2.1-初等积分法ppt课件

1、)5 . 9()()(ygxfdxdy1. 变量分离的方程变量分离的方程9-2 初等积分法初等积分法例如例如11;1;cos222xydxdyeyyxyxyyyx等都是变量分离的方程.xyyxdxdysincos5则不是变量分离的方程.而方程)5 . 9()()(ygxfdxdy设y=y(x)(axb)是方程9.5的解，则有).),()()(bxaxygxfdxxdy假设 则上式可化为),0)(bxaxyg.)()()(dxxfxygxdy),0)()(1)(),()(ygygxGxfxF再若已知则由 一阶微分方程形式不变性，上式可写成一阶微分方程形式不变性，上式可写成),()(xdFxydG

2、）（9.6,)()(CxFxyG于是有其中C 为任意常数. 即微分方程9.5的使0)(xyg的解y(x)必满足9.6）. 反过来，若由函数方程CxFyG)()(能确定出隐函数y(x)(其中G(y)与F(x)分别是)()(1xfyg与的原函数），则y(x)就是微分方程(9.5)的解.因此当0)(yg时,只需求隐函数方程dxxfygdy)()(的解.)5 . 9()()(ygxfdxdy将方程将方程(9.5)分离变量分离变量,得得, 0)(,)()(ygdxxfygdy变量x,y已分离在方程两端， 然后两端积分，得 12,dyG yCf x dxF xCg y若 CxFyG)()(那么,yx C(

3、隐式解隐式解)(显式解显式解)通解通解. . 000,0,g yyg y若 有根即程的一个解程的一个解,此解可能不包含在通解中此解可能不包含在通解中, 此时称之为奇解此时称之为奇解显然显然y(x)= 也是方也是方0y例例 1 求解微分方程解解,kdxydy)7 . 9(,1kxCeey然后两端积分得. 0,kkydxdy其中常数0k为任意常数,即11,lnCCkxy,1kxCeey当 时， .故若令),(1C0 ),(1Ce,12CeC那么9.7式可写成,)(2kxeCxy) 8 . 9(. 0 ),(2C其中又 显然也是方程的一个解，这个解也可表成0y其中C是任意常数.).0()(22CeC

4、xykx 因而将此解与因而将此解与9.8式表示的解式表示的解合并，得所求方程的通解为合并，得所求方程的通解为,)(kxCexy例例 1 求求)0(43yydxdy的全部解，并作积分曲线的图形.解解 当 时，分离变量得0y,43dxydy两端积分得,44Cxy故通解为,)(25614CxCxyC为任意常数.又y=0时 ，故 也是其一个解.这个解不包含在通解中.0y)(0 xy)0(43yydxdy2. 可化为变量分离方程的几类方程可化为变量分离方程的几类方程(1) 形如dyf axbycadx ,b,c为常数zaxbyc作变量替换 即得 dzdyababf zdxdx,该方程是关于新未知函数z的

5、变量分离方程.例例 4 求求 的全部解的全部解.)1sin(yxy解解令z=x+y+1,那么.sin11zyz当当 即即1sinz),2, 1,0(232 kkz.)(dxzbfadz分离变量并积分锝,sin1dxzdz即即.)24tan(Cxz,0)214tan(yxCx其中C是任意常数.又可看出),2, 1,0(232 kkz也是方程的解. 故方程还有特解).,2, 1,0(2321 kkyx.sin11zyz(2) 形如),(ddyxfxy其中右端的函数f(x,y) 是齐次函数 .的方程,齐次方程齐次方程f(x,y)是齐次函数是指对于任意的).,(),(, 0yxftytxft若f(x,

6、y)可以写成 的函数 则它一定是齐次函数.xy),(xyh.212222xyxyxyxyxyxyy例如xyxyxyxy2dd22是齐次方程. 因为)(),(xyhyxfdxdy齐次方程齐次方程 的解法：的解法：令,xyu ,xuy 则代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduhxuxuxxuuhud)(d两边积分, 得xxuuhud)(d积分后再用xy替代 u,便得原方程的通解.分离变量: 例例 5 求解方程求解方程).0(xxeyyxxy解解首先将方程写作).0(xexyyxy令,xyu ,xuy 则,ddddxuxuxy代入原方程得),0(ddxeuxuxuu),0(ddxexuxu分离

7、变量:),0(dxxdxeuu两端积分得),0(lnxCxeu即原方程通解为.lnCexxy(C 为任意常数)例例 5 求解方程求解方程).0( ,22xyyxyx解解将方程写作.)(12xyxyy,xyu 令令方程可化为,12uuuxu)14. 9(.1d2xudxu即时，有当1u,12xdxudu积分得,lnarcsin1xCu即. 0,arcsinarcsin1CCeeexuuC)0( 1xu又 也是方程(9.14)的解. 原方程的解为).0, 0(,arcsinCxCexxy及).0( xxy(3) 形如形如111222.1,2iiia xb ycdyfaidxa xb yc ,b ,

8、c为常数, 11220abab i 11122200a xb yca xb yc的方程的方程.当当 时，方程时，方程(9.15)的右端为的右端为x,y的齐次函数的齐次函数.021 cc 当当 中至少有一个不等于零时，分下面两种两种情况讨论中至少有一个不等于零时，分下面两种两种情况讨论.21,cc),(00yx有唯一解.记此解为 .即 满足),(00yx. 2 , 1),(00iybxaciii于是11220abab ii 1122110,a ba bk a b当时,记11za xb y令111112zcdzdyabab fdxdxkzc则 00,uxx vyy令111cybxa),()(010

9、1yybxxa222cybxa).()(0202yybxxa则方程(9.5)化为,1211vbuavbuafdudv这是关于u,v的齐次方程.变量分离的方程变量分离的方程1120,abb当=0时,由 =0,=01122a xcyfa xc111222.cabyfa xb yc当=0时,方程为变量分离的方程变量分离的方程形如形如)(cbyaxfy例例 5 求解方程求解方程.32412yxyxy解解这里分子分母中的x,y项的系数成比例.令,2yxz那么32122zzyz.32) 1(5zz分离变量并积分得,5132dxdzzz由此可求出通积分,152xzCez再用x,y表示z，得原方程的通积分,1

10、22xyCeyx其中C 为任意常数.3. 一阶线性微分方程一阶线性微分方程 dyPxyQxdx如方程txtdtdxxyyyxycos,sin,222等都是线性方程.而而ydxdyedtdxyeytxx,2等都是非线性方程.0)(ddyxPxy1. 解齐次方程分离变量xxPyyd)(d两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(一阶线性微分方程的上述通解包含了它的一切解一阶线性微分方程的上述通解包含了它的一切解 dyPxyQxdx假设 Q(x) 0, 假设 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .称为齐次方程 ;0)(yxPdxdy对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方

11、程特解xxPCed)(2. 解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy那么xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(xxPexQxud)()(ddCxexQuxxPd)(d)(两端积分得机动 目录 上页 下页 返回 完毕 例例 8 解方程解方程 .) 1(12dd25xxyxy解解 先解先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得,ln1ln2lnCxy即2) 1( xCy用常数变易法求特解. 令,) 1()(

12、2xxuy那么) 1(2) 1(2 xuxuy代入非齐次方程得21) 1( xu解得Cxu23) 1(32故原方程通解为Cxxy232) 1(32) 1(例例9 求解伯努利方程求解伯努利方程)1,0()()(ddyxQyxPxyy以)()(dd1xQyxPxyy令,1 yzxyyxzdd)1 (dd则)()1 ()()1 (ddxQzxPxz求出此方程通解后,除方程两边 , 得换回原变量即得伯努利方程的通解.解解(线性方程) 补例 3 求方程 的通解.2)(lnyxaxydxdy),(ln112xayxdxdyy即),(ln1)(11xayxdxyd则上述方程成为令,1 yz),(ln1xaz

13、xdxdz通解为CdxexQezdxxPdxxP)()()(Cdxexaezdxxdxx11)ln(解解 以以 除方程的两端，得除方程的两端，得2y.)(ln22xaCxz，代以zy1.1)(ln22xaCyx 补补 例例 解方程解方程 .1yxdxdy 解解 把所给方程变形为把所给方程变形为,yxdydxCdyeyQexdyyPdyyP)()()(得所求方程的通解为.1yCexy,yxdydx.1)(yQyP这里4. 全微分方程与积分因子全微分方程与积分因子使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d则称0d),(d),(yyxQxyxP为全微分方程 ( 又叫做恰当方程

14、 ) .判别: P, Q 在某单连通域D内有连续一阶偏导数,xQyPDyx),( 为全微分方程 那么求解步骤:方法1 凑微分法;方法2 利用积分与路径无关的条件.1. 求原函数 u (x, y)2. 由 d u = 0 知通解为 u (x, y) = C .例例 10 求解微分方程. 042324dyyxdxxy解解)(42yxd因为,42324dyyxdxxy因而, 0)(42yxd故其通积分为,42CyxC为任意常数.例例 11 求解微分方程. 0)2sin21()2cos(2222dyyyxyxdxxyyx解解因为2),(,4sinRyxxQxyyxyP且它们在全平面上连续，所以方程为全

15、微分方程.求原函数u(x,y).由 . 对x积分得22cos),(xyyxyxPxu)28. 9(),(cos21),(222yyxyxyxu其中 为待定的可微函数.上式对y求偏导数得)(y).(2sin2122yyxyxyu另一方面，),(yxQyu,2sin21222yyxyx,)(2yy ,31)(3yy 代入9.28式得,31cos21),(3222yyxxxyxu故原方程通解为,31cos213222CyyxxxC为任意常数.),(yxyxo补例补例 求解求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解解 因为因为yP236yyx ,xQ故这是全微分方程. , 0, 0

16、00yx取则有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解为Cyyxyxx332253123)0 ,(x机动 目录 上页 下页 返回 完毕 ,),(),(),(000CdyyxQdxyxPyxuyyxx（3） (2) 积分因子：积分因子： 命题命题满足满足 ,MNyxF xN x y ,NMxyG yM x y或或那那么么 0 xxF t dtxe 定义定义 若方程若方程M(x, y)dx+N(x, y)dy=0不是全微分方不是全微分方程程,但存在但存在 一个函数一个函数 使方程使方程 m(x, y)M(x, y)dx+m(x, y)N

17、(x,y)dy=0 是全微分方程，则函数是全微分方程，则函数m(x, y) 叫做此方程的积分因子叫做此方程的积分因子,0 x y,0M x y dxN x y dy若方程中的函数若方程中的函数,M N 0yyG t dtye是该微分方程的一个积分因子是该微分方程的一个积分因子xNyMyMxN例例 12 求解微分方程)40. 9(. 0)3()2(32dyyxdxyxy解解, 0)21 (2) 14(1xyxyyMxN因而不是全微分方程，但,2yMyMxN所以. 0,1)(2|ln2)2(1yyeeyydtyy),40. 9()(y得全微分方程. 0322yydxxdyydyxdx通积分为,23

18、22CyxyxC为任意常数. 比较简单的情形下可用观察法求积分因子. 例如，方程 y d x - x d y = 0 不是全微分方程， 但 由于 可知 是一个积分因子. 易知 1 / x y , 都是积分因子.乘上其中任何一个并积分， 便能得到所求方程的通解： 又例如，方程 （1 + x y) y d x + ( 1 - x y ) x d y = 0 也不是全微分方程，但将它的各项重新合并，得,)(2yxdyydxyxd21y21x.Cyxy d x + x d y ) + x y ( y d x - x d y ) = 0 , 0)(22ydyxdxyxxyd.0)(22ydyxdxyxx

19、yd积分得通解为即).(ln1111CxyeCceyxCyxxy容易看出 为积分因子，乘上它，方程变为221yx, 0)(22ydyxdxyxxyd常见的全微分表达式常见的全微分表达式 222yxdydyxdx xydxydxxdy2 xyarctgdyxydxxdy22 xydxyydxxdyln )ln(212222yxdyxydyxdx yxyxdyxydxxdyln2122可选用积分因子可选用积分因子.,1,1,1,12222222等等xyyxyxyxxyx 解法：解法： 5. 可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程 (1) 不显含未知函数不显含未知函数y的方程的方程,0F x y y .0),( zzxF令，令， 则方程化为关于新未则方程化为关于新未 知知zy,zy z函数函数 的一阶方程的一阶方程若求出该方程的通积分为,0),(1Czx再求解一阶微分方程0),(1Cdxdyx即可.例例 14 求解方程.)(12yy 解解方程不显含未知函数y,令 ， 则方程yzyz 降为一阶方程,12z