第2讲刷好题练能力(3)

1、刷好题龜d基础达标1.已知 a = (1, 1), b= (1, 1), c= ( 1, 2),贝y c 等于(13A . a + 尹1 32 a 2b31C.尹2b解析:选 B.设 c=扫+ b 则(1, 2) = X1, 1) + K1 , 1),所以 11 =卅"所以12 = y仏所以 c= 2a Ib.2.设向量a= (x, 1), b= (4, x)，且a, b方向相反，贝U x的值是(A . 2B .C.± 2D .4 = mx,解析：选B.因为a与b方向相反，所以b= ma, m<0 ,则有(4, x)= m(x, 1),所以1|x= m,解得 m =

2、±2.又 m<0,所以 m= 2, x= m= 2.3.已知 A(1 , 4), B( 3, 2)，向量 BC = (2, 4), D 为 AC 的中点，贝U BD =()A. (1, 3)C. ( 3, 3)B . (3, 3)D . ( 1, 3)解析：选 B.设 C(x, y)，则 BC= (x+ 3, y 2)= (2, 4),所以 J乂十 3= 2'Ly2=4,x = 1, 解得y = 6即C( 1 , 6).由D为AC的中点可得点 D的坐标为(0, 5),所以BD = (0 + 3,5 2)= (3, 3).4.(2019温州瑞安七中高考模拟)向量a, b,

3、 c在正方形网格中的位置如图所示，若c= ya卩 R)，则(A.C.解析：选C.设正方形的边长为1,则易知c= (- 1, -3),a= ( 1, 1), b= (6, 2);因为 c=沦 + 山,所以(一1, 3)=X 1 , 1) +6, 2),1r解得2，尸-2,故；=4.5.已知非零不共线向量 OA、OB，若2OP = xOA + yOB，且PA=:AB(入 R)，则点 Q(x,y)的轨迹方程是()A . x+ y 2= 0C. x + 2y 2 = 0B . 2x+ y 1 = 0D . 2x+ y 2 = 0解析：选 A.由 PA=鬲，得OA op = ?(<OB OA),即

4、OP = (1 + rOA XOB.又 2OP= xOAO|x= 2+ 2 入+ yOB ,所以$消去 入得x+ y 2 = 0,故选A.ly= 2 入6.(2019金华十校联考)已知 ABC的三个顶点A , B , C的坐标分别为(0 , 1),匣,0),(0 , 2) , O为坐标原点，动点 P满足|cP|= 1,则|oA+ Ob + OP|的最小值是()A. V3 1B. VH 1c. 73+1D. 0+ 1解析：选A.设点P(x , y),动点P满足|CP|= 1可得x2+(y+ 2)2= 1.根据 OA + OB + OP 的坐标为(2 + x , y + 1),可得 |OA + O

5、B + OP I =寸(x+迈)2+( y+ 1) 2,表示点P(x , y)与点Q( 2 , 1)之间的距离.显然点Q在圆C: x2+(y+ 2)2= 1的外部，求得QC = 73 , |OA+ OB +OP|的最小值为QC 1 =V3 1 ,故选A.7.已知向量a = (1 sin 0 1), b= g, 1 + sin 0)若 a/ b,则锐角 0=解析：因为a / b,所以(1 sin 0) x (1 + sin 0) 1x 丁 = 0,得 cos2 0= ,所以 cos 0=,又因为0为锐角,所以0=n答案：n48. 设向量 oA= (1, 2) , Ob= (a , 1) , OC

6、= ( b , 0),其中 a>0 , b>0 , O 为坐标原点，若A, B, C三点共线，则ab的最大值为解析：易知 AB = (a 1, 1), AC = ( b 1, 2),由 A, B, C 三点共线知 AB / AC,故 2(a 1) ( b 1)= 0,所以 2a+ b = 1., 1由基本不等式可得 1 = 2a+ b>2诗b,当且仅当2a = b时等号成立，所以ab<?,即ab的最大值为1.8答案：89. (2019台州质检)在 ABC中，a, b, c分别为角 A, B, C的对边，向量a= (cos C, 3 b c)，向量 b= (cos A,

7、a)且 a / b,贝U tan A=.解析：a / b?(d3b c)cos A acos C= 0,即3bcos A= ccos A+ acos C,再由正弦定理 得羽sin Bcos A= sin Ccos A + cos Csin A?羽sin Bcos A= sin(C+ A)= sin B,即 cos A=¥3LL,、，. vQ .“sin A 匸所以 sin A = 3 , tan A= conX =返 答案：述若直角边长为2,且10. 如图，两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形,AD =於B + pAC，贝U H 尸解析：因为 / DEB = / ABC

8、= 45°,所以 AB / DE,过D作AB, AC的垂线 DM，DN,则 AN= DM = BM = BD sin 45。半,所以 DN = AM = AB+ BM = 2 + 迈,所以 AD = AM + AN =乎aB + 当Ac ,所以H尸1+寸2.答案：1 +寸22b= d, e=11. 已知 O)A = a, O>B= b, O)C = c, OD = d, O)E = e,设 t R，如果 3a= c, t(a + b)，那么t为何值时，C, D, E三点在一条直线上?解：由题设，知Cd = d-c= 2b-3a,Ce= e- c= (t- 3)a + tb.C,

9、 D , E三点在一条直线上的充要条件是存在实数k,使得CE = kCD ,即(t- 3)a +1b=- 3ka + 2kb,整理得(t 3+ 3k)a = (2k- t)b.若a,b共线，则t可为任意实数;若a,t - 3+ 3k= 0,b不共线,则有1|2k- t = 0,解之得综上，可知a, b共线时，t可为任意实数;6a, b不共线时，t = 5.12. (2019杭州市七校高三联考)在平行四边形 ABCD中，M , N分别是线段AB, BC 的n中点，且 |DM|= 1 , |DN|= 2, / MDN =-:3(1)试用向量AB , Ad表示向量DM , DN ;求|AB|, |a

10、D|;设0为 ADM的重心(三角形三条中线的交点)，若AO= xAD + yAM，求x, y的值.解: (1)如图所示,C> > > 1 > > DM = DA + AM = AB AD ;f f f f 1 f f 1 fDN = DC + CN = AB + |CB = AB |AD.2 f 严,由重心性质知：AO + DO + MO = 0，所以有:0 = xAD + yAM + OA = x(Ao DO) + y(AO MO) AO = (x + y 1)AO + ( x)DO + ( y)MO.所以(X + y 1) : (-x) : ( y) = 1

11、: 1 ： 1? x= y = 3.能力提升1.（2019宁波诺丁汉大学附中期中考试 ）在 ABC中，BC= 7, AC = 6, cos C二2若动 点P满足AP = （1为AB +爭C（入 R），则点P的轨迹与直线BC, AC所围成的封闭区域的面积为（）A. 5C. 2/6B . 10D .476解析：选 A.设aD = |aC ,因为 Ap= (1 ；)Ab + IAC = (1 ?)AB +,所以 B,三点共线 所以P点轨迹为直线 BC.在 ABC中，BC= 7, AC = 6, cos C =7 ,所以sin5151=7,所以 Szabc= 2X 7X 6X 7= 15,所以 S/B

12、CD = 3S4abc= 5.22JI'm2.设两个向量 a= ( + 2,入一cos "和b= g 2 +sin a丿，其中 人m,a为实数,=2b则一的取值范围是（）mA . 6, 1C.(汽 14,81, 6 ?d-2 = 2m, 解析：选A.由a= 2b,得fl?2cos2 a= m+ 2sin a,入=2m 2, 所以（、2於一m= cos2 a+ 2sin a,2222又 cos a+ 2sin a= sin a+ 2sin a+ 1 = (sin a 1) + 2,所以一2w cos a+ 2sin aW 2,所以一2< f-mW 2,2221入 2m 2

13、将 一2m-2)2 代入上式,得- 2w (2m- 2)2- mw 2，得1W mw2,所以=2-m - 6,1.3.已知向量 OA = (3, - 4), OB = (0, - 3), OC = (5 m,- 3-m)，若点 A, B, C 能构成三角形，则实数 m满足的条件是解析：由题意得 Ab= (- 3, 1), Ac = (2 m, 1-m),若 A,B, C能构成三角形，则Ab,5AC不共线，则3X (1 - m) - 1X (2- m)，解得 m-答案"54.（2019浙江名校新高考研究联盟联考 ）如图，在等腰梯形1DC = CB= 2AB = 1, F为BC的中点，点

14、 P在以A为圆心，ADABCD 中，DC / AB, AD =为半径的圆弧DE上变动，E为圆弧DE与AB的交点，若AP =疋D + PAF，其中人卩 R，则2入一的取值范围是解析：建立平面直角坐标系如图所示则 A(0, 0),设 P(COS a,E(1, 0),唸 B(2, 0),F&密sin a(0 ° a 60°,所以(COS a sin a) = f * ,)+ 击,誓)因为 AP= ?ed + pAF,所以sin17cos a= 2 入+ 4 a,所以2 A-尸羽Sin a cos a 2sin( a 30°),因为0 °a 60

15、6; 所以K 2sin( a- 30°)< 1.答案：1,15.(2019 嘉兴模拟)已知点 O 为坐标原点，A(0 , 2) , B(4 , 6) , OMI = OA + tzAB.(1)求点M在第二或第三象限的充要条件; 求证：当t1 = 1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线.解: (1)OM = t1OA + t2AB=ti(0 , 2) +12(4, 4) = (4t2,2ti + 4t2).当点M在第二或第三象限时(4t2< 0 ,有$|2t1 + 4t2 和,故所求的充要条件为t2< 0且tl + 2t2和.(2)证明：当 t1= 1 时，由(

16、1)知 O)M = (4t2, 4t2 + 2).因为 Ab= OB OA = (4, 4), AM= oM OA = (4t2, 4t2)= t2(4, 4) = t2AB,且有公共点 A,所以不论t2为何实数，A、B、M三点都共线.6.已知 a = (1, 0), b= (2, 1).(1)当k为何值时，ka b与a + 2b共线?若aB= 2a + 3b, BC = a+ mb且A、B、C三点共线，求 m的值.解：(1)ka b= k(1, 0) (2, 1)= (k 2, 1),a+ 2b= (1 , 0) + 2(2, 1)= (5, 2).因为 ka- b与 a+ 2b共线,所以