相似专题精讲

1、1、 专题精讲 相似三角形判定的基本模型认识（一）A字型、反A字型（斜A字型） （平行） （不平行）（二）8字型、反8字型（蝴蝶型） （平行） （不平行）（三）母子型 （四）一线三等角型： 三等角型相似三角形是以等腰三角形（等腰梯形）或者等边三角形为背景（五）一线三直角型：（6） 双垂型： 2、 相似三角形判定的变化模型旋转型：由A字型旋转得到。 8字型拓展共享性 一线三等角的变形 一线三直角的变形二、专题过关题型1：母子型相似三角形1、已知：如图，ABC中，点E在中线AD上, 求证：（1）； （2） ACDEB2、 已知：如图，在RtABC中，C=90°，BC=2，AC=4，P是斜

2、边AB上的一个动点，PDAB，交边AC于点D（点D与点A、C都不重合），E是射线DC上一点，且EPD=A设A、P两点的距离为x，BEP的面积为y（1）求证：AE=2PE；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当BEP与ABC相似时，求BEP的面积ACBPDE题型2：双垂型1、如图，在ABC中，A=60°，BD、CE分别是AC、AB上的高求证：（1）ABDACE；（2）ADEABC；(3)BC=2ED分析：两个角对应相等的两个三角形互为相似三角形,两边对应成比例,夹角相等的两个三角形互为相似三角形根据此可进行证明题型3：共享型相似三角形1、已知：如图，在RtABC中，A

3、B=AC，DAE=45°求证：（1）ABEACD； （2）题型4：一线三等角型相似三角形1、如图，等边ABC中，边长为6，D是BC上动点，EDF=60°（1）求证：BDECFD（2）当BD=1，FC=3时，求BE CADBEF2、（1）在中，点、分别在射线、上（点不与点、点重合），且保持.若点在线段上（如图），且，求线段的长；若，求与之间的函数关系式，并写出函数的定义域；ABCPQABC备用图ABC备用图（2） 正方形的边长为（如下图），点、分别在直线、上（点不与点、点重合），且保持.当时，求出线段的长.ABCDABCDABCD3、已知在梯形ABCD中，ADBC，ADBC，

4、且AD5，ABDC2（1）如图8，P为AD上的一点，满足BPCA求证；ABPDPC求AP的长CDABP（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足BPEA，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于点Q，那么当点Q在线段DC的延长线上时，设APx，CQy，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；当CE1时，写出AP的长题型5：一线三直角型1、在直角三角形ABC中，是AB边上的一点，E是在AC边上的一个动点，（与A,C不重合），与射线BC相交于点F.(1)、当点D是边AB的中点时，求证：(2)、当，求的值（3）、当，设,求y关于x的函数关系式，并写出定义域1、 能力提升 1、如图

5、，ABC和ADE都是等腰直角三角形，BAC=DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE下列结论中：CE=BD； ADC是等腰直角三角形；ADB=AEB； CDAE=EFCG；一定正确的结论有（）A1个B2个C3个D4个考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；平行四边形的性质。分析：利用SAS证明BADCAE，可得到CE=BD，利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合ADE是等腰直角三角形可得到ADC是等腰直角三角形；利用SAS证明BAEBAD可得到ADB=AEB；利用得出GFD=AFE，以及GDF+

6、GFD=90°，进而得出CGDEAF，得出比例式解答：解：BAC=DAE=90°，BAC+DAC=DAE+DAC，即：BAD=CAE，ABC和ADE都是等腰直角三角形，AB=AC，AE=AD，BADCAE（SAS），CE=BD，故正确；四边形ACDE是平行四边形，EAD=ADC=90°，AE=CD，ADE都是等腰直角三角形，AE=AD，AD=CD，ADC是等腰直角三角形，正确；ADC是等腰直角三角形，CAD=45°，BAD=90°+45°=135°，EAD=BAC=90°，CAD=45°，BAE=360&

7、#176;90°90°45°=135°，又AB=AB，AD=AE，BAEBAD（SAS），ADB=AEB；故正确；BADCAE，BAEBAD，CAEBAE，BEA=AEC=BDA，AEF+AFE=90°，AFE+BEA=90°，GFD=AFE，GDF+GFD=90°，CGD=90°，FAE=90°，GCD=AEF，CGDEAF，CDAE=EFCG故正确，故正确的有4个故选D2、如图，在直角三角形ABC中（C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A5B6C7D12考点：相似

8、三角形的判定与性质；正方形的性质。分析：根据已知条件可以推出CEFOMEPFN然后把它们的直角边用含x的表达式表示出来，利用对应边的比相等，即可推出x的值解答：解：在RtABC中（C=90°），放置边长分别3，4，x的三个正方形，CEFOMEPFN，OE：PN=OM：PF，EF=x，MO=3，PN=4，OE=x3，PF=x4，（x3）：4=3：（x4），（x3）（x4）=12，x=0（不符合题意，舍去），x=7故选C3、如图，在平行四边形ABCD中（ABBC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：AO=BO；OE=OF

9、；EAMEBN；EAOCNO，其中正确的是（）ABCD考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质。分析：根据平行四边形的对边相等的性质即可求得AOBO，即可求得错误；易证AOECOF，即可求得EO=FO；根据相似三角形的判定即可求得EAMEBN；易证EAOFCO，而FCO和CNO不全等，根据全等三角形的传递性即可判定该选项错误解答：解：平行四边形中邻边垂直则该平行四边形为矩形，故本题中ACBD，即AOBO，故错误；ABCD，E=F，又EOA=FOC，AO=COAOECOF，OE=OF，故正确；ADBC，EAMEBN，故正确；AOECOF，且FCO和CNO，故EAO和

10、CNO不相似，故错误，即正确故选B4、如图，四边形ABCD，M为BC边的中点若B=AMD=C=45°，AB=8，CD=9，则AD的长为（）A3B4C5D6考点：相似三角形的判定与性质；三角形的外角性质；勾股定理。分析：由BMD=BMA+AMD=C+CDM，B=AMD=C=45°，可证得ABMMCD，然后由相似等于相似三角形对应边成比例，即可求得MC与BM的值，然后延长BA与CD交于点E，由勾股定理，即可求得AD的长解答：解：BMD=BMA+AMD=C+CDM，B=AMD=C=45°，BMA=CDM，ABMMCD，M为BC边的中点，MC=BM，AB=8，CD=9，B

11、M=MC=6，BC=12，延长BA与CD交于点E，B=C=45°，E=90°，BE=CE，BE=CE=12，AE=BEAB=4，DE=CECD=3，在RtAED中，AD=5故选C5、如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分DAE，EFAE，则CF等于（）AB1CD2考点：相似三角形的判定与性质；解一元一次方程；角平分线的性质；勾股定理；矩形的性质。专题：计算题。分析：根据矩形的性质得到AD=BC=5，D=B=C=90°，根据三角形的角平分线的性质得到DF=EF，由勾股定理求出AE、BE，证ABEECF，得出=，代入求出即可解答：解：四边形ABCD是矩形，

12、AD=BC=5，D=B=C=90°，AF平分DAE，EFAE，DF=EF，由勾股定理得：AE=AD=5，在ABE中由勾股定理得：BE=3，EC=53=2，BAE+AEB=90°，AEB+FEC=90°，BAE=FEC，ABEECF，=，=，CF=故选C6、在ABC中，AB=6，AC=9，点D在边AB所在的直线上，且AD=2，过点D作DEBC交边AC所在直线于点E，则CE的长为 考点：相似三角形的判定与性质。分析：此题可以分为当点D在边AB上时与当点D在边AB的延长线上时去分析，由DEBC，根据平行线分线段成比例定理，即可求得CE的长解答：解：如图，当点D在边AB上

13、时，AB=6，AC=9，AD=2，BD=ABAD=62=4，DEBC，即：，CE=6；如图，当点D在边AB的延长线上时，AB=6，AC=9，AD=2，BD=AB+AD=6+2=8，DEBC，即：，CE=12；CE的长为6或12故答案为：6或127、如图，ABC与AEF中，AB=AE，BC=EF，B=E，AB交EF于D给出下列结论：AFC=C；DE=CF；ADEFDB；BFD=CAF其中正确的结论是 考点：相似三角形的判定与性质。分析：先根据已知条件证明AEFABC，从中找出对应角或对应边然后根据角之间的关系找相似，即可解答解答：解：在ABC与AEF中AB=AE，BC=EF，B=EAEFABC，

14、所以AF=AC，则AFC=C；由B=E，ADE=FDB，可知：ADEFDB；由于EAF=BAC，所以EAD=CAF，由ADEFDB可得EAD=BFD，所以BFD=CAF综上可知：正确8、如图，在平行四边形ABCD中，AF交DC于E，交BC的延长线于F，DAE=20°，AED=90°，则B=70度；若=，AD=4厘米，则CF= 厘米考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质。分析：由DAE=20°，AED=90°可得B=70°，根据平行四边形的对角相等可得B=D=70°，由CDAB得FECFAB就可得到CF的长解答：解：DAE=20

15、°，AED=90°B=70°B=D=70°又CDABCE：AB=CF：BF设CF=xcmCE：AB=x：（4+x）x=2cm9、如图，在ABC中，D为AC边上的中点，AEBC，ED交AB于G，交BC延长线于F若BG：GA=3：1，BC=10，则AE的长为 考点：相似三角形的判定与性质。分析：先根据平行线分线段成比例求出BF：AE的值，再根据D是AC的中点得到CF与AE相等，列出等式求解即可解答：解：AEBCAEGBFGBG：GA=3：1=BF：AED为AC边上的中点AE：CF=1：1AE=CFBF：AE=（CF+BC）：AE=3：1（AE+10）：AE=

16、3：1解得：AE=510、如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于F（1）求证：DCP=DAP；（2）若AB=2，DP：PB=1：2，且PABF，求对角线BD的长考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质。专题：几何综合题。分析：（1）根据菱形的性质得CD=AD，CDP=ADP，证明CDPADP即可；（2）由菱形的性质得CDBA，可证CPDFPB，利用相似比，结合已知DP：PB=1：2，CD=BA，可证A为BF的中点，又PABF，从而得出PB=PF，已证PA=CP，把问题转化到RtPAB中，由勾股定理，列方程求解解

17、答：（1）证明：四边形ABCD为菱形，CD=AD，CDP=ADP，CDPADP，DCP=DAP；（2）解：四边形ABCD为菱形，CDBA，CD=BA，CPDFPB，=，CD=BF，CP=PF，A为BF的中点，又PABF，PB=PF，由（1）可知，PA=CP，PA=PB，在RtPAB中，PB2=22+（PB）2，解得PB=，则PD=，BD=PB+PD=211、如图，点C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），分别以AC、BC为一腰在AB的同侧作等腰ACD和等腰BCE，CA=CD，CB=CE，ACD与BCE都是锐角且ACD=BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连

18、接PC（1）求证：ACEDCB；（2）请你判断AMC与DMP的形状有何关系并说明理由；（3）求证：APC=BPC考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质。专题：几何综合题。分析：（1）证明ACE=DCB，根据“SAS”证明全等；（2）由（1）得CAM=PDM，又AMC=DMP，所以两个三角形相似；（3）由（2）得对应边成比例，转证AMDCMP，得APC=ADC；同理，BPC=BEC在两个等腰三角形中，顶角相等，则底角相等解答：（1）证明：ACD=BCE，ACD+DCE=BCE+DCE，ACE=DCB，又CA=CD，CE=CB，ACEDCB（2）解：AMCDMP理由：ACEDCB，CAE=CDB，又AMC=DMP，AMCDMP（3）证明：分别过C作CHAE垂足为H，C作CGBD垂足为G，ACEDCBAE=BD，又全等三角形的面积相等即SACE=SDCB，所以AE和BD边上的高相等