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文档简介
1、非惟一结果立几问题四例张洪涛 关于学生的思维，04年考试大纲指出：“具有一定的数学视野，认识数学的科学价值和人文价值，崇尚数学的理性精神，形成审慎思维的习惯”。数学题中的“多解”问题是培养学生理性思维、审慎思维及严密性和准确性的一个有效手段。本文就立体几何中常见的“非惟一结果”问题列举四例。 例1. 二面角中，于B，于C，则二面角的平面角的大小为_。 解：如图1，交线面ABC图1 设面ABC交m于D 中， 则有 中， 于是可知二面角的平面角等于或 点评：本题易遗漏这个结果。 例2. 已知空间一点P到二面角的两个面及棱m的距离分别为1，2，则二面角的平面角的大小为_。 解：在图2中，易知图2 所
2、以二面角的平面角为或 本题还有一种情况： 如图3所示，图3 所以二面角的平面角为或 综上，本题所求二面角的平面角的大小为或或 点评：课堂教学经验表明，有90%以上的同学没有意识到图3的情况。 例3. 空间四边形ABCD中，M、N、P分别是AC、BD、BC的中点，若异面直线AB和CD成的角，求MN的长。 解：如图4，易知或其补角为异面直线AB和CD所成的角。图4 所以或 在中， 若，则 若，则 点评：一般学生会认为为异面直线所成的角等于，从而遗漏为钝角的情况。 例4. 是边长为2的正三角形，BC/平面，A、B、C在平面的同侧，它们在内的射影分别为。若为直角三角形，BC与平面的距离为5，求点A到面的距离。 解：如图5，设平面，A点可分在面BCM的上侧及下侧两种情况。图5 由题意易得 于是点A到面的距离为或 点评：本题容易遗漏这种情况。 以上几个例子充分说明了学生思维严密性的培养，是正确、完整解答数学题的关键，是克服学生“会而不对”、“对而不全”问题的有效手段。最后再给出几道练习题，同学们不妨一试。 练习 1. 如果线段AB的两个端点A、B到平面的距离分别是4和2，那么AB的中点P到平面的距离是_。 （答：3或1） 2. 已知点A、B和平面的
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