几何分布的定义以及期望与方差的证明

1、几何分布的定义以及期望与方差几何分布（Geometric distribution ）是离散型概率分布。其中一种定义为：在 试验k次才得到第一次成功的机率。详细的说，是：前 k-1次皆失败，第 公式： 它分两种情况：1. 得到1次成功而进行，n次伯努利试验中, k次成功的概率。n次伯努利实验,n的概率分布，取值范围为1, 2，2. m = n-1次失败，第n次成功，m的概率分布，取值范围为0， 由两种不同情况而得出的期望和方差如下：1，2，3,;3，.EX=-PVar (Jf)=与Ey = qP。概率为P的事件A，以X记A首次发生所进行的试验次数，则X的分布列:It = 1.2,3,具有这种分

2、布列的 随机变量X，称为服从参数 P的几何分布，记为 几何分布的期望XGeo( P)。EiX=-P，方差DX=Yar(X=高中数学教科书新版第三册（选修II ）比原来的修订本新增加随机变量的几何分布，但书中只给出了结论：（1）E，而未加以证明。本文给出证明，并用于解题。P(1)由 P( k) qk 1P，知E p 2pq 3q2 pkqk 1 p2(1 2q 3qI k 1kq)pF面用倍差法（也称为错位相减法）求上式括号内的值。2Sk1 2q 3qI k 1kq2qSk q 2q(k八 k 1. k1)q kq两式相减，得(1 q)Sk 1k 1. kq kqskkqq)2I kkq1 q1

3、，知 0 q1，则 lim qk0，故1 2p3q2kqklim Sk1(1 q)212P从而E也可用无穷等比数列各项和公式31(|q| 1)（见教科书91页阅读材料），推导如下:2q3q2kqkqS q2q2(k八 k1)q相减,(1 q)S(1 q)21还可用导数公式(xn)' n xn 1，推导如下:1 2x 3x2kxk 1x' (x2)'(x x2(x3)'(xk)'x3 xk )'(1 X)( X)(1 x)2(产)'1 x1(1 X)2上式中令xq，则得1 2q 3q2I k 1kq(11q?12P(2)为简化运算，利用性质

4、(E )2来推导(该性质的证明，可见本刊6页)。可见关键是求E 2 。2 2 2 2E p 2 qp 3 q pk2,. c2c2 2P(1 2 q3 qk2q对于上式括号中的式子，利用导数，关于q求导：k2qk 1 (kqk)'，并用倍差法求和，有1 22q 32q223(q 2q 3qI k kq)'q)22(1 q)q(1q'(1 q)2(1 q)421 q 1 q 2 p r33(1 q) (1 q) P2 P22)上，因此 D E 2 (E )2 P利用上述两个结论,可以简化几何分布一类的计算问题。例1. 一个口袋内装有 5个白球和2个黑球，现从中每次摸取一个

5、球,取出黑球就放回，取出白球则停止摸球。求取球次数的数学期望E与方差D 。5解：每次从袋内取出白球的概率 P ，取出黑球的概率7的取值为1，2, 3,有无穷多个。我们用k表示前k-1次均取到黑球，而第k次取到白球，因此P(k)2 k 1 5（7）（7）（k1,2,3,）。可见服从几何分布。所以57匕 (|)2 25例2.连续射击,某射击运动员每次射击击中目标的概率为 每次打一发子弹，直到击中目标，P （0<p<1）。他有10发子弹，现对某一目标 或子弹打光为止。求他击中目标的期望。解：射手射击次数的可能取值为1,2,，9, 10。k（k 1,2,9），则表明他前1次均没击中目标，而第 k次击中目标；若k= 10,则表明他前9次都没击中目标，而第10次可能击中也可能没击中目标。因此的分布列为P( k)(1(1P)k 1 P(k 1,2,9)P)9(k 10)1(12(1P)0 P 2 (1 p)pP) 9(1 P )8 p 109 (1 P)8 P 10 (1 P)9(1 P)9用倍差法，可求得1 2(1 P) 9(1 P)81(1 P)99(1 P)91 (1 P)21 (1 P)991 (1 P) 9(1 P)291(1 P)10PP所以 E r (JP)9P 10(1 P)pp说