第三节格林公式及其应用1

1、第三节第三节 格林公式及其应用格林公式及其应用(1)(1)一、格林一、格林(green)(green)公式公式 二、简单应用二、简单应用三、三、小结小结区域连通性的分类区域连通性的分类: : 设设d d为平面区域为平面区域, , 如果如果d d内任一闭曲线所围内任一闭曲线所围成的部分都属于成的部分都属于d, d, 则称则称d d为平面为平面单连通区域单连通区域, , 否则称为否则称为复连通区域复连通区域. .复连通区域复连通区域单连通区域单连通区域d dd d连成连成与与由由21lll组成组成与与由由21lll边界曲线边界曲线l l的正向的正向: : 当观察者沿边界行走时当观察者沿边界行走时,

2、 ,区域区域d d总在他的左边总在他的左边. .2ld1l2l1ld域 d 边界l 的正向正向: 域的内部靠左域的内部靠左ld区域 d 分类单连通区域 ( 无“洞”区域 )多连通区域 ( 有“洞”区域 )定理定理1. 设区域 d 是由分段光滑正向曲线 l 围成,则有, ),(yxp),(yxqldyqxpyxypxqdddd( 格林公式格林公式 )函数在 d 上具有连续一阶偏导数,ldyxyqxpyxqpdddd或一、一、 格林公式格林公式证明证明: 1) 若d 既是 x - 型区域 , 又是 y - 型区域 , 且bxaxyxd)()(:21dycyxyd)()(:21则yxxqddddcy

3、yyqd),(2)()(21dyyxxqcbeyyxqd),(caeyyxqd),(cbeyyxqd),(eacyyxqd),(dcyyyqd),(1dcyddcyxoecbabad ldyyxq),(即yxxqddd( , )dlq x yy 同理可证yxypddd( , )dlp x yx 、两式相加得:ldyqxpyxypxqddddyxol2) 若d不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割1dnd2d31d dkdkqpx yxyyxypxqddd31ddkdkp xq ylyqxpdd为有限个上述形式的区域 , 如图)(的正向边界表示kkdd3)若d为复连通区域复连通区域，这时可用

4、光滑曲线将d分成若干个单连通区域从而变成(2)的情形.见p203图11-11gd3l2lfce1lab由由(2)知知 ddxdyypxq)( ceafcbalab2 cgaeclqdypdx)(3 lqdypdx 231)(lllqdypdx),(32, 1来说为正方向来说为正方向对对dlll推论推论: 正向闭曲线 l 所围区域 d 的面积1dd2lax yy x 例例1. 圆(cos1):, 02sinxalya所围面积lxyyxadd21201 (cos1) cossin (sin )d2aaaa2a二、简单应用二、简单应用: :类例见p204例11.1.计算平面面积计算平面面积: :23

5、2.2 3lx ydxx dy l l例例是是一一分分段段光光滑滑的的闭闭曲曲线线，计计算算： 2 2。23222 q=,3qp 220 x yxxxxy解解： 令令p= 2p= 2则则232003dx ydxx dydxdyl l2 22. 2. 简化曲线积分简化曲线积分: :x xy yo ol la ab bdboaboal ldxdydxdy, boaboaxdyxdyxdy, 0, 0 booaxdyxdy由于由于.412rdxdyxdydab 例例4. 计算,dd2dyyxe其中d 是以 o(0,0) , a(1,1) , b(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解解: 令, 则2,

6、 0yexqpypxq由格林公式 , 有dyyxedd2dyyexd2yexoayd2yeyyd102)1(211exy oyx) 1 , 1 (a) 1 , 0(bd2ye3. 3. 简化二重积分简化二重积分: :解法一解法一 : :方向是顺时针方向。例例5 5.计算22ly xdyx ydx 其中l是圆周222ayx0yx022222ydyxdxayxdxyxdydadxxaxdadxaxa22204cossin2202cossin88224cos122sin242042204adada2222220l()24 (),lllay xdyx ydxx yx y dxx ydx=0f x yx

7、xxx yd关于对称，关于 为偶函数解法二解法二: : 利用圆的参数方程转化为定积分计算dadyaydadxaxlydxxxdyycos,sinsin,cos2204224222sincossincosaad2cossin242022a解法三：解法三：利用格林公式计算2222,xypyxpyxqxyqdddxdyyxdxdyypxq)()(222222y xdyx ydxy xdyx ydx -ll422002aadr rdr例例6. 计算,dd22lyxxyyx其中l为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 令,022时则当 yx22222)(yxxyxq设 l 所围区域为d,)0 , 0(时当d由格林公式知0dd22lyxxyyx,22yxyp22yxxqypyxoldsincos2022222rrr2,)0 , 0(时当d在d 内作圆周,:222ryxl取逆时针方向,1d, 对区域1d应用格lyxxyyx22ddlyxxyyx22ddllyxxyyx22dd0dd01yxdllyxxyyxyxxyyx2222ddddl1dloyx记 l 和 l 所围的区域为