）nn中的元素组成的行列式，称为方阵A的行列式记为A或detA。它有以下我们熟知的性质:1. 若A的某行（或列）为零，则 A 0 ；2.3 .将A的某行（或列）乘以数c所得的矩阵的行列式等于 CA ；4 .若A是一个n阶方阵，c为一常数，则cA cn A5.若A的两行（或列）相同，贝y A 0 ；6 若将A的两行（两列）

5、互换所得矩阵的行列式等于7若将A的某一行（或列）乘上一个常数后加到另一行相应的元素上，所得的矩阵的行列式不变，仍等于 A ;8 .若A和B均为n阶方阵，则ABn9 .若A为上三角矩阵或下三角矩阵或对角矩阵，则aiii 110. AA11.若A和B都是方阵，则12.若A和B分别是n p和p n的矩阵，则 五、逆矩阵设A为n阶方阵，若A 0,则称A是非退化阵或称非奇异阵，若是退化阵或称奇异阵。若A是n阶非退化阵，贝y存在唯一的矩阵B，使得AB BA In，阵，记为B A 1。逆矩阵的基本性质如下：1.2.3.4.的解为5.6 .若A是正交阵，则7 .若 A 是对角阵，A diag 佝1,a22,H

6、,ann)且 a”0 ，A 1 diag (an 1,a22 1),ann 1)。8. 若A和B非退化阵，则9. 设方阵A的行列式|a|分块为：若A11，A 22是方阵且是非退化，则六、矩阵的秩1。AA 1 A 1A I(A) 1 (A 1)若A和B均为n阶非退化阵，则设A为n阶非退化阵，b和a为n维列向量，则方程:B称为A的逆矩i 1,|,P，则而 A的一切设A为n P阶矩阵，若存在它的一个r阶子方阵的行列式不为零，(r 1)阶子方阵的行列式均为零，则称A的秩为r，记作rk(A) r。它有如下基本性质：1. rk(A) 0，当且仅当A 0;2. 若 A 为 n P 阶矩阵，则 0 rk(A)

7、 min(n,p);rk(A) rk(A );3.4.rk(AB) min(rk(A), rk(B);5.rk(A B) rk(A) rk(B);6 .若A和C为非退化阵，则rk (ABC ) rk(B)。七、特征根和特征向量设A为P阶方阵，则方程卜，记为1，Ui，使得（AIp0是 的p次多项式，由多项式理论知道2，P，称为A的特征根或称特征值。ilp）Ui 0，则称ui为对应于i的A的特征必有P个根（可以有重根） 若存在一个 P维向量 向量。特征根有如下性质：1 .若A为实数阵，III P，若 i j2. A和A有相同的特征根。3. 若A与B分别是P q与q p阶阵，贝U AB与BA有相同的

8、非零特征根。 实际上，因为所以 那么，两个关于则A的特征根全为实数，故可按大小次序排列成 ，则相应的特征向量Ui与Uj必正交。的方程I Ip AB 0和I I（若有重根，贝陀们的重数也相同），从而AB和BA有相同的非零特征根。4. 若A为三角阵（上三角或下三角），则A的特征根为其对角元素。5. 若1， 2，P是A的特征根，A可逆，则A 1的特征根为1 1， 2 1 1P 。6. 若A为P阶的对称阵， 得实际上，将上式两边右乘 将T按列向量分块，并记为 那么这表明A可以作如下分解： 称之为A的谱分解。八、矩阵的迹BA 0有着完全相同的非零特征根则存在正交矩阵T及对角矩阵A diag（ 1,川，p

9、），使T ,得T(U1,U2,I Up）,于是有AUi iUi， iI p是A的p个特征根，而U1, U2,1,2,Up为相应的特征向量。这样矩阵若A是p阶方阵，它的对角元素之和称为A的迹，记为tr（A）paii。方阵的i 1迹具有下述基本性质:1.若A是P阶方阵，它的特征根为p，则 tr(A)2.3.4.5.tr(AB) tr(BA);tr(A) tr(A)tr(A B) tr(A) tr(B) tr( A) tr(A)九、二次型与正定阵称表达式为二次型，其中aj aji是实常数；X1，若A （aj）pp为对称阵，X （xJIX2，Xp是P个实变量。 ,XP），贝y若方阵A对一切X 0 ,都

10、有X AX 记为A 0 ;若对一切 X 0 ,都有X AXA 0 0记A B，表示A B 0 ；记A B， 正定阵和非负定阵有如下性质：一个对称阵是正（非负）定的当且仅当它的特征根为正（非负） 若A 若A 若A0,则称A与其相应的二次型是正定的，0,则称A与二次型是非负定的，记为表示A B 0 01.2.3.4.其中0，则 A 10 ；0，则cA 0,其中c为正数；0，因它是对称阵， p为A的特征根，5 .若A 0 （0 ）,则存在根。实际上，因为A是对称阵，p）使得A T AT。有AA2T，则有1,|,P，所以则必存在一个正交阵T ,使T的列向量为相应的特征向量，于是1 1 10 （ 0 ）,使得A AA。称A为A的平方diag（ 1, 2,A2 diag（/7,/7,卅，厂）,由于A2的特征根JL 0（ 0 ）, i 十、矩阵的微商1A2 T所以存在正交矩阵T和对角矩阵A 0 （ 0）可知1 .,(0), i 1, ,P。令0 )。设X为：若 则定义由上述定