中考数学专题复习平行四边形的综合题及详细答案

1、中考数学专题复习平行四边形的综合题及详细答案一、平行四边形1.（问题情景）利用三角形的面积相等来求解的方法是一种常见的等积法，此方法是我们 解决几何问题的途径之一.例如：张老师给小聪提出这样一个问题：如图1,在4ABC中，AB=3, AD=6,问4ABC的高 AD与CE的比是多少？ 小聪的计算思路是：1 1根据题意得：Sa abc= BC?AD= AB?CE22一AD1从而得 2AD=CE,CD 1CE 2请运用上述材料中所积累的经验和方法解决下列问题：（1）（类比探究）如图2,在？ABCD中，点E、F分别在AD, CD上，且AF=CE并相交于点 O,连接BE、 BF,求证：BO平分角 AOC

2、.（2）（探究延伸）如图3,已知直线 m/ n,点A、C是直线m上两点，点B、D是直线n上两点，点P是线 段CD中点，且/APB=90,两平行线 m、n间的距离为4.求证：PA?PB=2AB（3）（迁移应用）如图4, E为AB边上一点，ED± AD, CE!CB,垂足分别为 D, C, / DAB=/ B, AB=64, BC=2, AC=J26,又已知 M、N分别为AE、BE的中点，连接 DM、CN.求 DEM与 CEN的周长之和.图3【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 5+J34【解析】 分析：（1）、根据平行四边形的性质得出 4ABF和4BCE的面积相等，过点 B作OG

3、LAF于G, OHCE于H,从而得出 AF=CE然后证明 BOG和 BOH全等，从而得出 /BOG=/ BOH,即角平分线；（2）、过点P作PG±n于G,交m于F,根据平行线的性质得 出4CPF和4DPG全等，延长 BP交AC于E,证明4CPE和4DPB全等，根据等积法得出 AB=APX PB从而得出答案；（3）、，延长 AD, BC交于点G,过点A作AF，BC于F,设CF=x,根据RtABF和RtACF的勾股定理得出x的值，根据等积法得出 AE=2DM=2EM, ill，1，,口，V 八一八、土BE=2CN=2EN DM+CN= AB,从而得出两个二角形的周长之和.同理：EM+EN

4、= AB2详解：证明：（1）如图2,二四边形ABCD是平行四边形,Saabif= ' Sabcd, Sa bcSabcd,& abf=Sabce;)过点B作OGAF于G, OH± CE于H,Sa abiAFX BGSabcCEX BHyAFX BEX B HP： AFX BG=CE X B HAF=CE ，BG=BH,在 RtBOG 和 RtBOH 中,眦BO.时二BH RtA BO8 RtA BOH,/ BOG=Z BOH, OB 平分 / AOC,(2)如图 3,过点 P作 PG± n 于 G,交 m 于 F, v m / n, . .PFl AC,/

5、CFP=/ BGP=90 ,° .点 P 是 CD 中点，rZCKP=ZDCP.PF=PG= FG=2,在 CPF 和 4DPG 中，4 cp = DP, .CP阵DPG,ZCPF=ZDPG延长 BP 交 AC于 E, m / n, . / ECP玄 BDP, . CP=DP在 CPE 和 4DPB 中，CP=DP ,ACPEADPB, . PE=PB./CPE =/DFB / APB=90 ,°AE=AB,Saape=Saapb,区11. Saape= AEX PF=AE=ABSaapb= APX PB .AB弓APX PB 即：PA?PB=2AB(3)如图 4,延长 A

6、D, BC交于点 G,/BAD=/ B, .AG=BG,过点 A 作 AF± BC于 F,设 CF=x (x>0) , . BF=BC+CF=x+2 在 RtABF 中，AB=信，根据勾股定理得，AF2=AB2 - BF2=34 - (x+2) 2,在 RtACF 中，AC=/酝, 根据勾股定理得，AF2=AC2 - C卢=26 - x2,-J - cBGX CE=BG(DE+CE , 上 .34 - (x+2) 2=26- x2,x=- 1 (舍)或 x=1, AF=J &-工？ =5,连接 EG, ''' SLabg=2"BGX A

7、F=Seg+Sa BEG= AGX . DE+CE=AF=5 在 RtADE 中，点 M 是 AE 的中点，. . AE=2DM=2EM,同理：BE=2CN=2EN .AB=AE+BE 2DM+2CN=AB, . DM+CN=-AB,2同理：EM+EN等AB . .口£“ 与 CEN的周长之和=DE+DM+EM+CE+CN+EN = DE+CE + (DM+CN) + (EM+EN)=(DE+CN +AB=5+/34.点睛：本题主要考查的就是三角形全等的判定与性质以及三角形的等积法，综合性非常 强，难度较大.在解决这个问题的关键就是作出辅助线，然后根据勾股定理和三角形全等 得出各个线

8、段之间的关系.2.如图，四边形 ABCD中，AD/BC, ZA=90°, BD=BC 点E为CD的中点，射线 BE交AD 的延长线于点F,连接CF（1）求证：四边形 BCFD是菱形；(2)若 AD=1, BC=2,求 BF 的长.【答案】（1）证明见解析（2） 2 J3【解析】(1) AF/ BC,Z DCB=Z CDF, Z FBC=Z BFD,点E为CD的中点,DE=ECFBC BFD在ABCE与FDE中，DCB CDF ,DE EC.,.BCEAFDE,DF=BC,又DF/ BC, 四边形BCDF为平行四边形，, BD=BC, 二.四边形BCFD是菱形；(2)二.四边形 BCF

9、D是菱形，BD=DF=BC=2, 在 RtA BAD 中，AB= Vbd'_AD7 s/3，. AF=AD+DF=1+2=3,在 RtBAF 中，BF=7AB2AR2 =273 .3.如图，在 RtABC中，ZB=90°, AC=60cm, /A=60°,点D从点C出发沿 CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点 E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀D、E运动的时间是t速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点秒(0vtwi5 .过点D作DU BC于点F,连接DE, EF.(2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t

10、值，如果不能，说明理由;(3)当t为何值时，4DEF为直角三角形？请说明理由.【答案】(1)见解析；(2)能，t=10； (3) t=15或12. 2【解析】【分析】(1)利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角 4CDF中，利用直角三角形的性质求得 DF的长，即可证明；(2)易证四边形 AEFD是平行四边形，当 AD=AE时，四边形 AEFD是菱形，据此即可列方 程求得t的值；(3) 4DEF为直角三角形，分 /EDF=90和/ DEF=90两种情况讨论.【详解】解：(1)证明：二.在 RtABC 中，Z C=9CT - Z A=30° , .AB=-AC=- X 60=30cm2

11、2 . CD=4t, AE=2t,又.在 RtCDF中，/ C=30 , .DF=-CD=2t,DF=AE2(2)能，1. DF/ AB, DF=AE四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形 AEFD是菱形，即60 - 4t=2t ,解得：t=10,当t=10时，AEFD是菱形；(3)若ADEF为直角三角形，有两种情况：如图 1, /EDF=90°, DE/ BC,15则 AD=2AE,即 60 4t=2 X 21 解得：t= 一 ,2如图 2, /DEF=90： DE±AC,则 AE=2AD,即 2t 2(60 4t),解得：t=12,综上所述，当t=15或12

12、时，4DEF为直角三角形.24.如图，正方形 ABCD的边长为8, E为BC上一定点，BE= 6, F为AB上一动点，把 BEF沿EF折叠，点B落在点B'处，当4AFB恰好为直角三角形时， B'D的长为？【答案】4扁或2V2 5【解析】 【分析】分两种情况分析：如图 1,当/AB' F=9时，此时A、B'、E三点共线，过点 B'作B'肚AB, B' CAD,由三角形的面积法则可求得B' M=2.4再由勾股定理可求得 B' N=3.2在RtACB N中，由勾股定理得，B' D=b N2+DN 2 = 732充；如图2

13、，当/AFB =90° 时，由题意可知此时四边形 EBFB是正方形，AF=2,过点B作B'皿AD,则四边形AFB N为 矩形，在RtACS N中，由勾股定理得，B' D=b N2+DN2 =V2222 ；【详解】如图1,当/ AB' F=90寸，此时 A、B'、E三点共线,/ B=90 ； -AE=VAB2BE2二花2 62 =10,. B' E=BE=6 . AB' =4. B' F=BFAF+BF=AB=8在 RtAAB 冲，ZAB F=90° 由勾股定理得， AF2=FB 2+AB2 , .AF=5, BF=3,

14、过点B作B'mAB, B' CAD,由三角形的面积法则可求得B' M=2.4再由勾股定理可求得B' N=3,2AN=B ' M=2.4, DN=AD-AN=8-2.4=5.6,在 RtACB N中，由勾股定理得，B' D=b N2+DN 2= J3 22 5 62 =f 屈 ；5如图2,当/AFB =90寸，由题意可知此时四边形EBFB是正方形，AF=2,过点 B作 B'皿 AD,则四边形 AFB N为矩形，AN=B F=6 B' N=AF=2，DN=AD-AN=2,在 RtACE N中，由勾股定理得，B' d=b N2+

15、DN 2 = /222"2 =22 ；综上，可得B' D的长为4届或2亚.5【点睛】本题主要考查正方形的性质与判定，矩形有性质判定、勾股定理、折叠的性质等，能正确 地画出图形并能分类讨论是解题的关键.5.已知AD是 ABC的中线P是线段 AD上的一点（不与点 A、D重合），连接 PB> PC,E、F、G、H分别是AB、AC、PRPC的中点，AD与EF交于点M；费1置工(1)如图1,当AB= AC时，求证：四边形 EGHF是矩形；(2)如图2,当点P与点M重合时，在不添加任何辅助线的条件下，写出所有与4BPE面积相等的三角形(不包括 BPE本身).【答案】(1)见解析；(

16、2) 4APE、AAPR ACPF PGH.【解析】【分析】(1)由三角形中位线定理得出EG/AP,EFBC,EF=1BC,GH/BC,GH=1 BC,推出22EF/ GH, EF=GH证得四边形 EGHF是平行四边形，证得 EF± AP,推出EF± EG,即可得出 结论；(2)由4APE与4BPE的底AE=BE又等高，得出 生ape=Sa bpe,由4APE与4APF的底EP=FP又等高，得出 Saape=Sapf,由4APF与4CPF的底AF=CF又等高，得出Saapf=Sacpf,证得 PGH底边GH上的高等于 4AEF底边EF上高的一半，推出_1 _Sapgh= S

17、aef=Sx apf,即可得出结果. 2【详解】(1)证明：£、F、G、H分别是AB、AC PR PC的中点， .EG/ AP, EF/ BC, EF= 1 BC, GH/ BC, GH= 1 BC,22 .EF/ GH, EF= GH, 四边形EGHF是平行四边形，.AB= AC,ADXBC,EF± AP,1. EG/ AP, EF± EG,平行四边形EGHF是矩形；(2) PE是 APB 的中线， .APE与4BPE的底 AE= BE,又等高，Sa ape= Sa bpe, .AP是AAEF的中线， .APE与APF的底.EP= FP,又等高，Sa ape=

18、Sa apf,Sa apf= Sa bpe,.PF是APC的中线， .APF与CPF的底AF=CF,又等高，Sa apf= Sa cpf,SacpSabpe, . EF/ GH/ BC, E、F、G、H 分别是 AR AC PB、PC的中点，.AEF底边EF上的高等于 ABC底边BC上高的一半， PGH底边GH上的高等于 PBC 底边BC上高的一半，.PGH底边GH上的高等于 4AEF底边EF上高的一半， .GH= EF,.Sa pgh= Saaef= Sa apf,2综上所述，与 BPE面积相等的三角形为：AAPE、AAPR CPE PGH.【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判

19、定、三角形中位线定理、平行线的性质、三角形面积的计算等知识，熟练掌握三角形中位线定理是解决问题的关键.6.如图，在平面直角坐标系中，直线 DE交x轴于点E (30, 0),交y轴于点D (0,、140),直线 AB: y=-x+5交x轴于点A,交y轴于点B,交直线 DE于点P,过点E作3EF± x轴交直线AB于点F,以EF为一边向右作正方形 EFGH(1)求边EF的长；(2)将正方形EFGH沿射线FB的方向以每秒 加 个单位的速度匀速平移，得到正方形EiFiGiHi,在平移过程中边 FiGi始终与y轴垂直，设平移的时间为 t秒(t>0).当点Fi移动到点B时，求t的值； 当Gi

20、, Hi两点中有一点移动到直线DE上时，请直接写出此时正方形EiFiGiHi与4APE重叠部分的面积.【答案】(i) EF= i5； (2)i0 ；i20 ；【解析】【分析】(1)根据已知点E (30, 0),点D (0, 40),求出直线 DE的直线解析式y=-x+40,可3求出P点坐标，进而求出 F点坐标即可； 易求B (0, 5),当点Fi移动到点B时，t=10 JT0+JT0 =10;MH 4RDMH'中， - EM 3 'F点移动到F'的距离是 而 t, F垂直x轴方向移动的距离是 t,当点H运动到直线DE上时，在 RtF'NF 中，-NF=1 , E

21、M=NG'=15-F'N=15-3t,在NF 3t=4, Su1x(12普)x n1023 ;当点 G 运动到直线 DE上时，在 RtF'PK中，-PK-=-248F K 3PK t 34PK=t-3, F'K=3t-9,在 RtPKG中，=,t=7, S=15X (15-7) =120.KG 15 3t 93【详解】(1)设直线DE的直线解析式 y=kx+b, 将点 E (30, 0),点 D (0, 40),30k b 0b 403 ,40直线AB与直线DE的交点P (21, 12), 由题意知F (30, 15),EF= 15；(2)易求 B (0, 5)

22、,1 .BF=10 .10 ,，当点F1移动到点B时，t=10y/ic Ji0=10；当点H运动到直线DE上时，F点移动到F'的距离是，10t,在 Rt"'NF 中,NF _1nF-3.FN=t, F'N=3t,.MH'= FN= t,EM= NG'= 15- F'N= 15- 3t, 在 RtDMH'中，MH 4 ,EM 3t 4 - -,15 3t 3 t = 4, .EM = 3, MH'= 4,F点移动到F'的距离是济0t,PF=3短， -PF'= Vl0 t- 3 Vl0 ,在 RtF'

23、PK 中,PK 1,F K 3.PK= t-3, F'K= 3t9,在 RtA PKG中,PKKGt 315 3t 92 .t = 7,3 .S= 15 X(15-7) = 120.【点睛】本题考查一次函数图象及性质，正方形的性质；掌握待定系数法求函数解析式，利用三角 形的正切值求边的关系，利用勾股定理在直角三角形中建立边之间的联系，准确确定阴影 部分的面积是解题的关键.7. （1）（问题发现）如图1,在RtA ABC中，AB= AC= 2, Z BAC= 90°,点D为BC的中点，以CD为一边作正 方形CDEF点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）（拓展研究

24、）在（1）的条件下，如果正方形 CDEF绕点C旋转，连接BE, CE, AF,线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图 2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B, E, F三点共线时候，直接写出线段 AF的长.【答案】（1） BE=72AF； （2）无变化；（3） AF的长为73 T 或73+1. 【解析】试题分析：（1）先利用等腰直角三角形的性质得出AD=J2 ,再得出BE=AB=2,即可得出结论；（2）先利用三角函数得出 CA显,同理得出CF ,夹角相等即可得出CB 2CE 2 AC。 BCE进而得出结论；（3）分两种情况计算，当点E在线段BF上时，如图2,先利用勾股

25、定理求出EF=CF=AD=/2, BF=J6,即可得出BE=J6 - J2 ,借助（2）得出的结论，当点 E在线段BF的延长线上，同前一种情况一样即可得出结论.试题解析：（1）在 RtA ABC 中，AB=AC=2,根据勾股定理得，BC=V2 AB=2后，点D为BC的中点，AD=1BC=J2 ,.四边形 CDEF是正方形，AF=EF=AD=/2 , BE=AB=2, .BE=V2AF,故答案为BE=,2AF；（2）无变化；如图 2,在 RtAABC中，AB=AC=2,/ ABC=Z ACB=45sin/ ABC=CA -,CB 2在正方形 CDEF中，ZFEC=1 ZFED=45,02在 Rt

26、CEF中，sin/FEC=CF 且, CE 2 'CF CACE CB， / FCE4 ACB=45 , / FCE- / ACE=Z ACB- / ACE,/ FCA=Z ECBBE CB.ACFABCE =J2，BE=J2 AF,AF CA线段BE与AF的数量关系无变化； （3）当点E在线段AF上时，如图2, 由（1）知，cf=ef=cd=/2，在 RtBCF 中，CF=72，BC=272 ,根据勾股定理得，BF=y6 ,BE=BF EF=76 -由（2）知，BE=&AF, .AF=V3 - 1,当点E在线段BF的延长线上时，如图 3,sinZ ABC=CA 2CB 2 &

27、#39;在正方形 CDEF中，Z FEC=1 Z FED=45,°2在 RtCEF中，sinZ FEC=CL 巨 CE 2CFCECACB '在 RtA ABC 中，AB=AC=2, ，/ ABC=Z ACB=45 , / FCE4 ACB=45/ FCB+Z ACB=Z FCB+Z FCE/ FCA之 ECBBE CB一.ACFABCE =J2，BE=J2aF,AF CA由（1）知，cf=ef=cd=/2,在 RtBCF 中，CF、/2 BC=2我，根据勾股定理得，BF=76,BE=BF+EF=/6 + y2，由（2）知，BE=72AF, - AF=yS+1.即：当正方形C

28、DEF旋转到B, E, F三点共线时候，线段 AF的长为J3 - 1或J3+1.8.（感知）如图，四边形 ABCR CEFG匀为正方形.可知 BE=DG（拓展）如图 ，四边形 ABCD CEFG匀为菱形，且/ A=/F.求证：BE=DG（应用）如图 ，四边形ABCR CEFG均为菱形，点E在边AD上，点G在AD延长线.（只填结上.若AE=2ED, ZA=ZF, EBC的面积为8,菱形CEFG的面积是 果）【解析】试题分析：探究:D8CB圉图由四边形 ABCD四边形CEFG均为菱形，禾1J用 SAS易证得 BCE DCG,贝U可得BE=DG；应用：由 AD/ BC, BE=DG,可得 Saabe

29、+Sacde=Sxbec=Sxcdg=8,又由 AE=3ED 可求得 CDE 的面积，继而求得答案.试题解析：探究：二.四边形ABCR四边形CEFG匀为菱形，BC=CQ CE=CG / BCD=Z A, / ECG之 F. / A=Z F,/ BCD=Z ECG / BCD-/ ECD=Z ECGjECD 即 / BCE玄 DCG.在4BCE和4DCG中,BC=CDBCE= DCGCE=CG.-.BCEADCG (SAS , BE=DG.应用：二.四边形ABCD为菱形,.AD/ BC, BE=DG,Sa abe+Sa cdefSa becfSa cdg=8 , .AE=3ED,Sa cde=工

30、 8 2 ,4Sa ecg=Sa cde+Sx cdg=10，S 菱形 cefG=2Sa ecg=20.友好三角形”9.定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做性质：如果两个三角形是 友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等.理解：如图 ，在4ABC中，CD是AB边上的中线，那么 4ACD和4BCD是 友好三角形”，并且 Saacd=Sabcd.应用：如图 ，在矩形ABCD中，AB=4, BC=6,点E在AD上，点F在BC上，AE=BF AF 与BE交于点O.(1)求证：4AOB和4AOE是友好三角形”；(2)连接OD,若4AOE和ADOE是 友好三角形”，求四边形 CDOF的面积.探

31、究：在 ABC中，/A=30°, AB=4,点D在线段 AB上，连接 CD, AACDABCD> 友好三角形”，将4ACD沿CD所在直线翻折，得到CD若CDfABC重合部分的面11积等于 ABC面积的4,请直接写出 ABC的面积.n £图【答案】(1)见解析；(2) 12;探究：2或2%3.【解析】ABFE是平试题分析：(1)利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB,即可证得4AOE和4AOB是友好三角形；(2) AAOEADOE>友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得 ABE ABF的面积

32、，根据 S四边形cdoF=S矩形abcd"2Saabf即可求解.探究：画出符合条件的两种情况： 求出四边形A DCBb平行四边形，求出 BC和A出/ACB=90,根据三角形面积公式求出即可；求出高CQ求出DC勺面积.即可求出 ABC的面积.试题解析：(1)二.四边形ABCD是矩形，.AD/ BC,. AE=BF,四边形ABFE是平行四边形，.OE=OB, AOE和 AOB是友好三角形.(2) .AOE和ADOE是友好三角形,Saaoe=Sadoe, AE=ED= AD=3, AOB与 AOE是友好三角形,Saaob=Saaoe,.AOEAFOB,Saoe=Sfob,Saaod=Sab

33、f:,111- S 四边形 cdof=S矩形 abcd-2Saabf=4 X 6-2 X 4 X 3=.12探究:解：分为两种情况：如图1,- Sa acd=Sx bcd.12 .AD=BD= AB,沿CD折叠A和A重合，1111.AD=A，福Ex 4=2IIA' CD ABC重合部分的面积等于 ABC面积的工11 II 1111._4c_2c2.Sadoc= Saabc= Sabdc= Sadc= Saa dcdo=ob, a' o=co四边形A' DCB平行四边形,BC=A ' D=2过 B作 BMXACT M,. AB=4, /BAC=30,°I

34、I.BM=/AB=2=BC即C和M重合，/ ACB=90 ；由勾股定理得：ac=' ,1 II.ABC的面积是.X BCX AC=2%9=2%'2;如图2,'A- Sa ace=Sx bcd.1 .AD=BD= AB,沿CD折叠A和A重合，1111 .AD=A，禧B工X 4=2II A' CD ABC重合部分的面积等于 ABC面积的*, 11 II 1111八 4c 2c 2c 2c.Sadoc= Saabc= Sabdc= Sadc= Saa dc .DO=OA'，BO=CO, 四边形A' BDC平行四边形， .A' C=BD=2过C作

35、CO! A'吁Q, . A' C=2/ DA' C=BAC=30 ,° 11 .CQ=A' C =1 1111/.SaabC=2Saadc=2Sa dC2 /X A' DX CQ =2XX 1;=2即 ABC的面积是2或2、？.考点：四边形综合题.10.如图，现将平行四边形 ABCD沿其对角线 AC折叠，使点B落在点B处.AB与CD交于 点E.(1)求证：AE44CEB'(2)过点E作EH AC交AB于点F,连接CF,判断四边形 AECF的形状并给予证明.AF jj【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)由题意可得 AD=

36、BC=B'C /B=/D=/ B',且/ AED=/ CEB；利用AAS证明全等，贝U结 论可得；(2)由AEgCEB可得AE=CE且EFLAC,根据等腰三角形的性质可得EF垂直平分AC, /AEF=Z CEF 即 AF=CF / CEF玄 AFE=Z AEF,可得 AE=AF,贝U可证四边形 AECF是菱 形.【详解】证明：(1)二.四边形ABCD是平行四边形.AD= BC, CD/ AB, / B= / D平行四边形ABCD沿其对角线AC折叠BC= B'C, / B= / B'/ D= / B', AD= B'C且 / DEA= / B

37、9;EC.ADEAB'EC(2)四边形AECF是菱形.ADEAB'EC.AE=CE. AE=CE) EF± AC，EF 垂直平分 AC, /AEF=/CEF.AF=CF1. CD/ AB/ CEF= / EFA且 / AEF= / CEF/ AEF= / EFA.AF = AE,-.AF = AE= CE= CF四边形AECF是菱形【点睛】本题考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，菱形的判定，熟练 掌握这些性质和判定是解决问题的关键.11.如图，抛物线 y=mx2+2mx+n 经过A ( - 3, 0) , C (0, - 1 )两点，与x轴交于另

38、点B.(1)求经过A, B, C三点的抛物线的解析式;(2)过点C作CE/ x轴交抛物线于点 E,写出点E的坐标，并求 AC BE的交点F的坐标(3)若抛物线的顶点为 D,连结DC DE,四边形CDEF是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由.CE/ x轴, 求出直线由 E、C、三)两点,崂3 n-2，抛物线解析式为+x 【答案】(1) y=-x2+x- - ; (2) F点坐标为(-1, T) ; (3)四边形CDEF是菱22形.证明见解析【解析】【分析】将A、C点的坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程组求得该抛物线的解析式；根据(1)题所得的抛物线的解析式，可确定抛物线的对称轴方程以

39、及B、C点的坐标，由可知C、E关于对称轴对称。根据 A、C点求得直线AC的解析式，根据 B、E点BE的解析式，联立方程求得的解，即为F点的坐标；F、D的坐标可知DF和EC互相垂直平分，则可判定四边形CDEF为菱形.(1) ; 抛物线 y=mx2+2mx+n 经过 A (-3, 0) , C (0,9币-6时n二0_ 3口一3- y=7Tx2+x-，抛物线对称轴为直线 x= - 1,. CE/ x 轴,C、E关于对称轴对称，C ,3、 C (0, - 5)，,3、 E ( - 2, 一一)， A、B关于对称轴对称， B (1, 0),设直线AC BE解析式分别为y=kx+b, y=k'

40、x+b'则由题意可得解得k=-l2b=4直线AC BE解析式分别为y二联立两直线解析式可得IfF点坐标为(-1, - 1);x=-ly=-l(3)四边形CDEF日至形.证明：1 y(x+1)2-2, D ( - 1, -2),- F ( - 1, T),，DF，x 轴，且 CE/ x轴,DFXCE,3 一,. C (0,)，且 F (T,1) , D ( 1, -2),DF和CE互相平分,四边形CDEF【点睛】形.本题考查菱形的判定方法，二次函数的性质，以及二次函数与二元一次方程组.12.正方形ABCD的边长为1,对角线 AC与BD相交于点。，点E是AB边上的一个动点 (点E不与点A、

41、B重合)，CE与BD相交于点F,设线段BE的长度为x.CA-£图1CB图2(1)如图1,当AD=2OF时，求出x的值；(2)如图2,把线段CE绕点E顺时针旋转90°,使点C落在点P处，连接AP,设 APE 的面积为S,试求S与x的函数关系式并求出 S的最大值.(2) S=-(x-)12+8(0VXV 1),11111当乂=之时，S的值最大，最大值为 百，.【解析】试题分析：(1)过。作OM /AB交CE于点M,如图1,由平行线等分线段定理得到CM=ME,根据三角形的中位线定理得到AE=2OM=2OF,得到OM=OF,于是得到 BF=BE=x|1-xJiX 寸1求得OF=OM

42、= 2解方程 22 ,即可得到结果；(2)过P作PG,AB交AB的延长线于 G,如图2,根据已知条件得到 / ECB4 PEG 根据1全等三角形的性质得到 EB=PG=x由三角形的面积公式得到S= (1-x) ?x,根据二次函数的性质即可得到结论.试题解析：(1)过。作OM /AB交CE于点M,如图1, .OA=OC,.CM=ME, .AE=2OM=2OF, .OM=OF,OM OFBF=BE=xOF=OM .AB=1, .OB= £ ,.支 +- 1,22(2)过P作PG±AB交AB的延长线于 G,如图2, / CEP4 EBC=90,° / ECB4 PEG,

43、 ,. PE=EC Z EGP=Z CBE=90, 在 EPG与CEB中，= /POE LCEB =三PEC PE-EC.,.EPGACEB,EB=PG=x.AE=1-x,S=，(1 - x)?x= 一 x2+/x= 一(x-2)(0<x< 1),5V0,1当x=Z时，S的值最大，最大值为考点：四边形综合题13.如图，在菱形 ABCD中，AB=6, /ABC=60°, AHBC于点H.动点E从点B出发，沿线段BC向点C以每秒2个单位长度的速度运动.过点 E作EH AB,垂足为点F.点E出 发后，以EF为边向上作等边三角形 EFG设点E的运动时间为t秒，4EFG和4AHC的

44、重合部分面积为S.(1) CE= (含t的代数式表示).(2)求点G落在线段AC上时t的值.(3)当S>0时，求S与t之间的函数关系式.(4)点P在点E出发的同时从点 A出发沿A-H-A以每秒 入出个单位长度的速度作往复运P在4EFG内部时t的取值范动，当点E停止运动时，点 P随之停止运动，直接写出点围.£)3【答案】(1) 6-2t; (2) t=2; (3)当彳vtw时，S=：1t2hgt-3L;当 2vtw时，S=-65 口 |2九3 |33v3312t2+ ' t- * ; (4) Ltv S .【解析】试题分析：(1)由菱形的性质得出 BC=AB=6得出CE=

45、BC-BE=6-2即可；(2)由菱形的性质和已知条件得出4ABC是等边三角形，得出 /ACB=60,由等边三角形的性质和三角函数得出 /GEF=60, GE=EF=BE?sin6 0%1t,证出/ GEC=9 0,由三角函数求 I GE出CE=m6T=t,由BE+CE=BC导出方程，解方程即可；(3)分两种情况： 当之vtw对，S=AEFG的面积-4NFN的面积，即可得出结果；当2vtw的，由的结果容易得出结论；3(4)由题意得出t1时，点P与H重合，E与H重合，得出点P在4EFG内部时，t的不 等式，解不等式即可.试题解析：(1)根据题意得：BE=2t, 四边形ABCD是菱形，BC=AB=6

46、, .CE=BC-BE=6-2 t(2)点G落在线段AC上时，如图1所示:图1 四边形ABCD是菱形，.AB=BC, / ABC=60 ； .ABC是等边三角形，/ ACB=60 ； EFG是等边三角形，/ GEF=60,° GE=EF=BE?sin60 Vt,=EF± AB,/ BEF=90-60 三30 ；/ GEB=90,°/ GEC=90,°GE 冏 .CE= f / i二t, BE+CE=BC ，2t+t=6 , 解得：t=2;(3)分两种情况： 当2<tw此 如图2所示:HES=A EFG的面积- NFN的面积=" XX (2

47、= " t2+P t-3V3,3即 S= ' t2+，-3/;当2vt w时，如图3所示:GES=t2+ . t-3 .-(3% t-6%)2,65T 290 3%?即 S=- " t2+ ' t- 工；今(4) . AH=AB?sin60 =6好：33-2=,，tJ时，点P与H重合，E与H重合，3.点P在4EFG内部时,2v (t- ) x(2t-3)(2t-3),12解得：p,<t<即点P在4EFG内部时t的取值范围为:<t<12T考点：四边形综合题.14.倡导研究性学习方式，着力教材研究，习题研究，是学生跳出题海，提高学习能力和

48、创新能力的有效途径.下面是一案例，请同学们认真阅读、研究，完成 类比猜想”的问 题.习题如图（1）,点E、F分别在正方形 ABCD的边BC CD上，/ EAF=45 ,连接EF,则 EF=BE+DF说明理由.解答：.正方形 ABCD 中，AB=AD, / BAD=/ ADC=Z B=90°,把ABE绕点A逆时针旋转 90至ADE；点F、D、E在一条直线上. . / E' AF=905 -45 =/ EAF,又AE ' = A&F=AF.AEAAEF （SAS . EF=E ' F=DE ' +DF=BE+DF类比猜想：（1）请同学们研究：如图（

49、2）,在菱形ABCD中，点E、F分别在BG CD上，当ZBAD=120 ,° /EAF=60时，还有 EF=BE+DF马？请说明理由.（2）在四边形 ABCD中，点E、F分别在BC CD上，当AB=AD, / B+/D=180 ,时,EF=BE+DF马？请说明理由.【答案】证明见解析./ eaf4 / bad【解析】试题分析：（1）把4ABE绕点A逆时针旋转120°至AADE,如图（2）,连结E' ,F根据菱 形和旋转的性质得到 AE=AE, /EAF=/ E' AF利用"SASE明4AE图AE' E得至U EF=E乎 由于/ADE廿ADC=120 ,则点F、D、E不共线，所以 DE +D F EF,即由BE+DF> EF;（2）把 ABE绕点A逆时针旋转/ BAD的度数至AADE,如图（3）,根据旋转的性质得 至ij AE' =A, /EAF=/ E' AF然后利用 “SASE明 AEH AE' F 得到 EF=E J 由于 /ADE'4ADC=180 知F、D、E共线，因此有 EF=DE ' +DF=BE+网前面的条件和结论 可归纳出结论.试题