函数,导数不等式,推理证明

1、函数，导数，不等式，推理与证明1,已知函数八工”jJE工.（I）若直线了二丘+1与/（力的反函数的图像相切，求实数£的值；（n）设工。，讨论曲线:/（力与曲线1加（扁。）和）,则处/回公共点的个数.（田）设虐方，比较2与fi-a的大小，并说明理由.2,已知函数武力=£（I）设介o,求铝）的单调区问（n）设qQ,且对于任意工Q,穴力之加。试比较卜。与的大小123,已知函数/（=）。+ *»观耳=亚+1+ 2xcnsx2,当立口时，求证:4已知函数工）=?工.（I）求函数/（力的单调区间；（H）证明：对任意的£>0,存在唯一的s,使.加.（m）设（n）

2、中所确定的s关于t的函2*浏/数为工=虱。，证明：当Oe时，有亍hit55,已知函数 f（力二一一吨+电M,并讨论了（力的单调性；（I）设工=0是用的极值点，求（II）当丽，2时，证明阳>0.6,函数f(x)=ex,g(x)=mx+n，h(x)=f(xg(x)廿0,若则在(-1")上没有零点，求m取值范围(2)设即)=章广枪n=4m(m>0)求证:当x之0，r(x七1。7,已知函数f(x)=ex-x-m,若f(x)有两个不同零点x1,x2,求m取值范围(2)证明x1+x2<08函数f(X)=lnXmx(1)求f(x)在1，J上的最大值(2)若f(x)有两个不同零点x

3、1，x2,2求证：x1x2>e。x_x129,函数f（x）=e2xax若f（x）在R上是增函数。求a取值范围（2）如果12X1r2.八g(x)=f(x)(a2x(x>0%合好有两个不同的极值点x1，x2,证明：-2-<1n2a一2一210,函数f（X）=a（xTnx）（i）讨论函数单调性，（2）若y=f（xb（1,f（1）处的切线斜率为2,且函数g（x）=f（x）+（m-2x在（1,+好）有两个不同的极值点x1，x2证明m>lnH）【解析】（i）f的反函数g（力二八/设直线/二丘+1与g（©二h工相切与点的。丁九门则J-l£Xg + = lu&

4、; q=46)=所以（H）当"。,用0时，曲线产;（力与曲线六加保泗的公共点个数即方程，（力二能根的个数。，八丁 ,八靖（工2）则M力在（0,2）上单调递减,这时叫力£（町）,机），M力在口上单调递增,这时购皿坳=7一她是y二期极小值即最小值.所以对曲线y二阳与曲线广加（扁°）公共点的个数，讨论如下：当而£（。彳）时，有。个公共点；当m=-,有1个公共点；jh（4W）当,4,有2个公共点；加0+阳网-屈）032）刎+-q-2"电（田）设2卜-。2-公a+2）-e11+（Aa。-ii+Z）+Q醒-0-安ia220-令施二工+2+（工-曰。,则gO

5、l+Q+Em+gDJ幽的导函数g'（H）=Q+工-4/*/Q所以幽在则上单调递增，且，=0,因此式力°£任）在（Q板）上单调递增，而/0=0所以在Q向上期0。因为当工0时，式x）r+2+（工-2）/0且ah(A "+ 2)+(8 q 2)- e*-*2-(6a)所以当时,解：（I）由/（工）=Gh-ha知""一垢+"一二又於0,故当"。时，八"K若0时，由工>。得，人力（。恒成立，故函数的单调递减区间是（tiM；若占>0,令r（3<o可得无后,即函数在（Q二）（二”）上是减函数，在卜上是增

6、函数.所以函数的单调递减区间是%）,单调递增区间是匕叫当人0时，令/8=0n20?+加-1=0b/b2-Kta-J+Vfts+8d由于A=8'+8tf>0,故有“id,巧4醒显然有4<0巧故在区间一匚-上，导数小于0,函数是-b + Vi3 + ta减函数；在区间 独,招0上，导数大于0,函数是增函数综上，当。二助二0时，函数的单调递减区间是（1板）；nn（D-5（当"QJ>o时，函数的单调递减区间是J,单调递增区间是看当1>。，函数的单调递减区间是电，单调递增区间是d+V2+8ff+8a由（1）知， 匚是函数的唯一极小值点故+&i =14al

7、-4r一元3ao（II）由题意，函数f在工二1处取到最小值，整理得加十L二1一加令期二2-41+1皿贝产二.14x由的02曝“。寸，（力>。，函数单调递增；当阻*°时，刎<0,函数单调递减因为期w£）=f4<Q故g<0,ip2-4a+hfl=2A+hiff<0,即解：（I）由题意可知函数的定义域为（QO,求导数可得/*(j=2jdnr+j?-=X21nx+5/*(=。某=亍工令电当工变化时，（力力的变化情况如下表:I1忑（A）-0+阳单调递减极小值单调递增所以函数/（力的单调递减区间为单调递增区间为（II）证明：当0工41时，40设0令舱）=，

8、（力-比口地）由（I）可知，M才在区间Q4®）单调递增，她=*0,坦卜二幅2f-D>0,故存在唯一的万丘1则，使得成立;（田）证明：因为s=g©，由（n）知，t=f®,且£>1,lng（。InfIdaIsju从而h/W2his+lnlns%+lnv其中二,么!丝/。23要使5ME2成立，只需2,当时，若六则4一则由，包的单调性，有t=f®弓悯=后矛盾，所以S>2,即”1,从而h”0成立，另方面，令好1nli所0=*=2当：kii2时，F®。，当然2时，F®。，故函数F®在篮二2处取_.uU到极大值，也是最大值尸H,故有22.综上2.砌1可证：当时，有反tar5成立.解：（I）“）x+m,工二。是/（工）的极值点,/*（0）=1=0=m=lrrjn府,所以函数阳二1-蛔D，其定义域为2一高设水）"工理-1则晨力"计D+小。,所以施在（7网上为增函数，又则二0.0时，ggO,即用0；当-lr0时，M勾。/0.所以/（力在（-上为减函数；在（Q向上为增函数;（H）证明：当隔空工&-叼呵时，g+加）41nA队故只需证明当/»J1二呵/+二耳厢二2时/（力0.当隔二2时，函