高中数学论文解决数学问题的化归策略

1、用心 爱心 专心解决数学问题的化归策略湖北省随州市曾都区草店中学 王厚军 李华荣在解决某些数学问题时,我们常采用转化手段,将待解决的问题归结为相对容易解决或已有固 定解决程式的另一问题,通过对这一问题的解决,得到原问题的解答。这种处理问题的方法就是化 归。它是转化和归结的简称,是解决数学问题的一般思想方法。选择恰当的转化手段进行正确有效 的化归是解决问题的关键。这里介绍几种常用的化归策略。一、寻找恰当的映射(对应关系实现化归数学知识的内在联系有许多是映射。利用映射,可将待解决的问题转化为另一问题。 1、平面上的点与有序实数对集合的映射笛卡尔通过建立坐标系,确定了平面上的点与有序实数对的一一对应

2、关系,把几何问题转化为 代数问题, 创立了解释几何。 由此我们可以把判断点 P (6, 3 是否在抛物线 216212+-=x x y 上,变成判断 =36y x 是否是方程 216212+-=x x y 的解; 求直线 12+=x y 与双曲线 xy 3=交点问题,变成求方程组 =+=x y x y 312解的问题。 例 1、已 知:关于 x 的 一元 二次 方程 32=+c bx ax 的 一 个根 为 21=x , 且 二次 函 数c bx axy +=2的对称轴是直线 2=x ,则抛物线的顶点坐标为分析 根据方程与函数的对应关系可知:方程 32=+c bx ax 的一个根为 21=x

3、, 那么, 函数 c bx ax y +=2当自变量 2=x 时,函数值 3=y 即点(2, 3在抛物线 cbx ax y +=2上;又因为抛物线的对称轴是直线 2=x ,则(2, 3为抛物线的顶点。2、代换。变量替换、换元、增量替换、等代换都是特殊的映射。例 2、若 a 、 b 为互不相等的实数,且 0132=+-a a , 0132=+-b b ,则221111ba+的值为分析:用变量 x 替换 a 、 b 。即根据条件的特殊结构,由方程解的定义可知:a 、 b 是方程0132=+-x x 的两个不等实根。由韦达定理得 3=+b a , 1=ab 。利用已知条件 a a 312=+,b b

4、 312=+把所求代数式变形,再整体代换113333131111122=+=+=+abb a bab a例 3、已知 x 、 y 、 z 为实数,且 8=+y x , 162-=xy z ,求 z y x 32+的值分析:方法 1 增量代换。取 x 与 y 的和 8的平均值 4为标准量,进行增量代换(也称为均值换元法 ,设 t x +=4, t y -=4,则 2216 4(4(t t t z -=-+=,即 022=+t z用心 专心故 0=t z ; 4=y x 1208432=+=+z y x方法 2 变量代换。把已知条件变形 8=+y x , 162+=z xy 可知:x 、 y 是关

5、于 t 的一元二 次方程 016822=+-z t t 的两个根。 t =04 16(46422-=+-z z 方程有实根 t 0 则 042=-z , 0=z 4=y x (以下略利用代换法解题,关键在于根据问题的结构特征,适当选取能够以简驭繁、化难为易的变换, 实现问题的转化。因此,要注意分析问题的结构特征,对已知条件适当变形,同时要善于发现题目 中的特殊结构,挖掘题目中隐含的特殊关系,利用这些特殊条件进行代换。二、转换语义实现化归数学中,每一种数学语义(概念、关系等 ,一般都有一种确定的数学符号(式表示,但不同 的数学语义可能是由同一种数学符号(式表示的。也就是说,一种数学符号(式 ,可

6、作不同的语 义解释,如 |b a -表示 a 与 b 差的绝对值,又表示数轴上 a , b 两点的距离。语言是思维的载体, 是思维的外部表现形式,同一种数学语义的内容可以用文字语言、符号语言、逻辑语言、图形语言、 表格等不同的数学语言形式表示。因此,通过语义转换,能使一个问题转化为另一个较简单明了的 问题。1、等价转换将一种数学语言翻译成另一种语言形式;或将一种形式意义翻译成另一种形式意义,这种以对 象 “释” 对象, 就是等价转换。 如点 P 在 O 上 R OP =(R 为 O 半径 ; 两圆外切 r R d +=(d 为圆心距, R 、 r 为两圆半径 ;原命题等价于逆否命题。2、数形转

7、化数和形反映了事物的两个方面,数无形,少直观;形无数,难入微。因此,在解决问题时,常 要把同一数学对象进行代数释意与几何释意, 实现 “数” 与 “形” 的语义转化。 也就是说, 将数 (量 与 (图 形结合起来进行分析、 研究, 通过数的计算去找图形之间的联系, 用 “数” 的知识解决 “形” 的问题;根据条件画图形或结合所给图形去寻找数之间的联系,用“形”的知识解决“数”的问题, 这种数形结合的思想是解决数学问题的切入点。例 4、 ABC 中, AB=AC=4, BD 交 AC 于 E , BAC BDC =21, 且 CE=1。 求 DE BE (2001年全国初中数学联赛分析 根据题意

8、,由 AB=AC, BAC BDC =21,可构造一个以 A 为圆心, AB 为半径的辅圆(如右图, BDC 为圆周角 ,直径 824=CF , 718=-=EF ,由相交弦定理可知, 771=EF CE DE BE例 5、 计算2561161814121+分析 方法 1:将边长为 1的正方形割取一半;第二次再将余下矩形 割取一半依此分割(如图 ,可以看出每次割取的部分(矩形与余下 的部分 (矩形 面积相等。 那么割取的各部分矩形面积之和应等于正方形的 面积 1减去最后一次余下的矩形面积。即256255256112561161814121=-=+ 方法 2:将长为 1的线段截取一半; 第二次1

9、61812141用心 爱心 专心再将余下线段截取一半依次截取(如图 ,这样每次截取的线段长与余下的线段长相等,则截取 的各线段长度之和等于原线段长度 1减去最后一次剩余线段的长度(计算如上式(本题也可以用换元法来解:设 2561161814121+=s 两边都乘以 2得128116181412112+= s -得 25625525611=-=s 三、1、特殊化“特殊”问题往往比“一般”性问题显得简单、直观和具体,容易解决,并且在特殊问题的解 决过程中,常常孕育着一般问题的解决方法。因此,在某个数学问题难以解决时,常可先研究它的 特殊情况,然后再把解决特殊问题的方法或结果应用、推广到一般问题上而

10、获得解决。初中教材中 有许多一般性问题是用特殊化法解决的,如圆周角定理的证明,先证明圆心在圆周角一条边上这种 特殊情况,然后把这种证明思路应用到圆心在角的内部、外部的非特殊情况证明上,最后进行归纳, 使问题得以解决。例 5、如图甲,正方形 ABCD 的对角线相交于点 O , O 又是正方形 A 1B 1C 1O 的一个顶点,两个 正方形的边长相等,那么无论正方形 A 1B 1C 1O 绕点 O 怎样转动,两个正方形重叠部分的面积,总等 于一个正方形面积的41(定值 ,想一想为什么?(新课标版八年级下册教材第 116页分析 一般情况下,两个正方形重叠部分是一个四边形(图甲阴影部分 ,不易确定其面

11、积的 大小。不妨将绕 O 旋转的正方形置于特殊位置(图乙 ,此时易得重叠部分( AOB 的面积是正 方形 ABCD 面积的41,余下的问题就是证明在一般情形下(图甲 ,重叠四边形 OEAF 的面积等于 OAB 面积。用割补法,证 ODF OAE 即可。2、一般化一般化是与特殊化相反的一个过程。有些数学问题,由于其特殊数量或位置关系,孤立地考察 问题本身,造成我们只见“树木”不见“森林” ,难以解决。这时,要把问题的某些因素或结构形式 拓展到一般情况,借助一般化的结论或方法,使问题顺利解决。例 6、计算20062005200520032005220052323-+-分析 数字较大,运算繁,不易发现隐含的一般性质,设 2005=a ,则 原式 20062003121(1( 1(2(1( 1( 2( 2