2018-2019学年高中数学第一章三角函数1.4.1单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定

1、24. 1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义4. 2 单位圆与周期性学习目标 1. 了解单位圆与正弦、余弦函数的关系 2 掌握任意角的正弦、余弦的定义(重 点)3 掌握正弦函数、余弦函数在各个象限内的符号(重点)4 了解周期函数的概念，理解正弦函数、余弦函数都是周期函数(难点).I课前預习I自壬学习話題淀基理知识点 1 任意角的正弦、余弦函数(1)单位圆在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆，称为单位圆.(2)正弦函数、余弦函数的定义如图，在直角坐标系中，给定单位圆，对于任意角a,使角a的顶点与原点重合，始边与X轴正半轴重合，终边与单位圆交于点P(U, V)，那么点P的纵坐

2、标V叫作角a的正弦函数,正弦函数y= sinx和余弦函数y= cosx的定义域为全体实数，值域为1,1.【预习评价】记作V= sin_a；点P的横坐标U叫作角a的余弦函数，记作U= COS_a.- - 翟1.若角a的终边与单位圆相交于点1C.1答案 B2.若角a的终边与单位圆相交于点* ，则 cosa(3)正弦函数、22，则 sina的值为A.222答案知识点 2 正弦函数、余弦函数值的符号3ooRtn(XCOS.【预习评价】记住特殊角的正弦函数、余弦函数值非常重要，试完成下表:x0nnnn2n5n7n4n3n5n错误 ! 2n643236n6323y= sinx012221退21201_2退

3、112022Cyy= cosx1並2亚21201_2至2121_2气01221知识点 3 周期函数(1) 一般地，对于函数f(x)，如果存在非零实数T,对定义域内的任意一个x值，f(x+T)=f(x)都成立那么就把函数f(x)称为周期函数，T叫作这个函数的周期 (2)y= sinx的周期为 2kn,k Z,最小正周期为 2n.y= cosx的周期为 2kn,k Z,最小正周期为 2n.【预习评价】提示 不一定，如函数f(x) =x存在非零常数T= 4，存在x= 2,使得2f( 2+ 4) =f( 2)，但是函数f(x) =x不是周期函数.fll堂互动I题型一三角函数定义的应用【例 1】 已知角

4、0的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若所以y0,COSa V0 ,. sinaCOSa V0.由 sinaCOSa V0 知有两种可能：故a是第二象限角或第四象限角.规律方法正余弦函数符号的确定(1) 终边在坐标轴上的角：终边在坐标轴上的角可以利用单位圆，如终边在x轴非正半轴上的角与单位圆的交点为(一1,0)，故 Sina= 0, COSa= 1.(2) 终边在各个象限内的角：利用定义记符号：正弦取决于终边上点的纵坐标，所以一、二象限为正；余弦取决于终边上点的横坐标，所以一、四象限为正.【训练 2】判断下列各式的符号.(1) sin 105 COS230 ;(2) sin 240 sin

5、 300 ;16n(3)COSsinn ;故有 sinsina 0,sinaV0,COSa0.6(4)COS4 cos 5.解析 因为 105是第二象限角，所以sin 105 0，又因为 230是第三象限角，所以 COS 230 V0，所以 sin 105 cos 230 V0.7因为 240。是第三象限角，所以 sin 240v0;又因为 300是第四象限角，所以 sin 300v0，所以 sin 240 sin 300 0.16n(3)因为 sinn= 0.所以 cos3 殳 sinn= 0.3因为 4 是第三象限角，所以 cos 4v0，又因为 5 是第四象限角,所以 cos 5 0,所

6、以 cos 4 cos 5v0.【迁移1】 在例 3 中把条件“f(x+n) =f(x) ”改为“f(X+n) =f(x) ”，求f( +f(19n)的值.解由f(X+n) = f(x)知f(x+ n)+ n=f(x+ n)=f(X)f(x+ 2n) =f(x).知f(x)的周期为 2n.典例迁移题型三周期函数的定义及其应用1y)时,f(x) = 2sinx,求f牛 +f7t13n)3)n的值.二f( X)= f(x),又Tf(x+n) =f(X),函数f(x)的周期为n,n +f4n【例 3】 若函数f(x)是定义在 R 上的奇函数，且满足f(X+n) =f(x)，当x 0 ,解/f(x)是

7、奇函数,7t(n 4nE+f爭+f8又f(X)是奇函数,原式=一 2sin + 2sin = 2-巧 3.1【迁移 2】 在例 3 中把条件“f(x+n) =f(x) ”改为“f(x+n) =f- ”，贝U函数f(x)f x的周期为_1 1解析 由f(x+n)=得f(x+n) +n =f(x) , f(x+ 2n)=T xT X+ nf(x) . 函数f(x)的周期为 2n.答案 2n【迁移 3】把例 3 中的条件“函数f(x)是定义在 R 上的奇函数.且满足f(x+n) =f(x) ”改为“函数f(x)是定义在 R 上的偶函数且满足f(X-n) =f(x+n) ”，求f-3+f罟的值.解/f

8、(x)是偶函数.f( -x) =f(x),又f(x-n) =f(x+n).令x=x+ n得f(x)=f(x+2n)函数f(x)的周期为 2n.nn=2sin + 2sin -34=2+3.规律方法常见周期函数的形式周期函数除常见的定义式f(x+T) =f(x)外，还有如下四种形式:1(1)f(x+a) = -f(x).f(x+a) =f x.1f(x-a) = - f_.(4)f(x-a) =f(x+a).以上四种形式的函数都是以 2a为周期的周期函数.9I课堂反馈课堂达标1.若角a的终边过点则 cosa的值为(10答案的终边在第四象限.解析f() =f(2n+ y +才)=f(专)答案 14

9、5.已知角a的终边与单位圆相交于点p(a,b)，若 sina=-匚，求a、b的值，并说明51A. 2Of解析易知点2,、 1单位圆上，故 COSa=22.a的终边经过点P( b,4)且 COSa35,则b的值为(A.B.C.3D.解析/r=b2+ 16,bbCOSa=rb= 3.3b2+ 165.答案 A3.已知角a的终边上一点的坐标为2nsin 3,解析由题意知，角a的终边上一点的坐标为2nCOS3，则角a的最小正值为矗1iI 2，2；COSa答案1167t4.若函数f(x)是以寺为周期的周期函数，且f专=1,则f的值是=1.22211a是第几象限角.124解由正弦函数的定义可知b= sin

10、a=-.5222293又a+b= 1，a= 1 b=, a= .25534故a= -，b= _.5534当a= 5,b= 5 时，点P在第四象限，此时角a是第四象限角；34当a=口b=匸时，点P在第三象限，此时角a是第三象限角.55课堂小结1.利用定义求a的正弦函数值与余弦函数值时，注意结合图形求出a的终边与单位圆的 交点坐标，即得值.2. 正弦、余弦函数值在各个象限的符号可简记为：一均正、二正弦、三均负、四余弦.3. 正弦、余弦函数的周期性反映了终边相同的角的同一三角函数值相等.作用是把求任意 角的三角函数值转化为求 02n（或 0360 ）范围内角的三角函数值.I课后作业鑑:義鑑義義諒暮義

11、義蠡直蠹化如统云取固提升基础过关1 .若 sin0cos00,贝 UB在（）A.第一、二象限 B.第一、三象限C.第一、四象限D.第二、四象限答案 B2.已知a是第二象限角，P（X, 5）为其终边上一点，且 COSa= ，则X等于（）B.3D.3由此解得x=3.答案 Dn3.下列函数中，周期为兀的是（）A. 3C. 2解析B.y= sin 2xD.y= cos( 4x)依题意得 cos13xA.y=sin2xC.y= cos -414.nx+ 2X解析A 选项中，f(x+ -2)= sin = sin(号 + -4)，不满足对任意x,f(x+-2)=f(x)；nn、,nf(x+2)= sin

12、2(x+ ) = sin (2x+n)，不满足对任意x,f(x+ 2)=f(x);f(X+2)= cos 4(X+ ) = COS(4+8)，不满足对任意x,f(X+2)=f(X);(2)T 925=3X360+155, 925是第二象限角.cos(925)v0.(n7.已知角a的终边经过点P( 3cos0, 4cos0)，其中0 i2kn+2, 2kn+n(kB选项,C选项,D选项,f(x+专)=cos nx+2cos( 4x 2n) = cos( 4x) =f(x)，二选 D.答案 D4已知f(x)是R_ 解析/f(x+ 3)=答案 25.下列说法中，正确的为终边相同的角的同名三角函数值相

13、等;终边不同的角的同名三角函数值不全相等;若Sina 0，贝U a是第一、二象限角;若a是第二象限角，且 Rx,y)是其终边上的一点，贝Ucos三角函数的值，只与角的终边的位置有关系，与角的大小无直接关系， 故都是正确的；当a的终边与y轴的非负半轴重合时，sina= 1 0,故是不正确的；无论a在解析第几象限，cos2,故也是不答案6 确定下列三角函数值的符号:39n(1)sin12;(2)cos(39n解(1)TiT=2n92515n+12,且罟是第三象39n12 是第三象限角;39nsiP*0.xx+yx=3m15 Z)，求角a的正弦函数值及余弦函数值.n解 /0 (2kn +,2kn+n

14、)(kZ),能力提升8m64m+ 9朋 J =丄，即 m= 1.64m+ 9 252答案答案 011.若角a的终边与直线y= 3x重合且 sina0，又P(m n)是a终边上一点，且|OP= y/10，贝 Um- n=_ .解析Ty= 3x, sina0,.点 Rmn)位于y= 3x在第三象限的图像上，且nT0,n0,ncos0 0,9.为第二象限角时，宓a|sincosa|cosA.B.C.D.解析a为第二象限角，sina0,cosa0,a| cosaSin sina|cosa| sin|sincosa=2.cosa答案 C10.若a= + 2kn(k Z),cos 3a解析 cos 3an

15、=cos 3 + 2knn.=cos(7+6kn)=cos7=0.7t516|0P= m2+n2=10|m=-.10mr10.m=- 1,n= 3，二 m-n=2.答案 212.已知 COSa0,(1) 求角a的集合；(2) 求角专的终边所在的象限；试判断 sin -2， cos-2 的符号.解(1) COSa角a的终边可能位于第二或第三象限或x 轴的非正半轴上.Tsina0,.角a的终边可能位于第一或第二象限或y轴非负半轴上，.角a的终边只能位于第二象限.n丄丄，故角a的集合为a1+ 2knan+2kn,k Z.2n區/(2)T +2knan +2kn(kZ),2na n_4+knyy+kn(kZ).na n当k= 2n(k Z)时，+ 2nnyy + 2nn(n Z),a 0 是第一象限角；2.n. 5na3n当k= 2n+ 1(n Z)时，+ 2nn0;当专是第三象限角时，sin 专0, c