高数大一上学期知识要点

1、总复习(上一、求极限的方法:1、利用运算法则与基本初等函数的极限;、定理 若lim(,lim (f x A g x B =, 则 (加减运算 lim(f x g x A B+=+(乘法运算 lim (f x g x AB=(除法运算 (0,lim(f x A Bg x B=若推论1: lim (,lim(lim (nnnf x A f x f x A = (n 为正整数推论2: lim(lim (cf x c f x = 结论结论2:(f x 是基本初等函数,其定义区间为D ,若0x D ,则0lim (x x f x f x =2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质;定义1: 若lim (0x

2、 xf x =或(lim (0x f x =则称(f x 是当0x x (或x 时的无穷小.定义2: ,是自变量在同一变化过程中的无穷小:若lim1=, 则称与是等价无穷小, 记为.性质1:有限个无穷小的和也是无穷小. 性质2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 定理2(等价无穷小替换定理 设,'',且lim''存在, 则 (因式替换原则常用等价无穷小:sin ,tan ,arcsin ,arctan ,x x x x x x x x(2121cos ,1,11,ln 1,xx x

3、e x x x x x -+-+1ln ,xa x a -(0x3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则;准则I(夹逼准则若数列,nn n x y z (n=1,2,满足下列条件:(1(,n n n y x z n =123 ;(2lim lim n n n n y z a=,则数列nx 的极限存在, 且limn n x a =.准则II: 单调有界数列必有极限.4、利用两个重要极限。sin lim1x x x= 1lim (1xx x e += 1lim (1xx e x+=5、利用洛必达法则。未定式为0,0,00-类型. 定理(xa 时的型: 设(1lim(lim (0x ax af x F x

4、 =;(2 在某(,U a 内, (f x 及(F x 都存在且(0F x ;(3lim(x af x F x ''存在(或为无穷大 二、求导数和微分: 1.定义导数:函数(y f x =在0x x =处的导数:00000(limlim.x x x f x f x f x x f x f x x x x-+-'=-函数(y f x =在区间I 上的导函数:(lim.x f x x f x dy f x xdx+-=函数的微分:(.dy f x dx '=2.导数运算法则(须记住P140导数公式 函数和差积商求导法则:函数(u x 、(v x 可导,则:(u x

5、v x u x v x '''+=+(.u x v x u x v x u x v x '''=+(2(0u u v uv v x v v''-''=反函数求导法则:若(x y =的导数存在且(0y ',则反函数(y f x =的导数也存在且为1(.(f x y '='复合函数求导法则(链式法则:(u x =可导,(y f u =可导,则(y f x =可导,且.dy dy du dxdu dx=隐函数求导法则: 参数方程求导法则:(,(x t y t =若(0t '则(dy t d

6、xt '='.22(1(t dy d d d y t dx dx dxdxdtdt''=3.微分运算法则三、求积分:1.概念:原函数、不定积分。定积分是一个数,是一个和的极限形式。1(lim(nb i i ai f x dx f x =性质1:(0,(a ab abaf x dx f x dx f x dx=-=性质2:(bb b aaaf xg x dx f x dx g x dx+=+性质3:(,(.bbaakf x dx k f x dx k =是常数性质4:(c cb b aaf x dx f x dx f x dx =+(去绝对值, 分段函数积分性质5

7、:b adx b a=-2.计算公式: P186基本积分表; P203常用积分公式;第一换元法(凑微分:(u x u x f x x dx f x d x f u du ='= 21arcsin arccos,111(,2dx d x d xdx d dx dx x=-=-=第二换元法:(2.(x tf x dx f t t dt='= 分部积分法:3.(u x v x dx u x v x u x v x dx ''=-udv uv vdu=-(反对幂指三”,前,后u v '有理函数积分: 混合法 (赋值法+特殊值法确定系数循环解出; 递推公式 分部化

8、简 ; 牛顿莱布尼茨公式:4.(bbaaf x dx F b F a F x F x f x '=-=其中定积分换元法:5.(b af x dx f t t dta b '=(=(换元换限,配元(凑微不换限定积分分部积分法:6.(b bba aau x v x dx u x v x u x v x dx''=-结论(偶倍奇零: 若函数(f x 为偶函数,则(2(a aaf x dx f x dx-=。若函数(f x 为奇函数,则(0aaf x dx -=注意:1. 利用“偶倍奇零”简化定积分的计算;2. 定积分几何意义求一些特殊的积分(如24a a = 变限积分

9、求导四、微分和积分的应用1. 判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、描绘函数图形 判断单调性:第一步:找使(0f x '=的点和不可导点。第二步:以驻点和不可导点划分单调区间,在每个区间上讨论(f x '的正负,(0,f x '>函数递增,(0,f x '<函数递减。 判断凹凸性:第一步:找使(0f x ''=的点和不可导点。第二步:以这些点划分定义区间,在每个区间上讨论(f x ''的正负, (0f x ''>,是凹区间,(0f x ''<,是凸区间。(拐点:左右两边(

10、f x ''的符号相反 判断函数极值:第一步:找使(0f x '=的点和不可导点。第二步:判断这些点两边(f x '的正负,若左正右负极大值点左负右正极小值点。2.1 定积分的几何应用-求面积,体积和弧长 所求图形的面积为:(b aSf x fx dx=-下上 所求图形的面积为:(dcS y y dy =-右左y + y +-旋转体:由连续曲线 y =f (x 、直线 x =a 、x =b 及 x 轴所围成的曲边梯 形绕 x 轴旋转一周而成的立体。 旋转体:由连续曲线 (x y = 、 直线 y =c 、y =d 及 y 轴所围曲边梯 形绕 y 轴旋转一周而成的

11、立体2(dcV y dy= baf (x 2 dx =baf (x 2dx 。 2.3 定积分的物理应用变力沿直线做功;水(侧压力;引力思路: 建立坐标系,选取积分变量(如x ,在x, x+d x 上给出微元第六 空间解析几何 1.向量x y z a a i a j a k=+在坐标轴上的投影分别为:,x y za a a ;在坐标轴上的分量分别为:,x y z a i a j a k。|a = ,(cos ,cos ,cos |aa e a =2. 利用坐标作向量的线性运算(,x y z a a a a =(,x y z b b b b = a b ±=(,x x y y z z

12、a b a b a b ±±±,a =(,x y z a a a ,数量积(数:|cos (,x x y y z z a b a b a b a b a b a b =+=向量积(向量xy z xyzi j k a b a a a b b b =a b a ,a b b ,且 a b ,a b构成右手系,r r r r rÙr | a ´ b |=| a | b | sin (a, b (几何意义: 平行四边形的面积 3向量之间的关系 r r r r a b Û a × b Û axbx + ayby + az b

13、z = 0 r r r r ax a y az a / b Û = = （ Û a ´ b = 0 Û ax bx by bz bx 4平面图形及其方程 平面的法向量：和平面垂直的非零向量。 点法式方程： r i r j ay by r k az = 0） bz r 设平面过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 法向量 n = ( A, B, C (其中 A, B , C 不全为 0, 则平面的方程为 A( x - x0 + B( y - y0 + C( z - z0 = 0 Ax + By + Cz + D = 0 一般方程： 当 D = 0 时,

14、 A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 表示平行于 x 轴的平面; Ax+Cz+D = 0 表示平行于 y 轴的平面; Ax+By+D = 0 表示平行于 z 轴的平面 Cz + D = 0 表示平行于 xoy 面 的平面; Ax + D =0 表示平行于 yoz 面 的平面； By + D =0 表示平行于 zox 面 的平面 ur 设平面 的法向量为 n = ( A , B , C1 ， 1 1 uu 1 r 平面 的法向量为 n2 = ( A , B2 , C2 ， 2 1 2 则两平面夹角 q 的余弦为

15、： cos q = 平面外一点 n1 × n2 n1 n2 。 P ( x0 , y0 , z0 ) 到平面 Ax + By + Cz + D = 0 的距离： d= Ax0 + By0 + Cz0 + D A2 + B2 + C 2 5空间直线及其方程 一般方程：直线可视为两平面交线，其一般式方程为： 11 ì A1 x + B1 y + C 1 z + D1 = 0 í î A2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 方向向量: 点向式方程 r r r s = n1 ´ n2 xr- x0 y - y0 z - z0 = = n = p 方向向量: sm ( m, n, p ì x = x0 + m t 参数方程 (求交点 ï í y = y0 + n t ïz = z + pt 0 î . 线与线的关系 x - x1 y - y1 z - z1 直线 L1： = = , s1 = ( m1 , n1 , p1 m1 n1 p1 x - x2 y - y 2 z - z 2 直线 L2： = = , s2 = ( m2 , n2 , p2 m2 n2 p2 L1 L2 s1 × s2 = 0 m1m2 + n1n2 + p1 p2 = 0 m