错比对更耐人寻味

1、“错”比“对”更耐人寻味“纠错”比“解题”更发人深省基于等腰三角形教学行程中的思考与认识浙江省宁波外国语学校 郑瑄 315000梁启超先生在成败一文1中写道：天下岂有终身不经失败之人哉！做过不如错过，错过不如错得多。失败者实天惠之学校也，能受此天惠与否，则亦视其人也已矣。来自学生抑或教师的错误，都是一个非常值得珍视的资源2。因为，由着这个错误的源头追索、反思，不仅能走出误区，而且还会另有一番风景豁然眼前，别有洞天。这是最为难得的。笔者在等腰三角形的教学行程中，碰到一些颇有意味的教学案例，在咀嚼、回味的同时，更有一些教学感悟和思想油然而生，如今撰文，以飨同仁。1 一个定理的证明1.1 来自教师的

2、信息笔者曾经作为评委参与了一场高级职称的评定。在说课这个环节中，参评教师拿到的题目是：就等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，进行教学片断的说课。根据当时的纪录：100%的教师都指出，定理的证明是本节课的重点和难点，并且都引导学生添加辅助线（如图）：作A的平分线（教科书上的方法）；约70%的教师指出，还有其它的辅助线添法，比如说作BC边上的高线；约4%的教师指出，辅助线的添法可以作A的平分线，也可以作BC边上的高线，但是作BC边上的中线是不行的；其中有一个教师指出，可以不添辅助线证明此定理。1.2 课堂教学中学生的动态及其教学的导向笔者在本节课教学的开课伊始，

3、让全体同学动手画一个等腰三角形，于是，各种各样的画法呈现在全班同学的面前。当然，判定定理所昭示的方法也在其中。那么，画法的正确性必然是需要探究和论证的。怎么证明呢？生甲：可以作ABC的角平分线AD，然后利用AAS判定AB、AC所在的两个三角形全等.师：OK！（此举得到了所有同学的认可，而且，受之启发跃跃欲试者纷然.）生乙：还可以作BC边上的高线，也是利用AAS判定AB、AC所在的两个三角形全等. 图师：很好！还有其它方法吗？生丙（急切地）：作BC边上的中线.师:请同学们将丙同学提供的证明思路叙写出来.(很快的，有一股强烈的声音在涌动：不行，三角形的全等不能得证！因为现有的条件是两边和其中一边的

4、对角相等，不能判定两个三角形全等.)众生（嚷嚷）：老师，作中线不行啊！师：作中线果然不行吗？作中线一定不行吗？作中线绝对不行吗？（空气有些许沉寂，众生开始思索，继而有议论声起）生丁（沉吟地）：我认为作中线也是可以的，只是略麻烦一些，需要证明两次全等生戊（生丁的同座站起来补充）：经过点D作AB、AC边上的垂线，（如图）垂足为点E、F，先利用AAS证明DEBDFC，再利用HL证明AEDAFD. 图 生己：还可以倍长中线来证明. （如图）倍长中线AD至G，连结CG，容易证得ABDGCD，接下来只要证明ADCGDC即可，过点D作AC、GC边上的垂线，垂足为 点E、F，先利用角平分线的性质证明DE=DF

5、，再分别利用HL证明DEBDFC、AEDAFD.生庚：我认为，事实上戊同学和己同学的思路是一致的。（众生饶有兴味地看着、听着、思考着）师：各位同学，事实上，不添辅助线也可以证明（如图）（众生期盼.）师：在ABC与ACB中，A=ABC=CBB=CABCACB（AAS）AB=AC（全等三角形对应边相等）ABC是等腰三角形（哇！It is very interesting !） 图 图 2 “三线合一”引发的谬误和感悟 2.1 一个经典的错误已知：如图，在ABC中，D为BC中点，AD平分BAC求证：ADBC证明：AD为BC边上的中线，AD平分BAC（已知）ADBC（等腰三角形三线合一） 2.2 探究

6、其实质 图中国古典哲学的一个根本观念“天人合一”，那是一种完美的境界。笔者以为等腰三角形的“三线合一”，那也是一种十分优美的意境。事实上，学生们对于等腰三角形“三线合一”这种极其直观、对称的美感是认同而接受的，而且，它可以替代以往冗长的全等证明，充分彰显了数学的简洁之美。但是，不可否认的是，学生们对于等腰三角形“三线合一”的理解，有时会陷入一种混乱状态，原因就是对其实质的理解产生模糊，“三线合一”的前提条件，必须是等腰三角形。我们不妨提出一个新的命题：在ABC中，条件：（1）AB=AC（等腰三角形）（2）AD平分BC（3）AD平分BAC（4）ADBC其中任意两个成立，必然能推出另两个成立。于是

7、，就有下列六种情形：（1）（2）（3）（4） （1）（3）（2）（4） （1）（4）（2）（3）（2）（3）（1）（4） （2）（4）（1）（3） （3）（4）（1）（2）前三种,就是等腰三角形“三线合一”的数学语言描述，其证明一蹴而就，后两种的证明也十分简捷，只有第4种，也就是2.1中提到的，它的证明略显冗繁，但是,也可以归结到1.2中提到的证明方法，得以解决。当然，简洁的证明还可以利用面积来证明(图)：因为点D是BC的中点，所以ABD与ACD的面积相等，而ABD与ACD的面积相等还可以表示成AB×ED=AC×DF.因而若能证得ED=DF,命题自然得证.对问题的实质进行探

8、究并使其清晰、明朗，那么解题的思路也必然清晰、准确，错误自然消失了。3 让人怦然心动的“错” 3.1 我们没有算错！学生们捧着他们的作业本来找教师，他们对于教师的批改不以为然，他们坚持他们没有算错，他们的答案是正确的。题目：如图，在RtABC中，BAC=90°AB=AC，AD是斜边BC上的中线，AD=5cm,求ABC的面积.学生的解答是这样的：解：于是，教师向学生提了这样几个问题： 图 （1）请问：如何求三角形的面积？三角形的面积公式是怎样的？（2）再问：本题条件中有否给出三角形的底边长以及底边上的高线长呢？（3）追问：既然底边长和底边上的高线长都未知，那么，首当其冲要解决的问题是求

9、出它们的长！你求了吗？（4）我们在数学学习、数学解题过程中，十分强调八个字：言必有据、算必有理，你的算式有根有据吗？3.2 为何总是要错？题组如下：（1）如图,直线a、b相交于点B，点A是直线a上的一定点，在直线b上寻找一点C，使ABC是等腰三角形，请画出所有的等腰三角形.（2）如图,在等边ABC所在平面内求一点P,使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，问具有这样性质的点P共有几个？（3）如图，已知RtABC中，C=90°，A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使PAB为等腰三角形，则符合条件的点P有多少个？请找出来.图 图 图 学生们诉说这类题目太容易错，不是找多了，

10、就是找少了，总是要错！每次解题都不能安心、踏实。问题的关键在哪里？笔者以为，最关键的是一种理性的数学思考方式，而不是散漫的寻找。首先，为了不重不漏，必须分类。宏观上分两大类：定线段为所作等腰三角形的底边或腰；微观上定线段为腰时，以定线段的两个端点分别为等腰三角形的顶点再分类。其次，注意有重合的点的情形。以（3）为例（如图）：首先，以定线段AB为等腰三角形的底边，得到两个点P1、P2；然后，以定线段AB为腰且点A为等腰三 图角形的顶点，得到三个点P3、P4、P5，最后，以定线段AB为腰且点B为等腰三角形的顶点，得到三个点P6、P7、P8，由于条件中出现的正三角形的特殊性，其中的点P2、P4、P8

11、实质上是重合的同一个点.所以，符合条件的点P有6个.3.3 意想不到的错！题目：正三角形给人以“稳如泰山”的美感，它具有独特的对称性。请你用几种不同的分割方法，将图中的正三角形分别分割成四个等腰三角形（在图中画出分割线，并标出必要的角的度数）.学生们的分割方法可谓是精彩纷呈，作为教师也不得不佩服孩子们灵动、聪慧的动手能力。课堂上，学生们每一种方法的呈现，每每能获得全体同学的称道和掌声。黑板上展示了以下几种分割法：法（1） 法（2） 法（3） 法（4） 法（5）令同学们感叹的当然是后面的几种方法，因为同学们觉得能想出这样的分割确实不容易。但是，就在同学们感慨自己为何没有想到此种方法的时候，教师说

12、了一句话：方法（5）是有问题的！这令所有的人都吃了一惊！于是，同学们不再是观赏和仰视的眼神，而是判研和直视的眼光。基于这种探究和质疑的心理状态，问题果然很清晰地呈现在我们所有人的面前（法5）：由于PAB=PBA=40°，PAC=PCA=20°，所以点P必然是线段AB、AC的中垂线的交点，于是点P也必然落在线段BC的中垂线上，可是PBC=20°40°=PCB，出现了矛盾。那么，问题在哪里呢？让我们重新动手再画一次： 我们看到，正三角形确实能够分割成四个等腰三角形，但是，此时内部还留有一个空隙：一个内角分别为40°、60°、80°

13、;的三角形。4 一种新的精神的培植数学教师的哲学思考3：数学教学想要给学生什么？郑毓信教授在他的回顾、总结与展望一文4中写道：我们在数学课上所希望学生养成的乃是一种新的精神：这并非与生俱来，而是一种后天养成的理性精神；一种新的认识方式：客观的、定量的研究；一种新的追求：超越现象以认识隐藏于背后的本质（是什么？为什么？）；一种不同的美感：数学美（罗素形容为“冷而严肃的美”）；一种深层次的快乐：由智力满足带来的快乐，成功以后的快乐；一种新的情感：超越世俗的平和；一种新的性格：善于独立思考，不怕失败，勇于坚持谁都可能在数学学习中出错，包括教师。古话说：知错就改，善莫大焉。笔者以为，知错就改、逢错必纠固然是坚定不移的方向，但是，更重要的是，如若师生能将错误的经历作为一份潜在的宝贵的资源、广袤的宝藏加以