直线与平面所成角

1、直线与平面所成角直线与平面所成角学习目标：学习目标：1.理解斜线和平面所成的角的定义，理解斜线和平面所成的角的定义，2.会用直接法和向量法求直线会用直接法和向量法求直线AB与平面与平面的夹角的夹角ACBDE垂线段比任何一条斜线段垂线段比任何一条斜线段都短；都短；2.2.从平面外一点从平面外一点向这个平面所引的向这个平面所引的垂线段和斜线段垂线段和斜线段ABAB、ACAC、ADAD、AEAE中，那一条最短？中，那一条最短？射影相等的两条斜线段相射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也等，射影较长的斜线段也较长；较长；相等的斜线段的射影相等，相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较较长的

2、斜线段的射影也较长。长。三、概念形成三、概念形成概念概念1.1.直线与平面所成角直线与平面所成角 平面的一条斜线和它在平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，平面上的射影所成的锐角，叫做叫做这条斜线和这个平面所这条斜线和这个平面所成的角成的角( (斜线与平面的夹角斜线与平面的夹角) )。一条直线垂直与平面，它们一条直线垂直与平面，它们所成的角是直角；所成的角是直角；一条直线和平面平行，或在一条直线和平面平行，或在平面内，它们平面内，它们所成的角是所成的角是0 0 的角。的角。直线和平面所成角的范围是直线和平面所成角的范围是。2.2.三余弦公式三余弦公式 已知已知OAOA是平面是平面 的斜线

3、段，的斜线段，O O为斜足，为斜足，线段线段ABAB 于于B B，则直，则直线线OBOB是斜线是斜线OAOA在平面在平面 内的正射影，设内的正射影，设OMOM是是 内通过内通过O O点的任意点的任意一条直线，一条直线，OAOA与与OBOB所所成角为成角为1 1，OBOB与与OMOM所所成角为成角为2 2，OAOA与与OMOM所所成角为成角为。下面我们。下面我们用用向量的运算向量的运算来研究来研究，1 1，2 2之间的之间的关系。（阅读课本关系。（阅读课本P106-P107P106-P107）12coscoscos3.3.最小角定理最小角定理( (原理原理) )1AlBOM最小角定理最小角定理：

4、斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的角。线和这个平面内所有直线所成角中最小的角。212coscoscos20cos11coscos1060045练习：（练习：（C级）已知平面内的一条直线与平面级）已知平面内的一条直线与平面的一条斜线的夹角为的一条斜线的夹角为这条直线与斜线在平面内的射影的夹角为这条直线与斜线在平面内的射影的夹角为则斜线与平面所成的角为则斜线与平面所成的角为 12coscoscos题型题型. .求直线与平面所成角的基本方法求直线与平面所成角的基本方法法一：几何求法（直接法）：法一：几何求法（直接法）：例：例

5、：正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求A A1 1B B与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角。所成的角。思路：找出思路：找出A A1 1B B在平面在平面A A1 1B B1 1CDCD内的射影，解直角三角形内的射影，解直角三角形A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1M M题型：题型：求直线与平面所成角的基本方法求直线与平面所成角的基本方法法二：向量求法：法二：向量求法：an设斜线的方向向量为设斜线的方向向量为 ，平面，平面 的法向量为的法向量为 ，则向量，则向量 与与 的夹角为的夹角为 a

6、nancos,| ana nan|sin|cos,| a na na n向量求法：向量求法：例例 正方体正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中，求中，求A A1 1B B与平面与平面A A1 1B B1 1CDCD所成的角。所成的角。思路：先求面的法向量，再利用法向量与直线方向向量所成思路：先求面的法向量，再利用法向量与直线方向向量所成角的余弦的绝对值是线面角的正弦值进行求解。角的余弦的绝对值是线面角的正弦值进行求解。A AB BC CD DA A1 1B B1 1C C1 1D D1 1x xy yz z四、应用举例四、应用举例例例1.1.如图，在四棱锥如

7、图，在四棱锥P-ABCDP-ABCD中，底面中，底面ABCDABCD是正方形，侧棱是正方形，侧棱PDPD底面底面ABCDABCD，PD=DCPD=DC，E E是是PCPC的中点，的中点，(1)(1)证明：证明：PAPA平面平面EDBEDB；(2)(2)求求EBEB与底面与底面ABCDABCD所成的角正切值。所成的角正切值。 P PA AB BC CD DE E向量证法向量证法几何解法几何解法六、课堂总结六、课堂总结3.3.会用会用“几何解法几何解法”和和“向量解法向量解法”解决求直线解决求直线与平面所成角的相关问题；与平面所成角的相关问题；1.1.直线与平面所成的角的概念；直线与平面所成的角的概念；2.2.了解最小角定理及三余弦公式；了解最小角定理及三余弦公式；12cosco