相交线及平行线题型聚焦

1、 启迪思维传承智慧相交线与平行线题型聚焦肖老师特训中心内部资料相交线、平行线的知识在初中几何中应用非常广泛，题型常以填空题或选择题的形式出现，多以由结论探索条件为主要题型.题型一余角概念的运用【例】如图，是一条直线，°，°，问图中互余的角有哪几对？哪些角是相等的？【思考与分析】 由互为余角的定义，只需找出图中和为90°的角即可.解： 因为 °，°，所以 °，与、与互余因为 °， 所以 与互余因为 °，°，所以 °即与互余可以得到互余的角有：与，与，与，与因为 与互余，与互余，所以 （同角的余角相

2、等）因为与互余，与互余，所以 （同角的余角相等）可以得出相等的角有：，题型二对顶角的定义及其性质的运用【例2】 如图，已知直线，相交于，若°，°，则的度数为（）°【思考与解】 这道题主要考查平行线的判定方法，观察图形，发现和是一组内错角，和 是一组同位角，和是一组同旁内角，而和三种角都不是因此不能判定直线所以应选题型三垂线的定义和性质【例3】如图，已知FEAB于E，CD是过E的直线，且AEC=120°，则DEF.【思考与分析】我们仔细阅读题目，经过思考发现有两种解法，第一种主要利用垂直的定义和对顶角的性质，因为AEC和DEB是对顶角，AEC=DEB=12

3、0°,又因为 FEAB，BEF=90°,所以DEF=120°90°30°；第二种解法主要利用垂直的定义和邻补角的定义，由AEC和AED互为邻补角，可得AED60°，再由FEAB于E，可得AEF90°，则DEF90°60°30°.解：DEF30°.【小结】本题主要考察我们是否掌握了角与角之间的关系，解答这类题目时，我们要清楚地知道有关概念，比如垂直，对顶角，邻补角等.题型四、互余、互补魅力【例4】如图3，先找到长方形纸的宽DC的中点E，将C过E点折起任意一个角，折痕是EF，再将D过E点折

4、起，使DE和CE重合，折痕是GE，请探索下列问题：图3（1）FEC和GEC互为余角吗？为什么？（2）GEF是直角吗？为什么？（3）在上述折纸图形中，还有哪些互为余角？还有哪些互为补角？解：（1）由折纸实验，知3=1，4=2，而1+2+3+4=1800所以1+2=900，即FEC+GEC=900，故FEC和GEC互为余角（2）因为GEF=1+2=900，所以GEF是直角（3）3和4，1和EFG互为余角，AGF和DGF、CEC和DEC互为补角等等（同学们还可以举出一些例子）题型五平行线的性质与判定证明【例5】如图，如果12，C=D，那么A=F吗？为什么？【思考与分析】我们从已知条件入手分析题目.2

5、和3互为对顶角，23，由12可得13，而1和3是一对同位角，由平行线的判定条件可知BDCE，再根据平行线的性质可得4C.又因为已知C=D，我们可以得到4D，从而DFCA，从而可以推出A=F.解：因为12，23，所以13.所以BDCE.所以4C.又因为C=D，所以4=D所以DFCA.所以A=F.【例5】 如图所示，DE、BE分别为BDC，DBA的角平分线，且DEB=1+2.求证：（1） ABCD ； （2）DEB=90°.【思考与分析】（1） 欲证ABCD，就应该设法去找同位角，内错角相等，或同旁内角互补，本题直接取证CDB与ABD互补有些困难，而1+2=DEB，若以E点为顶点，DE为

6、一边在DEB的内部作DEF=2，则可构造EFCD，由角平分线不难证明EFAB，故可证得ABCD.（2） 由（1） 证得ABCD后，由同旁内角互补易证，1+290°，可得DEB=90°.解：（1） 以点E为顶点，DE为一边在DEB的内部作DEF=2. DE为BDC的平分线（已知）， 2EDC（角平分线定义）. FED=EDC（等量代换）. EFCD（内错角相等，两直线平行）. FEB=DEB-DEF=DEB-2，1+2DEB（已知）， FEB=1（等量代换）. 1=ABE（角平分线定义）， FEB=ABE（等量代换）. EFAB（内错角相等，两直线平行）. DFE=FBA（两

7、直线平行，同位角相等）.又 EFCD，CDFDFE=180°（两直线平行，同旁内角互补）.CDFFBA=180°（等量代换）. ABCD（同旁内角互补，两直线平行）.（2） ABCD（已知）， BDC+DBA=180°（两直线平行，同旁内角互补）.又 1=DBA，2BDC（角平分线定义）， 1+290°. 1+2DEB， DEB=90°.【小结】 （1） 综合运用了平行线的性质和判定定理，有利于帮助我们转化角或找到角与角之间的关系，也有利于我们确定两条直线的位置关系.（2） 对条件进行单个分析或综合分析，对结论进行转化，这是解决几何问题甚至是数

8、学问题，找寻思路的常用方法，要加强体会题型六利用平行线性质与判定进行运算【例7】如图，ABCD，若2=135°，则么1的度数是（）A.30°B.45°C.60°D.75°【思考与分析】 本题主要考查平行线的性质、互为邻补角概念.解：2与1的邻补角互为内错角，所以1180°-245°.【小结】 解答本题需要注意两点：第一，两直线平行，内错角相等，第二，互为补角与互为邻补角的区别.题型七条件开放性【例8】如图，直线、与直线相交，共形成八个角，请你添加一个条件，使得与平行.【思考与解】 要识别两直线平行，常用的方法有三种：利用“同

9、位角相等，两直线平行”，可添加15，26，48，37中的任一个；利用“内错角相等，两直线平行”，可添加35，46中的任一个；利用“同旁内角互补，两直线平行”，可添加4+5180°，3+6180°中的任一个；另外，还可以通过“对顶角相等”进行转化，可以添加17，28，1+8180°，2+7180°，4+7180°，3+8180°，2+5180°，1+6180°中的任一个.【小结】 条件开放性试题的特点是要得到某一个结论还缺少条件，需要补充完整，其解决方法类似于分析法，假如结论成立，逐步探索其成立的条件.题型八学科间的

10、综合【例9】已知：如图，AOB的两边 OA、OB均为平面反光镜，AOB=40°在OB上有一点P，从P点射出一束光线经OA上的Q点反射后，反射光线QR恰好与OB平行，则QPB的度数是（）A60°B80°C100°D120°【思考与分析】 观察题目，我们可以利用平行线的性质，“两直线平行，同位角相等”，以及与的夹角，与与的夹角相等的原则，可得出40°，借助平角的定义，则0°.解：.【小结】在学习的过程中我们一定要注意学科间的综合，这是中考命题的热.题型九尺规作图【例10】 电信部门要修建一座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，

11、发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等，到两条高速公路m、n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？【思考与分析】 这是一道实际应用题，关键是转化成数学问题，根据题意知道，点P应满足两个条件，一是在线段AB的垂直平分线上；二是在两条公路夹角的平分线上，所以点P应是它们的交点.解：（1）作两条公路夹角的平分线OC；（2）作线段AB的垂直平分线EF；则射线OC与直线EF的交点P就是发射塔的位置.【小结】以尺规作图解决实际问题是近几年中考的常见题型，应引起注意.题型十垂线性质的应用【例11】一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶，MN是分别位于AB两侧的村庄(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置

12、时，距离村庄M最近；行驶到点Q的位置时，距离村庄N最近，请在图中的公路上分别画出P、Q的位置(保留画图痕迹)(2)当汽车从A出发向B行驶时，在公路AB的哪一段路上距离M、N两村越来越近?在哪一段路上，距离村庄N越来越近，而离村庄M却越来越远?(分别用文字表述你的结论，不必证明)【思考与分析】根据“垂线段最短”的性质，过M、N两点分别做AB的垂线MP、NQ.当汽车行驶到垂足的位置时，汽车离村庄的距离最近；离开村庄时，距离越来越远.解：(1)过点M画MPAB，垂足为P，过点N画NQAB，垂足为Q，点P、Q就是要画的两点(如图)(2)当汽车从A向B行驶时，在AP这段路上，离两个村庄越来越近；在PQ这

13、段路上，离村庄M越来越远，离村庄N越来越近点拨：本题主要是利用垂线段的性质来解决问题的，把实际问题“模型”化.题型十一探究性问题【例12】观察图1图5（1）如图1，若ABCD，则B+D=BED，你能说明为什么吗?反之，若B+D=BED，直线AB与CD有什么位置关系?请说明理由；（2）若将点E移至图2所示位置，此时B、D、BED之间有什么关系?请说明理由；（3）若将E点移至图3所示位置，情况又如何?（4）在图4中，ABCD，E+G与B+F+D又有何关系?（5）在图5中，若ABCD，又得到什么结论?分析：要说明（1）的结论成立，若过点E作EFAB，则由平行线的特征即可说明；其余几个问题也都可以按照

14、此方法说明解：（1）如图1，过点E作EFAB，则ED，BBEF所以DDEF，而BEDBEF+DEF，故B+D=E反之，若BDE，则ABCD理由：如图1，过点E作EFAB，则BBEF，又因为B+D=E，所以BEF+DE所以DEF=D，所以EFCD，故ABCD（3）若将点E移至图2所示位置，此时有B+BED+D360°理由：过点E作EFAB，则B+BEF180°因为ABCD，所以EFCD所以D+DEF180°，故B+BED+D360°（3）若将E点移至图3所示位置，此时有结论：BED+DB理由：因为ABCD，所以BBMD，而BMD180°DMED+

15、E，故E+DB（4）仿照（1）可以猜想：在图34中，若ABCD，则有结论：E+GB+F+D提示：可以分别过点E、F、G作AB的平行线，仿照（1）即可说明（5）由（1）和（4）同样可以猜想：在图5中，若ABCD，则有结论：E1+E2+EnB+F1+F2+Fn-1+D理由略，可仿照（4）来说明说明：处理这类问题一定要从特殊推导出一般，并能大胆地猜想、验证，从而得到正确的结果平行线中的探索题赏析探索性数学题能够培养大家的发散思维能力，提高分析问题和解决问题的能力。在一些试题中常常出现这种试题。为帮助大家学习平行线的有关特性，现就有关的探索性试题例析如下。一、探索条件例1 如图1，直线a、b与直线c相

16、交，形成1、2、 ，8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：_,使a/b. 图1解析:本题只要是考查平行线的三种识别方法.(1)从“同位角相等，两直线平行”考虑，可填1=5，2=6，3=7，4=8中的任意一个条件；（2）从“内错角相等，两直线平行”考虑，可填3=6，4=5中的任意一个；（3）从“同旁内角互补，两直线平行”考虑，可填3+5=180°，4+6=180°中的一个条件。（4）从其他方面考虑，也可填1=8，2=7，1+7=180°，2+8=180°，4+7=180，3+8=180°，2+5=180°，1+6=180°

17、中的任意一个条件。二、探索结论例2如果两条平行直线被第三条直线所截得的8个角中有一个角的度数已知，则 A、只能求出其余3个角的度数 B、只能求出其余5个角的度数 C、只能求出其余6个角的度数 D、只能求出其余7个角的度数 图2解析：若具体地已知哪个角是几度的角，随后设问其他的角怎样求，大家是熟悉的，但如此题这样的设问，则需要有牢固的知识基础和基本技能来支持才行。如图2，假设1已知，通过对顶角相等，知道4，通过互补角，求出2、3，再通过平行线的性质确定5、6、7、8的大小，所以选（D）。三、探索解法例3 如图3，过已知直线AB外一点C，作直线CD，使CD/AB，你能想到几种画法？分析：本题考查平

18、行线的特征及判断。重点考查大家的动手操作能力。本题的画法较多，如：作法1.根据“同位角相等，两直线平行”(1)过点C画直线EF,交AB与G;(2)作ECD=EGA,则直线DC即为所求的直线.如图4。图3 图4 图5作法2.根据“垂直于同一条直线的两条直线平行”（1）过点C作CGAB，垂足为G，（2）过点C作直线CDCG。则直线CD就是所求作的直线。如图5 。 平行线中的“开放搞活”在解决平行线问题时，有时同学们会遇到条件不全或结论不明确的题目，需要给予补充，使之成为条件和结论完整的题目，如何解决这类题目呢，请看下面几例.一、 开放条件 激活思维已知中所给出条件不够，还需要根据结论再补充一个或多

19、个使结论成立的条件，这种类型的题为条件探索型题.例1 如图1，直线AB，CD被直线AC，点C在直线BE上，CD/AB，请写出一个能推出CD是ACE平分线的条件，并给出理由. 图1 分析：要CD是ACE平分线，只要ACD=ECD即可，根据CD/AB，可得ACD=A，ECD=B，故只要A=B就可得到CD是ACE的平分线. 解：添加条件：A=B. 理由：因为CD/AB，所以ACD=A，ECD=B， 因为A=B，所以ACD=ECD，所以CD是ACE平分线.评注：本题的解题思路是结合已知条件及图形，从问题的结论出发，探究所要添加的条件.这也是解决条件探索型的基本思路.二、开放结论，拓宽思维 当问题中所给

20、的结论不明确时，需要根据已知条件并结合图形进行结论探究，像这样的问题称为结论探索型题.例2 如图2，已知F是直线AD上一点，AD/BC，根据平行写出图中所标注的角的关系.分析：本题是一道结论开放题，解决问题应依据平行线的特征从图形中找出同位角、内错角及同旁内角. 图2 解：因为AD/BC，所以3=ABC（两直线平行，同位角相等）； 3=ABC（两直线平行，内错角相等）； D=1（两直线平行，内错角相等）； 5=C（两直线平行，内错角相等）； FAC+C=180°（两直线平行，同旁内角互补）； 评注：本题的解题思路是从已知条件出发，结合图形，利用平行线的性质等知识进行探究，进而得到结论

21、.三、开放组合 锻炼思维 从给出的几个论断中分别选出条件和结论，组成一个题目，然后加以说理. 图3 例3 如图3，已知直线BC与DE交于点O，给出下面三个论断，给出下面三个论断：(1)B= E;(2)BC/EF,(3)AB/DE.请你给出其中的两个论断为条件,以另一个论断为结论组成一个题目,并给予解答. 分析:从三个论断中选择两个条件,一个结论组成一个题目,方法有三种,分别是(1)，(2)为条件,(3)为结论;(1)，(3)为条件，（2）为结论；（2），（3）为条件，（1）为结论.只要选择一个即可. 解：(1)，(2)为条件,(3)为结论.因为AB/DE，所以B=COD，因为B=E，所以COD

22、=E，所以BC/EF.评注：解决此类问题，可列出所有可能出现的情况，然后再从中选择一种比较简单进行说理.实际问题中平行线在实际生活中，许多问题涉及平行线，我们可以利用所学的平行的有关知识解决实际问题.例1 在铺设铁轨时，两条直轨必须平行，如图1，已知知道2是直角，那么在度量图中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由. 图1 图2解析：学习了平行线的识别方法，我们可以根据平行线的识别方法解决问题，如果根据“同位角相等，两直线平行”，只要量4，如果4=90°就可以判断两条直轨平行；如果根据“内错角相等，两直线平行”，只要量5，如果5=90°就可以判断两

23、条直轨平行；如果根据“同旁内角互补，两直线平行”，也可以量3，根据2+3=180°可以判断两条直轨平行.例2如图2，一个弯曲管道ABCD的拐角ABC=120°，BCD=60°，这时说管道AB/CD对吗？为什么？，用什么方法可以检查相对的两边是否平行？解析：因为AB、CD可以看作两条线段，由于ABC和BCD是同旁内角，且ABC+BCD=120°+60°=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”可直AB/CD.例3如图3，要在一条公路的两侧铺设平行管道，如果公路一侧铺设的角度是120°，那么，为了使管道对接，另一侧应以什么角度

24、铺设？为什么？ 图3解析：本题是一道实际问题，可借助我们所学习的平行线的特征解决.两条平行管道可以看作两条平行线，根据两条直线平行同旁内角互补可以解决问题.根据平行线的特征可知，另一侧应以60°的角度铺设.根据两直线平行，同旁内角互补.平行线新题大观园平行线是平面几何的基础内容，近几年，在简单的知识背景下，富有新意的题型却层出不穷，可谓生动活泼，奥妙无穷，下面举例加以说明。一、折叠探究题例1、学习了平行线后，小敏想出了过己知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，她是通过折一张半透明的纸得到的（如图(1)(4) ）： 从图中可知，小敏画平行线的依据有（ ）两直线平行，同位角相等； 两直

25、线平行，内错角相等；同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行A B C D分析：观察图形可一发现，首先折出与已知直线垂直的“截线”，再折出与“截线”垂直的直线，这样折出的“八个角”都是直角，即同位角、内错角都相等，同旁内角互补。解：选C。点评：折纸活动是现在课程中最常见的一种活动，通过折纸可以帮助我们发现和验证数学结论，也是考试的一个热点。二、操作探究题例2、如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）A、同位角相等，两直线平行 B、内错角相等，两直线平行C、同旁内角互补，两直线平行 D、两直线平行，同位角相等分析：本题以平行线的作法为背景，考查平行线的识别方法。在作

26、图过程中，实际上始终保持同位角相等，所以这种作法的依据为：“同位角相等，两直线平行”。解：选A。点评：通过动手操作获取数学知识是一种重要的学习方式，探究发现操作过程中所蕴涵的数学事实是命题的一个重要方面。三、开放型图3CBABDE例3、 如图3所示，请写出能判定CEAB的一个条件 分析：要确定两直线平行的条件，关键是确定“三类角”之间的关系，而要确定“三类角”必须确定两直线被哪条直线所截，“三类角”就分布在截线的两旁。本题答案不惟一，如因为CE、AB被AD所截，可由DCE=A，根据“同位角相等，两直线平行”可得CEAB；也可由A+ACE=1800，根据“同旁内角互补，两直线平行”得到CEAB；

27、又因为CE、AB被BC所截，可由ECB=B，根据“内错角相等，两直线平行”得到CEAB。解：答案不唯一，如DCE=A或ECB=B或A+ACE=180º点评：开放型试题已渗透到各个知识点，是中考命题者较为偏爱的一类题型这类题的最大特点是答案具有不唯一性，能较好地考查同学们发散思维能力四、规律型例4、如图4，已知两组直线分别互相平行（1）若1=115º，求2，3的度数；（2）题（1）中隐含着一个规律，请你根据（1）的结果进行归纳，试用文字表述出来；321图4（3）利用（2）中的结论解答：如果两个角的两边分别平行，其中一个角是另一个角的2倍，求这两个角的大小分析：本题的第（2）问是规律探究题，应通过一定的探究，联想、猜测出其中的规律解：（1）因为两组直线分别互相平行，所以由平行线的性质可得2=1=115º，3+2=180º，则3=180º115º=65º；（2）如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补；（3）设其中的一个角为xº，则另一个角为2xº因为xº+2xº=180º，所以x=60º故这两个角分别为