曲线上一点处的切线、瞬时速度与加速度

1、选修22 导数及其应用1.1.2 曲线上一点处切线、瞬时速度、瞬时加速度 （总第48导学案）一、学习目标1、了解利用割线斜率逼近切线斜率这种“以直代曲”的思想求曲线上一点处的切线的方法；2、了解在非常短时间内的平均速度、平均加速度十分接近一个时刻的瞬时速度、瞬时加速度；了解求瞬时速度和瞬时加速度的的方法。二、重点与难点 重点：求曲线上一点处的切线的方法，求瞬时速度和瞬时加速度的的方法。 难点: 了解利用割线斜率逼近切线斜率这种“以直代曲”的思想.三、教学过程 （一）曲线上一点处的切线：1、割线与切线的概念： 如图，设Q为曲线C上不同于P的一点，这时，直线PQ称为曲线的割线。随着点Q沿曲线C向点

2、P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终就成为经过点P处最逼近曲线的直线，这时直线就称为曲线在点P处的切线。2、切线的斜率：如图，设曲线C上一点P (x,f(x)，过点P的一条割线交曲线C于另一点，则割线PQ的斜率,当点Q沿曲线C向点P运动，并无限靠近点P时，割线PQ逼近点P的切线，从而割线的斜率逼近切线的斜率。即当时，点P(x，f(x)处的切线的斜率。这里可正也可负，当取负值时，点Q位于点P的左侧。3、如何求曲线C:在P(x，f(x)点处切线的斜率呢？（基本思想：割线逼近切线） 第一步：求平均变化率； 第二步：求时，所趋近的值A。所以在点P处的切线的斜率

3、k=A。例1：已知，求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率及切线方程。 变1：运用割线逼近切线的方法，分别求曲线在x=0，x=2，x=3处的切线的斜率。变2：已知，求曲线y=f(x)在x=1处的切线斜率及切线方程。（二）瞬时速度与瞬时加速度：1、平均速度：在物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度。平均速度反映了物体在某一时间段内运动的快慢程度。具体求法：一般地，物体在做直线运动时，它的运动规律可以用函数s=s(t)描述，这个式子叫做物体的运动方程（也叫做位移公式）。如果一个运动物体在时刻时位于，在时刻称为时间增量）时位于，相应地，从到这段时间内，物体的位移（即位移增量）是，那么位移

4、增量与时间增量的比，就是这段时间内物体的平均速度，即。如何精确刻画物体在某一时刻的快慢程度？2、瞬时速度：一般地，我们计算运动物体位移s(t)的平均变化率（即平均速度），如果当，A（常数），那么这个常数A称为物体在时的瞬时速度。或叫时刻的速度。要特别记住：瞬时速度是位移对于时间的瞬时变化率。3、如何求物体的瞬时速度？第一步：求平均变化率； 第二步：求时，所趋近的值，即为物体在时的瞬时速度。例2、如果一个物体的位移S(m)是时间t(s)的函数，求该物体在t时刻的速度v和加速度a。4、瞬时加速度：一般地，我们计算运动物体速度的平均变化率，如果当，A（常数），那么这个常数A称为物体在时的瞬时加速度。

5、要特别记住：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率。5、如何求物体的瞬时加速度？第一步：求平均变化率； 第二步：求时，所趋近的值，即为物体在时的瞬时加速度。例3、已知一辆轿车在公路上作加速直线运动，假设ts时的速度为(t)=t2+3，求t=t0s时轿车的瞬时加速度a.例4、跳水运动员从腾空到入水的过程中，不同的时刻有不同的速度，后运动员相对于水面的高度h(m)为。求（1）时运动员的瞬时速度； （2）运动员在t=s时的速度，并解释此时的运动状况。课 外 作 业1、如图，为经过曲线上点P和Q的割线，若P(1，2)、Q(5，7)，则 ， 当Q沿曲线向点P靠近时，的斜率是变大 还是变小？ 。2、在下列3

6、个图中，直线为曲线在点P处的切线， 则的斜率分别是 、 、 。3、某物体做匀速运动，其运动方程为S=vt+b，则该物体在运动中的平均速度、任意时刻的瞬时速度分别是 、 。4、自由落体运动的位移S(m)与时间t(s)的关系为(g为常数)，则当s时的瞬时速度为 （m/s），当t=0、1、2s时的瞬时速度分别是 、 、 (m/s)。5、曲线在处的切线斜率是 ，该处的切线方程是 。6、已知质点的运动方程为，当质点速度为2时，t= 。7、当时， ， .8、已知曲线在某点的切线斜率为2，则此点的坐标是 。9、曲线在点P处切线的斜率为k，当k=3时，点p的坐标是 。10、已知曲线方程，则曲线在P(2，1)处的切线方程是 。11、一质点运动方程为(位移单位：m，时间单位：s)，求该质点在t=3s时的瞬时速度 。12、一物体运动的方程为，当t=a和t=a+1时的速度分别为、，试比较、的大小。13、某物体作匀加速直线运动，已知，求物体在时的瞬时速度和瞬时加速度。14、航天飞机发射后的