随机变量及其分布

1、第二章随机变量及其分布 本章要求 1. 掌握随机变量的概念（包括离散型和连续型） ；2. 会求离散型随机变量的分布律；3. 熟记离散型分布中常用的二项分布、泊松分布的分布律；4. 熟记分布律和分布密度的性质；5. 深刻理解分布函数的定义和性质；6. 熟记几个常用的连续型分布，尤其是正态分布；7. 会求随机变量及其函数的分布函数 。 内容提要与疑难解析 一、一维随机变量及其分布1. 一维随机变过量的定义设 E 是随机试验，它的样本空间是 S=e，如果对每一个 e s，有唯一的一个实数X（e）和它对应，这样就可以得到一个定义在 S 上的单值实函数 X（ e），称为 X（e）为随机变量。简单的说，随

2、机变量表示随机试验结果的量。注：随机变量与普通函数有本质的区别： 随机变量的取值是随机的，因而它的每一个可能值都有一定的概率。 它的定义域是样本空间S。而 S 不一定是实数集，普通函数是定义在实数轴上的。 对于任意实数 x，概率 PXx 都存在； 联系于某特定的随机试验E 的事件，可以用随机变量作工具来描述，这称为事件的数量分。即用 X（e） 来表示任意事件 （IR ）。2. 随机变量的概率分布设 X 是随机变量，则它的取值规律（即可能取哪些值，取这些值的概率分别是多少）称为 X 的概率分布。通常用分布函数、分布律或密度来描述随机变量 X 的概率分布。 3. 分布函数的定义及性质设 X 是随机

3、变量， x 是任意的实数，则称函数F ( x)P Xx 为 X 的分布函数。注意： F ( x) 是一个普通实函数，它的定义域是整个数轴，所以求分布函数F (x) 时，要对 x 在整个数轴上，所以求分布函数 F ( x) 时，要对 x 轴在整个数轴上的取值来讨论。 F ( x) 的值域是 0 、1 。性质： F ( x) 单调不减，即若x1x2 则 F (x1)F ( x2 ) 0 F ( x) 1 ，且 F ()lim F ( x)0, F ( ) lim F ( x) 1xx F ( x) 右连续，即 F (x 0) F (x) P x1Xx2 F ( x1 )F (x2 )二、离散型随机

4、变量及其分布1定义若随机变量 X 的取值是有限的或可数的，则称X 为离散型随机变量，它的分布称为离散型分布。若设 X 的所有可能取值为x1 , x2 , xk , 则称 PX= xk =P k (k1,2,) 为 X 的分布律。通常用表格式表示分布律。xXx1x2LxkLpp1p2LpkL2. 分布律的性质： 0 pk 1(k 1 , 2 , )Pk1k 13. 分布函数为： F ( x)Pk ，这里和式是对所有xkx 的 k 求和的。xkx4. n 个常用的分布（1）（0-1 ）分布X的分布律为X01p1-pp（2）贝努利试验，二项分布。设试验 E 只有两个结果： A 和 A ， P( A)

5、p ， P( A)1pq ，将独立地重复地进行 n 次，则称这一串重复的独立试验为 n 重贝努利试验。在 n 重贝努利试验中，事件 A 在每次试验中出现的概率为 p，则在 n 次试验中 A 出现的次数为随机变量 X，则 X 的分布律为P X k Cnk p k (1 p)n k ，(k 0 , L1 , n , 0p1并称随机变量 X 服从参数为 n，p 的二项分布，记为 X : b(n, p)。（3）泊松分布X 的分布律， P X kke , k 0,1,2, ,0 ，称 X 服从参数为的泊松分布。 记为k !X :p()注意：（ 1）凡只有两种结果的试验都可以用(01) 分布来描述。（ ）

6、二项分布是十分重要的分布，当 n 时，二项分布是 (01) 分布；当 n，2=1二项分布以泊松分布为极限。设np（为固定常数）则有lim p XR lim Cnk pk (1p)n kk e，nnk!当 n 很大， p 很小（一般 n10, p0.1时） Cnk pk (1 p) n kk e(np )k!泊松分布的有表可查，比用二项分布的计算简单些。例 1 商店订购 1000 甁汽水，在运输途中瓶子被打破的概率为 0.04 ，求商店收到破汽水甁（ 1）恰有两甁的概率；（ 2）多于 2 甁的概率；（3）至少有 1 甁的概率。解：（1），恰有两只破甁的概率为： （X 表示收到破汽水甁数）np10

7、00.044 恰有两只破瓶的概率为： （X 表示收到破汽水瓶数）e 442PX 20.14652!（2）损坏瓶子多于2 瓶的概率P X2 1P X0 PX 1PX 21 e 44e 4e 4 420.7618972!(3) P X11 PXe 4420 10.98170!三、连续型随机变量及其分布密度1.定义：设 F (x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在f (x)0 ，使得对于任意的实数 x 有F (x)xf (t) dt则称 X 为连续型随机变量，f (x) 为 X 的概率分布密度（简称分布密度或密度函数） 。2. 密度函数 f ( x) 的性质：x（1） f ( x)0 ；（ 2）f

8、 ( x) dx1 ；（3） P x1 x x2 x2f (t )dt ；x1（ ）若在点 x 处连续，则'( x)f (x) ；4F（5）连续型随机变量取某一数值的概率为零，即 p X 03. 几个常用的分布（1）均匀分布： X 在a,b上均匀分布，它的分布密度是1, axb0,其它（2）正态分布（又称高斯分布） ： X 的分布密度f ( x)1exp( x)2x ( ,)222其中, 是常数，且0简记为 X :N ( ,2 ) 。当0,1 时, X : N (0,1) ,称为标准正态分布。它的分布密度 (x) 、分布函数( x) 如下：2x2(x)1expx ,( x)1exp t

9、 dt2222（3）正态分布具有下列性质：1f ( x)0，且f (x)具有各阶导数2 f ( x)dx 13f ( x)在( , )递增，在 ( ,) 递减。在 x处达到极大值；1。f ( )2这一性质说明 X 的取值密集在附近，表示 X 取值集中的位置，表示 X 取值集中的程度。4f ( x)的图形关于 x对称，这说明 X 落在 x与 x的相应等长区间的概率相等，当 X : N (0,1) 时，( x) 1(x) 。5 如果固定，改变的值，f ( x)的图像沿 ox 轴平行移动而不改变形状。6 如果固定，改变，由于最大值为 f ( )1，可知 越小，图像越尖，因而落2在附近的概率越大。17

10、 F (x)2(t)2xxexp2 2 dt()。通过此性质可把一般正态分布函数化为标准正态分布函数，然后查标准正态分布表求概率，不必积分。正态分布是概率论中最重要的分布， 在实际问题中的许多随机变量都服从或近似服从这种“中间大，两头小”的正态分布，如，测量一个零件长度的测量误差，人的身高或体重等。设X :N (0,1) ，对给定的 (01)，若数满足条件 P X，即()1 ，称为 N (0,1) 分布上侧 分位点。（4）指数分布： X 服从参数为的指数分布，它的分布密度为ex , x0f ( x)0, x0四、一维随机变量函数的分布1. 定义：设 g(x) 是定义在随机变量 X 的一切可能值

11、的集合上的连续实函数， 则 Y=g(X) 也是一个随机变量。 每当变量 X 取值 Y 就取值 y=g(x) ，并称 Y 为随机变量 X 的函数。2. 离散型随机变量的函数的分布设 X 是一个具有下述分布律的离散型随机变量：Xx1x2LxkLpk1k 1pp1p2LpkL已知 Y=g(X)，则 Y 也是一个离散型随机变量，具有分布律。Yg(x )g ( x)Lg ( x)L12kpp1p2LpkL（当 g(x k ) 中有相同者时，应将有关pk 合并）3. 连续型随机变量的函数的分布密度设 X 是一个具有概率密度为 f (x) 的连续型随机变量，又设 y=g(x) 处处可导，则Y=g(x) 是一

12、个连续型随机变量，求Y 的分布密度 fY (y) 。 当 y=g(x) 对任意点 x 有 g' (x)0 或 g' (x)0 ，则f h( y) h' ( y) ,yfY ( y)0,其它其中 h( y) 是 g(x) 的反函数，min g(,),max g(,) 。 若 yg (x) 在不相重叠的区间上逐段严格单调，可用上述公式，逐段求分布密度然后相加。 先求 Y 的分布函数 FY ( y) ，即Fy ( y)PYyp g( x)yf ( x)dxg ( x)y然后对其微分，可求得Y 的分布密度：fY ( y)FY' ( y)注意：（1）若容易求出 X 的密度

13、函数的原函数， X 和 Y 的关系又是线性关系，用从 F x (x) 到 F y (y) 的办法来求 Y 的密度。x,0x4例 2 设随机变量 X 具有要概率密度f (x ) =80, 其它求随机变量 Y=2X+8 的概率密度。y 2解： FY ( y) P Y y P 2 X 8 y P X2fY ( y) FY'y8( y)（8<y<16）32y820xx2 y88)2( ydx2816 064（2）若不易求出 X 的密度的原函数， X 和 Y 的关系是非线性关系，用对FY (y) 的上限函数求导的办法来求Y 的密度。例 3 已知 X 的概率密度 f( x)（）P Y

14、y P X2解： FY yf Y ( y) FY' ( y)2ye 221x2) ，求 Y= X 2 的概率密度。e 2 ,(x2y Py Xyy1x2y1x2dxe 2 dx 2e 2y202y1e 20y2 y2 y（3）在上述的条件下，也可以用变量代换方法求Y 的密度。FY ( y) 2y1x 2t ,dx= dte 2 dx ，为使积分上限为 y，则应令 x=022 tyFY ( y)2 0fY ( y)1 e21e2 yy2y21 dt2 y0y（4）若不容易求出 X 的密度的原函数， X 和 Y 之间有单值的反函数， 则用从 f X (x) 到 f Y (y)的办法，最方便

15、，但条件严格。例4 设XN,2 ，求Y=bX+c才的分布密度，其中、是两个常数。(b0)b c解：方法一： Y 和 X 之间的关系： y=bx+c，其反函数是 x= yc ，则 x y' 1，而bb1( x)2e 22f x ( x),2( y c )2( y c b )2y c1b1fY ( y) f x'e2 22 2b2,ybx yb2be2方法二：本题利用先求FY ( y) 的方法有当 b>0 时， FY ( y) P Yyc=y cyP bX c y P Xbbyc2()2b( y c b)( x) 21 e 2 22'( y)1e2211e22bfY

16、( y) FY2bb2当 b<0 时， FY ( y)P YyP bXcyPXycby cbyc) 2b )21(b11( y c'22 b2( y)e2=e2fY ( y) FY2bb21( y cb) 2把 b>0 , b<0 合并： fY ( y)e22b2b 2从此例可以看出x 'y 的道理。( x)21 e 2 2 dx2 典型例题 本章解题应注意事例：（1）若分布函数中含有待定的常数，则该常数的确定是利用F( x) 的性质：lim F( x )x0 或 lim F( x)1 或 F( x 0) F(x ) 。x（2）若分布密度函数(x ) 中含有待

17、定的常数，则该常数的确定是利用(x ) 的性质：f ( x) dx1或P Xk1 （离散性）。k0（3）若随机变量为连续型，则 P Xa0 。（4）求离散型随机变量分布律的程序：找出随机变量X 可取的值；写出对应于各取值的事件的概率；验证各概率之和（即P Xk ）是否为 1，是 1，正确；不是1，则不正确。k0（5）离散型随机变量的分布函数一定要用分段函数表示，其图形是由连续的阶梯曲线。（6）若随机变量是连续型的，由分布函数F(x)求其分布密度( x) ；只要在相应的区间段将F(x)对 x 求导即可，即 F( 'x)f( x) ，而端点值不必处理，最后将( x) 写成分数函数形式。由分

18、布密度 f(x) 求分布函数 F(x)，只要在相应的区间段把 F(x) 写成：F(x )xbi ，( x) dx ，ai xai最后将 F(x)写成分段形式。例 1盒有形状与功率均相同的10 个灯泡，其中 7 个螺口， 3 个卡口，灯口向下看着看不见，现要用 1个螺口灯泡，从盒中任取一个，若为卡口的就不再放回去，求取到螺口灯泡前已取出的卡口灯泡数 X 的分布律及分布函数。解： X 的可能取值为0， 1， 2， 3，上古典概率知P X071377, P X1093010P X2P3277, P X3P3371P103120P104120故其分布律为X01233Pi1P7/107/307/1201

19、/120k 3由公式 F( x)x xkPk有0, x0F(x)7 ,0x10.710xF( x)28x2o12,1330119,2x31201, x3例 2 设有一批同类产品共 N 件，其中次品为 M 件，从中任取 n 件（假定 n N），试求取出的 n 件中所含次品件数 X 的分布律。若 n 件产品是有放回地一件一件取出， n 件中所含次品数的分布律。解：（1）从 N 件产品中一次任取n 件，则 S 含有 C Nn 个基本事件，用 Xk 表示取出的 n件含有 k 件次品，则kn kP X kCMCN M（超几何分布）CNkK=0,1,2, , n1 ,其中 n1min M , n（2）有放

20、回地一件一件抽取n 件产品属 n 重贝努里试验，含次品数X 服从二项分布。每次试验中取到次品的概率为。MPN故 P XkCnk ( M ) k(1M ) n k , k=0,1, ,nNN例 3有一繁忙汽车站，有大量汽车通过，设每辆车在一天的某段时间内出事故的概率为0.01，在某天的该段时间内有100 辆汽车通过，问出事故的概率不小于2的概率是多少？解：这可以看作 n 次独立重复试验， n=100，每次试验中事故出现的概率p=0.001,np=0.1。因为一般地，当 np<5 时，就有 b(n,p)p( ),用泊松定理来计算，0.1=0.1。P X21P X 0P X1 1e 0 .10

21、.1e 0. 10.0047例 4 设随机变量 X 的分布函数为：F( x)AB arctan x,x试求：（1）系数 A 与 B；（2）X 落在 (-1,1)内的概率；（3）X 的分布概律。解：（1）由于 F( )0, F()1 ，可知AB()0112A, BAB()122于是， F( x)1 arctan x,x。2（2）P 1X 1F(1)F(1) (1 arctan1)11 arctan( 1)11411()1222242（3） z( x)F('x)(11arctan x) x'12,x2(1x)例 5 设连续型随即变量X 的分布函数为：0, x0F( x)Ax2 ,0

22、 x 11, x1试求：（1）系数 A ；（2）X 落在1,1及 1,223内的概率；（3）X 的分布密度。解：（1）由于 F( x) 的连续性，有lim F (x) F (1), 即 lim Ax21 A 1x 1x 10, x0F (x) x 2 ,0x 11, x1（2） P 1 x1F(1) F( 1) (1)2012224P 1x 2F (2) F(1) 1 (1)283339（3） f ( x)F( 'x)2x,0 x10,其它例 6 设随机变量 X 的密度为：f ( x)Aex ,x试求：（1）系数 A ；（2） P 0X1 ；（3）X 的分布函数。f ( x)dx1x2

23、 A 0e x dx 1解：由于Aedx故2A 1A1f ( x)1 e x22（2）P0x11 111e 10ex dx( e x ) 100.316222（3）F(x)=x 1exdx2当x时, F ( x)1xxdx02e当x时, F ( x)10xdx02e故 x 的分布函数为： F (x)1 e x21xxdx 11x2ee021 ex , x 0211e x , x 02例 7 设 k 在（ 0， 5）上服从均匀分布，求方程4x 24kxk20 有实根的概率。解：要是方程 4x 24kxk20 有实根，必须(4k) 244(k2)16(k 2k2)16(k 2)(k 1) 0解得：

24、 k2或k11k5已知 k 的概率密度为f (k ),050, 其它故有 P k2f ( x) dx5 1dx3322 5505P k11f (x)dx0, 所求概率为P k2P k13035 5例 8 某种型号的电子管的寿命 X（以小时计）具有以下的概率密度：1000f ( x)x2 , x 10000, 其它现有一大批此种官子（设各电子管损坏与否相互独立），任取 5 只，问其中至少有2 只寿命大于 1500 小时的概率是多少？解： PX>1500=1000dx1000 150021500x 2x3设用 Y 表示 5 只零件中所含 X>1500 的只数，则 Yb(5, 2 )，于

25、是3PY 2 1 PY 21 PY0 PY11(12 ) 5C51(2) (12 ) 41110232333243243243例 9 假设一大型设备在任何长为 t 的时间内发生故障的次数 N(t) 服从参数为 t 的泊松分布。（1）求相继两次故障之间的时间间隔 T 的概率分布？（2）求在设备已经无故障工作了 8 小时的情形下，再无故障运行 8 小时的概率 Q。（ 1993年考研题）解：（ 1）因为 N(t) 为时间间隔 t(t 0)内发生故障的次数， 又 T 表示相继两次故障间的时间间隔，所以 T>t 时，必有 N(t)=0，（即不发生故障）于是F (t ) P T t 1 PT t 1

26、 P N (t) 0 1( t) 0e t1 e t0!f (t )F('x)et (t0), 故T服从指数分布PT 16,T 8P T161P T161F (16)e（2） Q PT 16 |T 8P T81PT81F (8)ePT 816e 88例10 设XN（）求PX5,P4X10,P XP X3(3,22 ),1 22,（2）决定 C 使得 PX>C=PXC解：（1）XN (3,2 2 )P 2X5( 53)( 23)(1)(0.5)(1)1(0.5)0.532822P4X10(103 )(43)(3.5)( 3.5)2(3.5)10.999622P| X|21P2X21

27、( 0.5)(2.5)0.6977P X3 1 PX31( 33)1(0)0.52由CP XC得1P XCP XC(2)P XPX C1即有 (C 3)1C 30 C 32222例 11假设测量的随机误差X N (0,102 ) ，试求在100 次重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6 的概率，并利用泊松分布求出的近似值，（要求小数点后取两位有效数字）。（注： 1992 年考研题）解：P| X|19.6119.6X19.61(19.60 )(19.6) 22(19.6)2 20.9750.051010设 Y表示100次重复测量中， |X|>19.6 出现的次数。则 Yb(10

28、0， 0.05)，由泊松分布(np5)计算 PY3P Y31P Y0P Y1PY21 0.951001000.95990.05100990.95980.05221e 55e 552 e 50.87（查表得）2!例 12设随机变量 X 的分布密度为A,当 | x | 1f ( x)1 x 20,当 | x | 1试求（ 1）系数 A；（2）X 落在 (1 , 1 ) 2 2内的概率；（ 3） X 的分布函数 F(x)1Adx 2A arcsin x 10A 1 A1解： (1)由 f ( x)dx1x211X1(2)P22(3) F ( x)xf ( x) dx当x 1时， F (x)当1x1时

29、, F ( x)1当x1时, F (x)111dx2112211x 2arcsin x 032x0dx 01 arcsin x x1 arcsin xxdx1111x 22dx1 arcsin x 11 11 x20, x1故 X 的分布函数为 F(x)=11 arcsin x, 1x121, x2例 13设随机变量 X 的分布律为X-2-1013P1/51/61/152/151/10求Y=X2的分布律解：P Y kP Xk P Xk, k0,P Y0P X013P Y1P X1P X111761530P Y4P X2P X210155P Y9P X3P X30221515P Y25P X5P X51101010故 Y 的分布律为Y014925p1/37/3