谈微元累加法在中学物理中的应用

1、谈微元累加法在中学物理中的应用浙江省奉化市第二中学 （315006） 陈辉达这里所说的“微元法”和“微元累加法”其实就是高等数学中的“极限”和“微积分”思想在中学物理中具体应用时的一种通俗称呼。下面先结合中学物理教材中与“微元法”和“微元累加法”相关的几个具体问题作一些归纳。一、“位移微元”和“时间微元”人教版高一物理教科书（必修）在“瞬时速度的理解”的表述中提到：“从A点起所取的位移越小，汽车在该段时间内的速度变化就越小，所得的平均速度就越能较精确地描述汽车经过A点的快慢程度。当位移足够小（或时间足够短）时，测量仪器已经分辨不出匀速运动和变速运动的差别，就可以认为汽车在这段时间内运动是匀速的

2、，所得的平均速度就等于汽车经过A点的瞬时速度了。”在“向心加速度公式的推导”中提到：“比值v/t是质点在t时间内的平均加速度，方向和v的方向相同。当t足够短，或者说t趋近于零时，v/t就表示出质点在A点的瞬时加速度。” 这两个例子，都是由“平均值”的定义出发，通过无限分割逐渐逼近的方法，把“位移微元s”和“时间微元t”推向极限，从而得出“瞬时值”的概念。二、“时间微元累加法”和“位移微元累加法”人教版高一物理（必修）在匀变速“位移公式的另一种推导”中提到：“设想把时间t分成许多小的时间间隔，在每一个小的时间间隔内物体都做匀速运动，当时间间隔分割得足够小时，折线趋近于直线AP，设想的运动就代表了

3、真实的运动。由此可以求出匀变速运动在时间t内的位移，它在数值上等于直线AP下方的梯形OAPQ的面积。”在“变力做功”中提到：“把曲线分成很多小段，每一段都足够小，可认为是直线；物体通过每一小段的时间足够短，在这样短的时间里，力的变化很小，可以认为是恒定的。这样，对每小段来说，就可以用公式W = Fs cos 计算功，把物体通过各个小段所做的功加在一起，就等于变力在整个过程中所做的功。这两个例子，通过“时间微元”和“位移微元” ，解决了在研究的问题中某些物理量的“变化的”和“不变的”这一对既对立又统一的矛盾。通过无限分割，把“变化的”转化为“不变的”。再经过无限积累，从而能够应用已知的物理规律（

4、或公式）导出新的物理规律。细致地引导学生体会：在碰到新的问题时要积极地创造条件，应用已有的知识解决新问题。三、“体积微元”“体积微元”在中学物理教材中虽然没有直接提到，但是在说到对一些基本物理规律的进一步应用时，应该明确的向学生指出“体积微元”和“体积微元累加法”这一思想方法。如对于万有引力定律和库仑定律，定律本身的适用对象分别是质点和点电荷这些理想模型，要把定律应用到实际物体时，必须运用“体积微元累加法”这一思想方法。这样做，对引导学生建立正确的物理世界图景应该是有利的。四、“微元累加法”在物理问题中的应用.“微元累加法”作为一种思想方法在中学物理中有着广泛的应用,下面结合几个例子具体分析.

5、例1如图1所示，质量为M的船静止在平静的水面上，不计水的阻力，现有一质量为的人从长为L的船的船头走到船尾时，问船的位移是多少？ 人船问题的分析，一些教师教导学生应用通常所说的平均动量守恒来解决问题。而忽视了在此问题中对思想方法的培养和训练。 我们知道动量守恒定律具有同时性，动量守恒定律表达公式的两边动量分别是系统在初、末状态的总动量，初状态的动量中的v1，v2是指相互作用前同一时刻两物体的瞬时速度，末状态动量中的v1，v2，是相互作用后同一时刻的瞬时速度这样在人船模型中是不能直接用公式的解决问题的分析：把船和人作为系统，则系统所受的合外力为零，人在行走时，系统时时刻刻都满足动量守恒的条件，由于

6、初状态时系统的总动量为零，即有mv1，= M v2， 其中v1，、v2，代表任一时刻人、船的瞬时速度大小在这里人、船的瞬时速度大小是在变化的，不能直接用s = v t来计算位移。运用“微元累加法”，把整个过程的时间t分成许多时间微元，在每一个时间微元内可以认为物体都做匀速运动，人、船在内的位移微元分别为1= v1，、2= v2，. 由、得 1 = M2 对于整个过程，把所有的位移微元1，2分别累加起来，有1= M2 1是人的位移1，2是船2的位移2，将改写为1 = M2 又1 +2 =L 得1M L（M）,2L（M） 用微元累加法来分析阐述人船问题，能够使学生进一步加深人船问题中的物理过程认识

7、以及对动量守恒定律相对同时性（或瞬时性）的理解。 (2)变力的冲量问题冲量的定义I = Ft ，如果要用此公式直接计算，则要求力F在时间t内是恒力，对于变力的冲量，也可以应用微元累加法进行分析解决。解：最先的下落高度h1 =1800m的过程中，在时间微元内可以认为速度v不变,由动量定理,得mg- kv= mv 式中的v就是在时间微元内下落的高度，进一步应用微元累加法，在下落所时间t1过程中有，mg1- kh1 = mvmax 且在最大速度下落时，有，mg = kvmax 代入数据(g取10m/s2)得：1 = 41(s)打开降落伞后的最先2 = 1s时间内下落的高度h2 =( vmax+ v1

8、) 2= (50+5.0)X1=27.5(m)匀速下落时间3 =( h3 - h2)/ v1=( 200 27.5)/5.0=34.5(s)所以,运动员在空中运动时间t=(1 +2+3)=76.5(s)虽然这是一道会考要求的题目，但是题目的解决过程中包含了丰富的物理方法：首先是运动模型的建立，题目要求是进行估算，这里“估算”的含义就是对运动过程的合理建模，最先的1800m的下落过程中，由于阻力对运动的影响, 不是匀加速运动。可以假设空气阻力f与速度v成正比，即f =kv（k为常量），而后应用微元累加法得出变力的冲量的表达方式，再应用动量定理。打开降落伞后的最先1s时间内，要假设运动员是做匀减速运动。只有建立了这样的正确合理的