向量知识点归纳与常见总结

1、向量知识点归纳与常见题型总结一、向量知识点归纳1.与向量概念有关的问题 向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量）可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小而| a | > | b |才有意义.有些向量与起点有关， 有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时,平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量单位向量是模为，而向量既有大小又有方向；数量a > b ”错了,.记号“（大小和方向）， 可平移向量.2 21的向量，其坐标表示为（x, y）,其中x、y满足x y = 1,sin)(0 w

2、ABw 2 n） 表示） .特力别： 表示上Luuuuur|AB|禺-uu)(0）所在直线过 ABC的内心（是|ab|I AC IAB同向的单位向量。（可用（cosBAC的角平分线所在例如：向量直线）；例1、0是平面上一个定点，A B C不共线,uuu uuu P满足OP OAuuu(AB(uuu|AB|LuurAC、 -tutu-) I AC0,).则点P的轨迹一定通过三角形的内心。AB（变式）已知非零向量Ab与AC满足（ +|AB| |AC|AC ) §G=0 且AB|AB|AC|AC|D.等边三角形（06陕西）A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形0的长度为

3、0,是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段.（7）相反向量（长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的相反向量是一a。）2.与向量运算有关的问题.（三角形法则和平行四边形法则） b的方向与a、b都不相同，且|a* P- P- 1a b、a、b的方向都相同，且| ab| v| a| + | b| ； bi iai ibi；向量与向量相加，其和仍是一个向量 当两个向量a和b不共线时，a 当两个向量a和b共线且同向时，b|=| a|-| b | ；当向量a和b反向时，若|a| > | b | , a b与a方向相同，且|

4、ah*I-F-I-I-I-¥I-若 | a| < | b| 时，ab 与b方向相同，且 | a+ b |=|b|-| a|.向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算三角形法则适用于首尾相接的向量求和；平行四边形法则适用于共起点的向量求和。AB BC AC ; AB AC CB例2: P是三角形ABC内任一点，若CB PA PB, R，则P定在（）A ABC内部 B 2例 3、若 AB - BC AB例4、已知向量a （cos分析：通过向量的坐标运算,、AC边所在的直线上C 、AB边上 D、BC边上0，则 ABC是: B.锐角 C.钝角 D.等腰Rt ,si

5、n ）,b （J3, 1），求 |2a b|的最大值。转化为函数（这里是三角）的最值问题，是通法。解：原式=| （2cosJ3,2s in1) | J(2cos/3)2 (2sin 1)22k (k呼8sin（-）。当且仅当评析：其实此类问题运用一个重要的向量不等式Z）时，|2a b|有最大值4.简洁明快。原式|2a| |b|=2|a| |b|量同向）。围成一周（首尾相接）的向量（有向线段表示）如，Ab BC Ca 0,（在 ABC中）判定两向量共线的注意事项：共线向量定理存在实数入使a=入b.如果两个非零向量 a , b ,使a= b （入 r）,那么a / b ；反之，如a / b，且b丰

6、0,那么a =入b .这里在“反之”中，没有指出a是非零向量，其原因为a=0时，与入 数量积的8个重要性质|a|b| |a b| |a|b|” 就显得24，但要注意等号成立的条件（向的和为零向量.AB BC CD DA对空间任意两个向量0.( ABCD中) a、b(b 丰 0 ) ,a / bb的方向规定为平行. 两向量的夹角为 0W wn .由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向 量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数 设a、b都是非零向量，e是单位向量,是a与b的夹角，则a e | a| cos .( |e| 1)Hb 0 (=90°

7、, cos0) 在实数运算中故a 0或b 当a与b同向时aab=0a =0或b=0.而在向量运算中a b = 0a =0或b =0是错误的,0是a b=0的充分而不必要条件.当a与b反向时,|a b| |a| |b|.当非充分条件；当 分条件；b = | a | | b |( =0,cos =1);I- hb-ba b=- |a | | b |(=n ,cosf fr为锐角时，a ? b > 0,且a、JLr ra ? b < 0,且a、b不反向，a b 0是 为钝角的必要非充=-1） ,即卩a / b的另一个充要条件是b不同向，a b 0是为锐角的必要r r为钝角时,例5.如已知

8、b （3 ,2），如果a与b的夹角为锐角，贝U的取值范围是10 且 一）；3（,2 ）,4或 3例6、已知i, j为相互垂直的单位向量，a i 2j , b i j。且a与b的夹角为锐角，求实数 的取值范围。(答:分析：由数量积的定义易得“a,bF-ab解：由a与b的夹角为锐角，得 a b0 ”但要注意问题的等价性。10.有而当a tb(t0),即两向量同向共线时,2.此时其夹角不为锐角。评析：特别提醒的是： 不等价。极易疏忽特例a,b 是锐角与a“共线”。f f 22*/r /-»2特殊情况有a aa =| a |。或|a|=Vaa=Va=如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标

9、分别为( |a| = J(X1X2)2 (y1 y2)2 |ab| |a|b|°(因 cos 数量积不适合乘法结合律.如(a b) c a (b c).(因为(a 数量积的消去律不成立.b)0不等价;c与c共线，而同样 a,b是钝角与a b 0X1, y1),(X2, y2),则a (b c)与a共线)若a、b、c是非零向量且a c1即1是无意义的.cc并不能得到ab这是因为向量不能作除数,向量b在a方向上的投影I b I cos(7) ei和e2是平面一组基底，则该平面任一向量 auuu r ,2OB则121是三点P、A、B共线的充要条件.注意：起点相同，系数和是1。基底一定不共线

10、1 uuu uuruLur例7、已知等差数列 an的前n项和为Sn ,若 一B0= a1 0A+ a200 OC，且A B、C2，亠"- uLur特别：.OP = 1OA三点共线(该直线不过点0,贝y S200=()A. 50 B. 51例 &平面直角坐标系中，2 e2 ( 1, 2 唯)O为坐标原点，已知两点A(3,1), B( 1,3),若点C满足OC 1 OA 2 OB ,其中 1, 2 R且 12例9、已知点A,B,C的坐标分别是(3,1),(5,2), (2t,21,则点C的轨迹是t).若存在实数(直线AB)使 OC OA (1 )OB,则 t 的值是:A. 0 B

11、. 1 定例10下列条件中，能确定三点 A, B, P不共线的是:C. 0或1 D. 不确A. MP sin2 20 mAC. MP sin2 20 mAcos2 20 MBcos2 70 mBB.D .mP mPsec2 20 MACSC2 31 MAtan2 20 mB cot2 31 mB分析：本题应知：“4”A,B,P共线，等价于存在JR,使 MPmAmB'且1 ”UULT4 UUUUUUUULT(8)在 ABC中，PG1(PAPBPC)G为 ABC的重心,特别地UUTUUUUULTr1PAPB PC 0p为ABC的重心；AB -BCAD则AD过三角形的重心；例11、设平面向量

12、2ai ,ai、a320。如果向量b、b2、b3,满足ba2、a3 的禾n a-, a2 且ai顺时针旋转30o后与bi同向，其中 A.b1 b2 b3 C. b1UUUPA1,2,3，则(D) ( 06河南高考)bl b2 b30.bl b2 bsABC的垂心；0ULUPC uur 礎)( |AC|DUUUPA P为b2 b3UUU UUUPB PBUUU(UUU|AB| ,.UULT UUU UULT UUULUU UUU T |AB|PC |BC|PA |CA|PB 01 SAO尸-|xAyB XByA；向量ULUPC0)所在直线过ABC的内心(BAC的角分线所在直线)；ABC的内心;U

13、UU UUUT例12、若O是VABC所在平面内一点， 且满足OB OC的形状为 (答：直角三角形) 例13、若D为 ABC的边UUU uur LUU UUU r i Ap i PA BP CP 0,设|PD|例14、若点O是 ABC的外心,(9)、 PBC的分P1P2的比为，则PP =，则ULUOA0P =OPi1坐；若入=1则OpUUU UHJTUUUOB OC 2OA，贝U VABCABC所在平面内有的值为(答: 2);ULU UUU rcOB CO 0,则内角 C 为 (答: 120o);,> 0内分；V 0且 M -1外分.PE1=2( OP1 + OP2)；设 P(x,y),P

14、 1(x1,y 1),XP2(X2,y 2)则yX1 X21 ;y1 y，1.中占I 八、X1 X22，重心y1 y22.X1 X2 X3x 3y y1 y2 y说明：特别注意各点的顺序, 子分母的位置。分子是起点至分点，3分母是分点至终点，不能改变顺序和分例 15、已知 A (4, -3 ), B 标是()(2, 0), (6, -6 )(-2 , 6)，点P在直线AB上，且I AB I3| AP|，贝y P点的坐UULTx(10)、点 P (x,y)按 a (h,k)平移得 P (x,y),则 PP = a 或yX h函数y f(x)按 y ky 2x2的图象按向量6例16、把函数2y 2x 8x例17、函数ysin 2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是 y cos2x 1，则a说明：(1)向量按向量平移，前后不变；(2)曲线按向量平移，分两步：i确定平移方向-与坐标轴的方向一致;ii按左加右减，上加下减(上减下加)a (2, 2)平移后得到的解析式是(答：(一,1)4By C 0 ,过A, B的直线与I交于点P ,则P分结论：已知 A(x1, y1), B(x2, y2), l : AxAB所成的比是Ax1 By1 C ,若用此结论，以下两题将变得很简单.A