《数列的极限》教学设计

1、数列的极限教学设计南海市桂城中学 邝满榆（一）教材分析 数列和极限是初等数学和高等数学衔接与联系最紧密的内 容之一，是学习高等数学的基础，微积分中所有重要概念，如导 数、定积分等，都是建立在极限概念的基础上，极限的概念是微 积分的重要概念和重点， 本节数列的极限是极限的一类，与函数 极限形式不同，但它们的思想是完全相同的，通过数列极限仁N 定义）概念的教学，使学生初步理解极限的思想方法，为学 习高等数学打下基础。（二）教学对象 学生在初中已知道： 当圆的内接正多边形的边数不断的成倍 增加时，多边形的周长 Pn 不断增大，并越来越接近于圆的周长 C。 在高一立几推导球的表面积公式时也接触过极限的

2、思想。 这些都 为学生理解数列极限的定义打下基础。 但因为学生以前接触的代 数运算都是有限运算，而极限概念中含有“无限” ，比较抽象， 又要将“无限”定量描述出来，即用£-N的语言叙述出来更困 难了， 所以这一课是数列极限这一章中学生最难听得懂，教师也 最难讲得好的一课。讲好的关键是结合数列的图象和表格讲清 “无限”的几何意义，使学生对数列极限有较丰富的感性认识并 讲清“无限趋近”和“无限增大”的意义和二者之间的联系。（三）教学媒体：投影仪（四）教学目标 掌握数列极限的定义。应用定义求证简单数列的极限， 或从数列的变化趋势找到 简单数列的极限。通过数列极限定义的教学对学生进行爱国主义

3、和辩证唯 物主义的教育。（五）重点、难点9理解数列的概念及定义中一些字母和记号的特性。（六）教学方法：启发分析，讲练结合。（七 ）教学过程一、定义的引进1. 复习提问|a|的几何意义：表示数a的点与原点的距离。IX-AI的几何意义:表示数X的点及数A的点之间的距离。|x-A|< £ ,并且在数轴上表示出它的解设£ >0,解不等式 集。E < X吒A + J如图由 |x-A|ve= A-A- £ AA+ £ X2. 启发引导：当学生按照上述结果回答完问题后， 指出满不 等式|x-A|v £的点X全部落在区间（A- £

4、,A+ £ ）内，要使点X与 点A的距离即|X-A|无限制地小，£要怎样变化？引导学生说出£是一个任意小的正数。3. 定义的引进本节课的课题是“数列的极限”（板书），极限的思想在我国 古代早有出现，公元前四世纪，我国古代重要的哲学家和思想家 庄子就指出了“一尺之棰，日取某半，万世不竭”，我们把每天 取去一半后所余的尺数用现代熟悉的表达方式可以得到一个数 列：丄,12 n,1,.，丄,.;这是一个无穷数列（"万世不竭"）2 4 820 32 16 8把上述数列的前几项分别在数轴上表示出来：从图形容易看出，不论项数n怎样大， 永不为0,只是0的近似

5、值，但当n无限增大时，数列的项就无限趋近于0。1乙f 0。2n再看无穷数列：0.9,0.99,0.999;即当nfK时，“当项数无限增大时中的项无限趋近于 1,即nK时,“无限增大”、“无限趋近”怎样利用数量来刻划呢?让学生读定义，对定义中的字母和记号逐字逐句体会: 定义中的数列an是什么数列？ “存在一个常数A ”是什么意思？ “无论预先指定多么小的正数£” ,这个£具有什么特征?找出一项aN,这个项数N是否存在，有多少个?|an-A|v £恒成立，这里的绝对值是什么意思?学生回答后，教师用下列表格小结：（用投影仪打出）极限定义中一些字母和记号的特性如下表:an

6、A£Nan无穷数列唯一常数(1) 任意 性(2) 给定 性存在而不 唯一存在而不 唯一引起质的飞跃,然后指出数列an的极限是A，是数列an无限变化趋近于 A的过程，这种过程在有限的时间内无法完成，只能近似地趋近 于A，只有当项数n趋于无穷时，量变到质变， 得到了极限A。二、应用1. 例题：1 1例1:已知数列 1,-丄，12 30的差的绝对值；0的差的绝对值都小于0.1?都小于0的差的绝对值都小于任何预先的写出这个数列的各项与第n项后面的所有项与0.001 ?都小于 0.0003?第n项后面的所有项与正数£ ?0是不是这个数列的极限？1 23例2 :已知数列一，一，-3,.

7、2 34计算|打1|;1第n项后的所有项与1的差的绝对值都小于 荷？都小于 任意指定的正数£ ?确定这个数列的极限。讲例1、2前先让学生在数轴上表示出这两个数列的前n项,由数列的变化趋势找到它们的极限。教师讲解例1,然后小结：当给定任意小的正数£以后，要找N，般可以通过解不等 式|arA|v £找出No,大于No的N1都可作为N。确定极限的存 在关键是对任给的£ >0，保证N的存在。例1的(3)实际上就是用定义证明了数列h-1)n勺丄的极限是0。Ln J例2由学生阅读，然后让学生总结用定义证明数列极限的步骤：£ >0；&-A

8、|v £，找出 N，当 n>N 时有 |an-A|v £ 。 由证题者给出任意小的正数 使例3：证明：|-7-(-7)|=0< £ 恒成立。求常数数列 -,-7,-7, 的极限。对任意小的正数£，任取自然数N，当n>N时不等式/. lim( -7) = -7n7乂小结：任何一个常数数列的极限都是这个常数本身。2. 练习：(用投影仪打出)I .是非题：数列极限定义中的£是一个很小很小的正数。数列极限定义中的N有无穷多个，但只要找一个就够了。一个数列如果有极限，那么极限是唯一的。与|arA|v £等价的是為 (A- £ ,A+ £ )。(1- £ ,1+ £ )内存在有穷多项，(1- £ ,1+ £ )外存在无穷多 项。无穷数列都有极限。有穷数列一定没有极限。n .观察下列数列的变化趋势找出它们的极限：(-1)n(2)<(-1)nn(3)(-1)n可见：数列an趋近于极限A有三种情况：an大于A而趋向于A ； an小于A而趋向于 A ； a时而小于 A时而大于 A而趋向 于A。三、本