留数在积分计算中的应用杨瑛最终版

1、 山西师范大学本科毕业论文 留数在积分计算中的应用 姓 名杨瑛学 院数学与计算机科学学院专 业数学与应用数学班 级12级双学位学 号1154050131指导教师籍慧洁答辩日期成 绩 留数在积分计算中的应用内容摘要积分计算不但是高等数学中的一大主要内容，还是其他学科在处理实际生活问题时需要解决的一大问题。有的被积函数往往很难求出原函数，这时我们需要用到新的计算积分的方法留数。留数是积分计算的又一重要工具，一般的积分计算我们可以采用牛顿莱布尼茨公式、柯西积分定理、高阶求导公式、换元法等方法，而相对复杂的积分计算则需要采用新的运算方法，而留数及留数理论就起到至关重要的作用。本文首先，系统的归纳总结了

2、留数在有限奇点及无穷远点处的定义，留数定理及相关理论以及留数的计算方法；其次具体的介绍了留数定理在定积分计算中的应用，主要包括三角函数有理式积分计算、有理函数积分计算、有理函数乘三角函数积分计算、两类特殊的广义积分计算以及利用泊松积分 作辅助函数计算弗莱聂耳积分及；最后对本文进行了小结.本文对留数理论的应用进行了分析总结，旨在为解决复杂积分问题提供理论依据，同时也为解决生活实际中的积分问题提供理论方法.【关键词】留数 留数定理 复积分 实积分 极点 零点 广义积分Application of Residue in Regulation CaculatingAbstract Integral c

3、omputation is not only the main contents in higher mathematics, or other subjects in dealing with real life need to solve a major problem. Some integrand is often difficult to find out the function, at this moment, we need to use new method for calculating integral residue.Residue is the important t

4、ool of integral calculation, the general integral calculation we can use Newton, leibniz formula,Cauchy integral theorem, higher-order derivative formula, change element method and other methods but relatively complex integral calculation requires new methods of operation, so the residue and residue

5、 theory will play a crucial role. Summarized in this paper, first of all, the system residue in limited singularity at infinity and place, the definition of residue theorem and the related theory and the method for calculating the residue; Second specific residue theorem is introduced in the applica

6、tion of the definite integral calculation, mainly including trigonometric function rational expression of integral calculation, rational function integral calculation, rational function by trigonometric function integral calculation, the generalized integral calculation of two kinds of special and P

7、oisson integral is used as the auxiliary function calculation the Frensnel integral; Finally, this article has carried on the summary. In this paper, the application of residue theory are analyzed and summarized, aimed to provide theoretical basis for solving the problem of complex integral, as well

8、 as provide theoretical method to solve the integral problem in actual life.【Key Words】 Residue The residue theorem Complex function integral Real integral The pole Zero Generalized integral目 录一、引言1二、留数的定义及相关定理1（一）定义1（二）主要定理及证明1三、留数的求法及应用4（一）留数的求法4（二）应用留数求复积分64、 应用留数计算定积分8（一）三角函数有理式积分8（二）有理函数积分9（三）三

9、角函数乘有理函数积分12（四）两类特殊路径上的广义积分15（五）利用函数计算积分19五、小结21参考文献22致谢23留数在积分计算中的应用学生姓名：杨瑛 指导老师：籍慧洁一、引言积分计算不仅是高等数学的重要内容，也是其他学科在处理实际问题时需要解决的重要问题。对于一些简单的实积分可以用牛顿莱布尼兹公式计算，但对于一些复杂的实积分牛顿莱布尼兹公式并不适用。这时就需要新的方法来解决复杂实积分问题，而复变函数为我们提供了一个重要的理论来解决这一问题，即留数定理。留数及留数相关理论在复变函数中占有重要地位，它在积分计算、辐角原理、拉普拉斯变换等问题中起到重要作用。留数在积分计算中的基本思路：首先，选择

10、一个恰当的辅助函数和一条相应的积分路径，将实积分的计算转化为沿闭合回路曲线复积分的计算；接着，将问题转化为求闭合回路曲线内部每个孤立奇点的留数值；最后，利用柯西留数定理得到所求积分的解。本文主要对留数及其相关定理进行了系统的归纳和总结，旨在进一步认识到这一重要理论在积分计算中的应用。2、 留数的定义及相关定理（一）定义 定义1 设是函数的有限孤立奇点，即函数在点的某去心领域内解析，则称在点处的留数为积分，记为. 定义2 设为函数的一个孤立奇点，即在去心邻域内解析，则称为在点的留数，记为.（注：是指顺时针方向，可看作是绕无穷远点的正向）。（二）主要定理及证明 定理2.1【1】（柯西定理）设函数在

11、封闭的单连通区域内解析，那么与路径无关. 证 假设导函数是连续的. 设函数，由导函数连续可得偏导数 连续.且已知， 由函数解析性可知， ，所以上式右端积分与路径无关，因此左端也与路径无关. 定理2.2 设函数在平面上的单连通区域内解析，为内任一条周线，则 . 定理2.3 设函数在平面上的单连通区域内解析，为内任一闭曲线（不必是简单的），则. 定理 设是一条周线，为的内部，函数在闭域上解析，则. 定理2.4 设是一条周线，为的内部，函数在内解析，在上连续（也可以说“连续到”），则. 高阶求导公式 设区域D的边界是周线（或复周线），函数在内解析，在上连续，函数在区域内有各阶导数，并且有 = ， （

12、2-1）这是一个用解析函数的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式.公式（2-1）可改写成 = ， （2-2） 注 利用（2-2）式可以求某些周线的积分；在（2-1）及（2-2）中，是被积函数在内部的唯一奇点，如果在内部有两个以上的奇点，就不能直接应用它们来计算. 定理2.5【1】（柯西留数定理） 设函数在闭区域内除有限个孤立奇点之外处处单值解析，那么 （2-3）其中是闭区域内包围有限个奇点的简单闭曲线. 证 把函数的每一个孤立奇点用互不相交的充分小的闭曲线包围起来.在以与为边界的多连通区域内，函数是解析的， 由柯西定理得， 上式除以得, =因此，成立,即 . 定理2.6 如果函数在扩充复平面

13、上除去点外处处解析的，则在所有各孤立奇点的留数之和为零。 证 作充分大的圆周，以原点为圆心，为半径，且的内部包含，由留数定理得， ，两边同时除以得， ，即 . （2-4）3、 留数的求法及应用（一）留数的求法 为了能更好的的应用留数理论计算积分，首先应该掌握留数的计算方法。根据留数定义可知，要想求出函数在其孤立奇点处的留数，只须求其洛朗展式中的这一项的系数。若 为的可去奇点，则其留数为零；若为本质奇点，则只能用洛朗展式来求；而本文主要讨论是极点的情形。 定理3.1 设为的阶极点， ，其中在点处解析，则 . （3-1）注 这里符号代表，代表，且有. 推论1 设为的1阶极点， 则 . （3-2）

14、推论2 设为的2阶极点， 则 . （3-3） 定理3.2 设为的1阶极点，若及在点解析，且.则 . （3-4） 证 因为为的1阶极点，所以 =.要注意：函数在其有限可去奇点处留数必为零，但如果可去奇点为，则其留数可以不为零.例如，它在无穷远处是可去奇点，因为趋于无穷时，极限是，所以点处的留数.因此，引入留数的另一计算方法.令 于是 ，且在z平面上点的去心邻域：可以变为平面上原点的去心邻域:如，规定；圆周：可变为圆周：.从而易得 .所以 . （3-5） 例1 计算在其极点处的留数. 解：显然，所以是的1阶极点，是的3阶极点，根据推论1可知,而 且，所以 .由定理3.1可得 ，,而 且,故 ,所以

15、 . 例2 试计算函数在无穷远点处的留数. 解：令，则.根据式（3-5）可知，先计算 又因为为一阶极点，所以 (二)应用留数求复积分 例3 计算积分 解：被积函数在圆周的内部只有1阶极点和2阶极点.由推论1可知， 由推论2可知， 由留数定义可知， . 例4 计算积分（为正整数）. 解：显然，被积函数，因此只有（）为阶极点，由定理3.2可知 由留数定义可知， . 例5 计算积分. 解：显然，是被积函数 的孤立奇点，根据定理2.3可知， 又因为 是圆内的点，根据留数定理可得， 所以， .四、应用留数计算定积分 前面我们已经讨论了应用留数计算沿闭曲线复函数积分，只需计算各奇点留数即可，但对于定积分能

16、否利用留数进行计算，若可以的话不仅计算简便，而且还可以解决高等数学方法不能求出的积分.接下来我们就来讨论这一问题，用留数理论来求定积分的一般步骤：设求积分 首先取函数，通常使； 其次选择积分路线使区间为的一部分； 再次在所围成的区域上应用留数定理，求出在奇点处的留数；最后取极限，并且估计不在实轴上部分的积分极限.（1） 三角函数有理式的积分 利用留数定理计算积分，其中是的有理函数，且在上连续.因此，令 ，则可得， ， . （4-1）当由时，就会绘成单位圆周：，因此可得， （4-2） 所以为包含在内的所有奇点. 例6 计算积分. 解：令，则可得.当时， ， 故原式可以变为 ，且在圆内 ，只以为一

17、阶极点，在上无奇点，由推论1可知 ，所以，由留数定理得 . 例7 计算积分. 解：令，则可得，由公式（4-2）可知 ，而方程的根为： ，.但在内只有这一个根，显然被积函数为，故由留数定理可得 . （2） 有理函数的积分 利用留数定理计算形如的积分 ，为了计算这一类积分，我们首先要证明以下理论. 引理1 设沿圆弧上连续且充分大，同时在上一致成立（即与中的无关），则 . （4-3） 图4.1 证 因为 ，于是可得 （4-4） 对于任给，由已知条件可知，存在,使当时，有不等式 ，于是公式（4-4）不超过 （其中为的长度，即）. 定理4.1 设为有理分式，其中 与 为互质多项式，且符合下列条件：（1）

18、 ；（2） 在实轴上，于是有 . (4-5) 证 有条件（1）（2）及数学分析的结论可知，. 取上半圆周：（）作为辅助曲线.于是由线段与组成周线,取充分大，使内部包含在上半平面内的一切孤立奇点.有条件（2）可知，在上没有奇点. 按留数定理得 ， 因为 ，由假设条件（1）可知，故沿上就有 .由引理1可得 ，故可得 . 例8 设，计算积分. 解：显然被积函数为，因此有八个一阶极点 （），并且符合定理4.1，所以 ，又因为，所以.而在上半平面内只有这两个极点，所以积分 . 例9 计算积分. 解：分母次数比分子高2次，奇点是，所以积分存在，上半平面只有两个极点.根据推论1可得 ，所以根据留数定义可得

19、.（三）有理函数乘三角函数的积分利用留数定理计算形如，的积分，计算这一类积分我需要引入以下理论. 引理2【1】（若尔当引理） 设函数在半圆周：（，充分大）上连续，且 在上一致成立，则 （）. (4-6) 证 对于任意的，存在,当时，就会有 . 那么就可以得到 ， （4-7） 又因为，将（4-7）式化解为 . 定理4.2 设，其中为互质多项式，同时满足下列条件： (1)的次数比的至少高一次；（2）在实轴上恒不为零；(3）；则有 . (4-8) 证 令,规定逆时针方向为正方向，则有： ，令,则有： ，所以可得， ，又因为比的次数高，所以在上，又由若尔当引理可得， ，故可以得， . 例10 计算积分

20、. 解：显然，被积函数为奇函数，所以 . 根据定理4.2可得 ，所以有 ，故 . 例11 计算积分. 解：显然，函数满足若尔当引理，因此可知 函数显然有两个一阶极点，显然在上半平面内，故根据推论1可得， ，所以积分 由此可得 ， ，故可知 .(4) 两类特殊路径上的广义积分 1、积分路径上有奇点的积分 在定理4.2中无实零点，现在我们容许有有限多个零点，即在实轴上有有限多个一阶极点，为了计算去掉奇点的路径的积分，除了上文中提到的两个引理外，我们还需要了解与引理1相似的引理. 引理3 设函数沿圆弧:(,充分小)上连续，同时 在圆弧上一致成立，则 . 推论3 令，其中与是互质多项式，同时符合下列条

21、件： （1）的次数高于的次数， （2）在轴上仅有一个一阶零点， （3），则可得 . （4-9） 推论3.1 将推论3中的条件（2）放宽为在实轴上仅有有限个一阶零点，那么 . （4-10） 例12 计算积分和. 解: 数学分析可知积分存在，且 ，所以考虑函数，显然，沿图4.2所示闭曲线的积分，根据柯西积分定理可知 ，可写成 . 图4.2同时分别表示图中半圆周和（，），由若尔当引理可知 ，又因为在实轴上仅有一个零点，且为的一阶极点，所以 ，故由引理3可得 ，由推论3可得 ，所以积分 .2、 沿支割线的广义积分 在计算广义积分时有时会遇到多值函数，那么我们就必须选取恰当的支割线割开平面使其能分出单值

22、解析分支，此时就可以应用柯西积分定理以及留数定理进行广义积分计算. 定理4.3 有理分式函数，同时为互质多项式，且分母的次数比分子高，在实轴上没有零点，令（），是所有除整实数外的有限极点，则 . 例13 计算积分. 解：令函数，显然是函数的两个一阶极点，那么 ， ，有定理4.3可得 . 例14 计算积分. 解：如图4.3所示在轴上画两个半圆周，分别以为半径，可以充分小，可以充分大，这两个半圆与轴上的和构成周线. 图4.3 构建辅助函数 在内只有一个二阶极点，支点不在周线的内部.，所以函数在有界闭域，除外，是单值解析的.令 ，则 ，根据推论1得 ，有定理2.2可得 （4-11）因为，由引理1可得

23、 ，又因为，由引理3可 .令上的，那么 .令上的，于是 .所以 故，当时，式（4-11）可以变为 ，左右两端进行比较可得 =-，所以积分 .（五）利用函数（为复常数）计算积分 例15 计算弗莱聂耳（Frensnel）积分及，同时已知泊松积分 . （4-12） 解：作辅助函数，积分路径如图4.4所示 图4.4 ， （4-13） 其中 ， （4-14） 令，则式（4-14）可变为 ， 根据若尔当引理可得 ，所以当时 ，因此式（4-13）可变为 所以 ，比较左右两端实部与虚部，可以得 . 五、小结 积分在实际生活中应用广泛，因此如何高效准确的求解积分就显得尤为重要，本文主要探讨其中一种计算积分的方法

24、留数法。而留数理论又是复变函数论中重要的理论之一，利用该理论不仅可以解决复积分的计算问题，还可以解决实分析中难以解决的实积分计算问题。解题思路清晰，解题过程简便易理解促进了实际问题中积分计算的高效求解。在应用留数理论计算复杂实积分时首先取被积函数；其次选择积分路线；再次在所围成的区域上应用留数定理，求出在奇点处的留数；最后取极限，并且估计不在实轴上部分的积分极限.除留数方法外，计算积分的方法还有很多种，常用的有积分公式法，牛顿-莱布尼茨公式法，参数方程法，柯西积分公式法等。在以后的研究探讨中我们要勇于创新，发现新的计算积分的方法，以便于更简便高效的解决实际生活中的复杂积分问题。参考文献： 1钟玉泉.复变函数论M.高等教育出版社，2003. 2欧阳露莎，刘敏思，刘寅.留数理论在积分计算中的应用J.中南民族大学学报：自然科学版，2008,27（1）：108-110. 3李小飞.留数定理在一类定积分