证明极限的几种方法

1、证 明 极 限 的 几 种 方 法丹东十中 于君伟极限证明的方法有许多种，包括：极限定义、极限的性质、迫敛定理、单调有界准则、两个重要极限、洛必塔法则、泰勒公式、无穷小量、定积分定义、不动点原理、导数定义、积分中值定理、区间套定理、逆推关系及斯锋兹定理等。既然证明极限有如此多的方法，那么，我们是否对每个方法都理解得透彻呢？本文针对这一 点，列举了四种极限证明的方法：1.利用极限定义；2.利用夹逼定理；3.利用洛必塔法则；4.利用定积分定义。 一、利用极限的定义：下面是数列与函数极限定义的对照表记号 任给 当自变量变到 有关系式 结论 = a >0 n > N 当n时，x的极限为a

2、= A >0 0<< < 当x时，f(x)以A为极限= A >0 >N < 当x时，f(x)以A为极限= A >0 x >N < 当x时，f(x)以A为极限= A >0 x <-N < 当x时，f(x)以A为极限根据极限定义，我们可以知道无论是“”定义,还是“”定义，对于都有任意性，它强调或f(x)超过极限A的程度，但N与则强调的是存在性，只需找到即可，也就是能够找到某N（）或（），当n>N()或时，满足<或<即可。那么，我们通常可以把证明某个极限问题归结为三类：1直接法；2解析法；3定量法。1直接

3、法：在证明过程中除最后下结论外，中间不允许出现不等式或<。例1.用“”定义证明：=2分析：关系式比较简单，可以采用直接法。证：= = = 对,取则当0<<时，有不等式 成立。 所以， =2 2分析法：先假定 或成立，然后通过解不等式找到或N或X。例2.用“”定义证明： 分析：直接从不等式,找到N显然比较麻烦，因此，采用解析法时，应先对 适当放大。证： （n>3时） 对,要使，只要 或 取正整数N（为保证放大后的关系式成立，不妨设N3），则n>N时，有不等式成立。所以， 注意：1）.解析法的书写格式中“要使”、“只要”、“即”等字句不能省略。 2）.对只能放大，不能

4、省略。3定量法：在比较复杂的关系式不易放大时，可先设 或n>N0,这里与N0为常数，然后再放大，找到（或），取=min,或N=max。例3.用“”定义证明： 分析：关系式比较复杂，需要先适当放大，变成的形式，其中a是常数。由于极限问题是在的邻域内考虑，不妨设（也可以设等），利用不等式，便能放大。证： = 因为,不妨设，即1<x<3 于是有： 对，要使,只要,取 则当时，不等式成立。因此， 注意：1）只取，这样的不一定满足这个前提。例如：取，从就不能得出。 2）定量法可以看作是解析法的延伸。二利用夹逼定理 夹逼定理：若数列xn,yn,zn 满足：（1）ynxnzn (n=1,2

5、,3,); （2）, ,则数列xn的极限在， 且（这一准则可以推广到函数的情形，略） 根据夹逼定理，可以归结两种证明某个极限的方法：1“一边挤”2“两边挤”1“一边挤”：如果由已知看出xn >a或f(x)>a,要证明xna (n)或,f(x)a,(xx0),那么，只需找到yn >xn 或g(x)>f(x)证明 或即可。 例4.设,试证： 分析：因,则只要找到,且即可。证：因为 (这里) 而0（n）即 所以，由夹逼定理知， 2“两边挤”：有三个数列xn,yn,zn,当yn xnzn ,且 时，。 例5.设,试证： 证：因为 = = = 所以， 即 也即 由于 所以，由夹逼

6、定理，知:三利用洛比塔法则： 法则一 （“ ”型未定式的求法） 如果：（1）； （2）在a 点的邻域内（a 可除外），,存在,且0； （3）存在或为无穷大； 则：法则二（“ ”型未定式的求法）若：（1） （2），（3）同法则一； 则： 在使用法则一、法则二时应注意以下几点：（1）只有未定式“ ”和“ ”才能直接使用法则。使用法则前对求极限的函数严格判断，在连续使用过程中，亦需不断判别，若作到某步不再属于上面两类未定式，应停止使用。（2）除以上两种未定式外，还有“”、“”、“”、“”和“”型，它们不能直接使用法则。但前两类可通过四则运算转化成“ ”或“ ”型，后三类可利用对数求极限法，先化成“”

7、型。 例6.求证： 证：它属于“ ”型未定式法则一 （注：仍是“ ”型） = （注：仍是“ ”型） =（注：不再是未定式，应停止使用法则） = (注意：易犯的错误是最后一步不加判断继续使用法则)。 例7. 求证： 证：它属于“ ”型未定式。法则二 = （注：应化简再做下去）= （注：分子、分母是简单乘积关系，各有一个因式的极限值不等于零，可先计算出来，简化运算）. 原式= （注：属于“ ”型） = （注：不再是未定式，应停止使用法则） = =1 四. 利用定积分定义： 1. 形式<1>：型 如果f(x)在0,1上可积，则 = 下面给予证明： 证：在区间0,1上n-1等分,则每一个分

8、点为=, （其中1in ） 因为 所以， () 则 又因为 = f(x)在0,1上可积 由定积分定义，可知 因此，上述命题成立。 2.形式2：型 如果f(x)在0,1上可积，则： 下面给予证明： 证：在区间0，1上n-1等分，分点为 （其中1in） 因为 所以， （当时，）又因为 = = = =f(x)在0,1上可积 由定积分定义可得： 因此，上述命题得证。 既然上述两命题都为真，则以后可把它们当作定理使用，可以给我们带来方便。针对此方法的应用，略举一些例子。 例8. 证明： 证：令f(x)=x,f(x)在 0，1 上可积 应用形式一： = 有： 此题得证。 例9. 证明： 证： 令 f(x)=x,f(x)在0，1上可积应用