概率论与数理统计练习题附答案详解

1、第一章随机事件及概率练习题、单项选择题1、设事件A与B互不相容，且 RA)>。，P(B)>0,则一定有()(A)P(A) 1P(B);(B)P(A|B) P(A);(OP(A| B)1;(D)P(A| B) 1。2、设事件A与B相互独立，且P(A) >0, P(B)>。，则()一定成立(A)P(A|B)1 P(A);(B)P(A|B)0;(C)P(A) 1P(B);(D)P(A|B)P(B)。3、设事件A与B满足P( A) >0, P(B)>。，下面条件()成立时，事件 A与B一定独立(A) P(AB) P(A)P(B);(B)P(AjB) P(A)P(B)

2、;(。P(A|B) P(B)；(D) P(A| B) P(A) o4、设事件A和B有关系B A，则下列等式中正确的是()(A)P(AB) P(A);(B)P(aJ B)P(A)；(C)P(B | A) P(B)；(D)P(B A)P(B)P(A)5、设A与B是两个概率不为0的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确的是()(A) A与B互不相容；(B) A与B相容；(C) P(AB) P(A)P(B)；(D) P(A B) P(A)o6、设A、B为两个对立事件，且 P(A)，0, RE)，0,则下面关系成立的是()(A) P(aJb) P(A) P(B)；(B) P(AJb) P(A) P(B);

3、(C) P(AB) P(A)P(B)；(D) P(AB) P(A)P(B)o7、对于任意两个事件A与B P(A B)等于()(A)P(A)P(B)(B)P(A)P(B)P(AB)；(C)P(A)P(AB)；(D)P(A)P(B)P(AB)。二、填空题1、若 A B,A C , P(A>=, P(BjC) 0.8,则 P(A BC)=。2、设 P(A)= , P(B)=, P(A B)=,则 P(B| A=, P(B | a|J B) =o3、已知 P(A) 0.7, P(A B) 0.3,则 P(而)o4、已知事件 A、B满足 P(AB) P(A B),且 P(A) p,则 P(B)=。

4、5、一批产品，其中10件正品，2件次品，任意抽取 2次，每次抽1件，抽出后不再放回，则第 2次抽出的是次品的概率为。6、设在4次独立的试验中，事件 A每次出现的概率相等，若已知事件 A至少出现1次的概率是6581 , 则A在1次试验中出现的概率为 。7、设事件A, B的概率分别为P(A) 1/3, P(B) 1/6,若A与B相互独立，则 P(a|Jb) ；若A与B互不相容，则P(AB) 。8、有10个球，其中有3个红球和7个绿球，随机地分给10个小朋友，每人1个，则最后3个分到球的小 朋友中恰有1个得到红球的概率为。9、两射手彼此独立地向同一目标射击，设甲击中的概率为，乙击中的概率为，则目标被

5、击中的概率为三、计算题1、某工厂生产的一批产品共 100个，其中有5个次品；从这批产品中任取一半来检查，求取到的次品不多 于1个的概率。2、某城市的电话号码为六位数，且第一位为6或8 ;求(1)随机抽取的一个电话号码由完全不相同的数字组成的概率；(2)随机抽取的电话号码末位数是 8的概率。3、已知 P(A) P(B) P(C) ”4,RAB)=0, P(AC) P(BC) 1/16,求 A, B, C 至少 有一个发生的概率。4、设10件产品中有4件不合格品，从中任取 2件，已知所取 2件中有一件是不合格品，求另外一件 也是不合格品的概率。5、一个工厂有一，二,三 3个车间生产同一个产品，每个

6、车间的产量占总产量的45%, 35% 20%,如果每个车间成品中的次品率分别为 5%, 4% 2%,从全厂产品中任意抽取 1个产品，求取出是次品的概率；从全厂产品如果抽出的 1个恰好是次品，求这个产品由一车间生产的概率。6、有两箱同类零件，第一箱装 50只(其中一等品10只)，第二箱装30只(其中一等品18只)；今从 两箱中任挑一箱，然后从该箱中依次不放回地取零件两次，每次一只；已知第一次取到的是一等品，求第二次取到的也是一等品的概率。EP-|0.70 CATcCH0.900.707、右边是一个串并联电路小意图，A、B、C都是电路中的元件，它们下方的数是它们各自独立 正常工作的概率(可靠性)，

7、求电路的可靠性。四、证明：若P(B | A) P(B | A),则事件A与B相互独立第二、三章随机变量及其分布练习题、单项选择题1、设离散型随机变量 X的分布列为X012PF(x)为X的分布函数， 则F(1.5)=()(A) 0；(B) ;(C) ;(D) 12.如下四个函数中,哪一个不能作为随机变量X的分布函数(A) F(x)0,x 0,1/3, 0 x 11/2, 1 x 21,x 20, x 0, F(x) in(1 x) ,x 01 x0, x 0,1 2(C) F(x) -x2, 0x2;41, x 2(D)F(x)0, x 0,1 ex, x 03、当常数b=()时，Pkk(k 1

8、)(kMID为某一离散型随机变量的概率分布(A)2;(B) 1;(C) 1/2 ;(D)34、设随机变量X的分布函数为FX(x),则随机变量Y 2X 1的分布函数FY(y)是()y1 ,、(B) F(- 1)；(C) 2F(y) 1；(D) F(y)22b N (0,1),则 a,b应取(5、设随机变量X N (a,a2),且Y aX(A) a 2,b2；(B)a 2,b1 ；(。a 1,b1 ；(D)a 1,b 16、设某一连续型随机变量 X的概率密度f(x)在区间 a,b上等于sin x ,而在此区间外等于 0,则区叫2力为( )(A) 0, /2；(B)0, ；(C)/2,0；(D)0,

9、3 /2。2、7、设随机变量X N (,)，则随的增大，则P| X |()(A)单调增加； (B)单调减少；(。保持不变； (D)增减不定。8、设两个随机变量X与丫相互独立且同分布，PX 1 PY 1 1/2,PX 1 PY 1 1/2,则下列式子成立的是()(A) PX Y 1/2；(B)PX Y 1；(C) PX Y 0 1/4；(D)PXY 1 1/4。9、设随机变量x与丫相互独立，它们的分布函数分别为Fx (x), Fy (y),则Z min( X ,Y)的分布函数为(A) Fz(z)Fx(z)(B) Fz(z) Fy(z)；(C) Fz(z)min Fx(z),Fy(z)(D)Fz(

10、z) 1 1 Fx(z)1Fy(z)。二、填空题0, X1,1、设离散型随机变量X的分布函数f(x)a, 13a,11,且 PX 2 1/2,X 2,a b, x2, X的分布列为b2、设随机变量X的分布函数F(X)a -, x 1, X0, X 1,二，P1 X 2,X的概率密度f (x) =_3、将一颗均匀骰子重复独立地掷 10次，设X表示3点朝上的次数，则X ,X的概率分布为 一4x3.0 x 1. 一 一 一一 4、设随机变量X的概率密度为f(x) ,iM!PX a PX a成立的常数0,其它，5、某一时期在纽约股票交易所登记的全部公司股东所持有的股票利润率服从正态分布，期望值为,且具

11、有的标准差，这些公司股东所持有的股票利润率在15 - %之间的概率为6、21.设X N (,),其概率密度f (x) 公厂exp2(X 3)27、(X, Y)的分布律为X的分布律为PX Y时，X与丫相互独立。8、设随机变量X与丫相互独立，且 X 丫的分布律分别为X-3-21P1/41/41/2则X与丫的联合分布律为Y123P2/51/52/5Z=X+Y的分布律为9、设 D 由 y = 1/ x , y=0, x = 1, x =e2 围成，(X, Y)在D上服从均匀分布,则(X, Y)的概率密度为10、若X与丫独立，而XN( 1,212),丫 N( 2,2、 一2 ),则X +Y11、X与y相

12、互独立，且 XU (- 1, 1),Y e (1)即 fY ( y)e y, y 0,0, y 0,则X与丫的联合概率密度f (x, y)1, X0, X丫，的分布为Y,三、计算题1、3个不同的球,随机地投入编号为 1,2, 3, 4的四个盒子中，X表示有球盒子的最小号码，求 X的分布律。2、某产品表面的疵点数服从泊松分布，规定没有疵点为特等品,1个为一等品，2至4个为二等品，4个以上为废品，经检测特等品的概率为，则试求产品的废品率。一，、 , x | 1,3、设随机变量X的概率密度为f(x)V1 x20,其它.试求(1) A ; (2) P| X | 1/2; (3)X的分布函数F( x)。

13、4、设某人造卫星偏离预定轨道的距离(米)服从0,4的正态分布，观测者把偏离值超过 10米时称作“失败”，使求5次独立观测中至少有2次“失败”的概率。5、设X的分布列为:X-21/2024P11111848636、设随机变量 X1与X2独立同分布,1且已知 P(Xi k) -,(k 1,2,3;i 31,2),记随机变量求：(1) X+2;(2) -X+ 1;(3) X2 的分布列Y1 maxX1,X2，工 minX1,X2求(1)(Y,Y2) 的联合分布列；(2)判断 丫1 与 Y2 是否互相独立;(3)求 P(Y Y2 3), P(Y y2)7、设(X, Y)的概率密度为f (x, y)2x

14、 ax y , 0 x 1, 0 y 2,0,其它，试求(1) a; (2) PX Y 1 ； (3) X与丫是否相互独立28、已知(X ,Y)的联合概率密度为 f (x, y)4x , 0 x 1, 0 y x ,0,其它，(D求关于X和Y的边缘概率密度fX(x), fY(y)；(2)判断X与Y是否相互独立；(3)求PX 1/2 ; PX 1/ 2,Y 1/ 29、设随机变量X的概率密度为1,0 x 1f(x)0,其它求函数Y= 3X+1的概率密度。第四、五章随机变量的数字特征与中心极限定理练习题一、单项选择题1、设 X Rn, p),且 R X ) = , D( X )=, 则()(A)

15、n 4, p 0.6 ；(B)n 6, p 0.4 ；(C)n 8, p 0.3 ；(D)n 24, p 0.1。2、设随机变量X与Y满足E(XY) E(X)E(Y)，则()(A) D(XY) D(X)D(Y)；(B)D(X Y) D(X) D(Y)；(C) X与丫独立；(D) X与Y不独立。3、随机变量X服从区间(a,b)上均匀分布，E(X) 1,D(X) 1/3,则区间 口，3为()(A) (0,1);(B) ( 1,3);(C) (0,2);(D) (0.5,1.5)。4、设 Xi 与 X2 为两个随机变量，且 D(Xi) 5,D(X2) 8,D(Xi X2) 10 ,则 cov(Xi,

16、X2) = ()(A) 3/2;(B) 3/2；(C) 3;(D) 3。5、设随机变量X与丫独立同分布，记U X Y,V X Y ,则U与必()(A)独立；(B)不独立；(C)不相关；(D)相关系数不为零。2 1(X 1)225、设X的概率箱度f(x) =exp ,则E(2X 1)()2、28(A)1;(B) 6;(Q 4;(D)9。二、填空题1、设随机变量X1，X2，X3相互独立，且都服从N( , 2),而Y (X1 X2 X3”3,则Y_ , 1 2Y 。2、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且E( X 1)( X- 2) = 1 ,则 。3、设X与丫相互独立，且 X U (0,2),Y

17、U(2,4),则 E(XY) 一 D(X Y) 。4、设X服从均值为1/2的指数分布，则 PX JD(X) 。5、若随机变量X服从区间(一,一)上的均匀分布，则E(sinX)=。 4 46、一枚硬币连抛1000次，则正面向上的次数大于等于 550的概率为 o7、已知 D(X) 25, D(Y) 36, (X,Y) 0.4 ,则 D(X Y)=。8、设X与丫的相关系数 XY 0.9,若Z X 0.4,则丫与Z的相关系数为 。229、设 E(X) E(Y) 0, E(X2) E(Y2)1,X22, XY 0.5,则 E(X Y)20,0,则 D(Y)1,X0,11、( X, Y)的分布律为Y、X、

18、01211/101/207/2023/101/101/10则 E(X)，E(Y)，E(XY)三、计算及证明题1、某保险公司规定：如一年中顾客的投保事件A发生，则赔a元；经统计一年中A发生的概率为p,若公司期望得到收益的为 a/10 ,则要求顾客交多少保险费ax, 0 x2,2、设X的概率密度为f(x)bx c, 2 x0,其它.4,3、4、5、日 X=2, P1< X < 3= 3/4,求(1)a、b、c(2)E(eX)。设(X,Y)在以(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求x y , 0 x 1,设(X, Y)的概率密度为f (x y)0,其它，

19、飞机在第一次飞行后必须进行检修的概率是，在以后的两次飞行中,0 y 1,D(X Y)。试求XY 0每一次飞行后其被检修的概率各增加，求三次飞行后修理次数的数学期望。数理统计练习题一、单项选择题1、设总体X N(未知，而已知，(X ,X，X )为一样本,10、设随机变量 X U( 1,2) , Y 0, Xn(Xi1)2,则以下样本的函数为统计量的是_1 nX - Xin i 1,“、 1n2,6 1n2 ,e X小、X1 (Xi )2；-(Xi X)2； (O =；(D)-=。i ii in. S n2X4 Xc2、X N(0,) , (X1, X2,X3,X4)为样本，则统计量 12服从的分

20、布为()X2 X：2 .一(A) N(0,1)；(B)(2)；(0 t(2)；(D) F (2,2)。3、设随机变量X N (0,1),而u 满足PX u ，若PX x ，则x ()(D)U(1)/2 °(A)u ；2 ；(B)u1 ,2, (0 u1 2设总体X的二阶矩存在(X1,X2,|,Xn)为一样本，Xi1 n一(Xin i 1-22.X)，则E(X )的矩估计为(A) X ；S2；n(C)n(D)二、填空题1、设总体XN( , 2),X ,X2为一样本，则XiXS2 nX(Xii 1)2 1 n-(Xii 1X )2 2、设总体X M N(1,4) , (X1，X2,X3)

21、为样本，X是样本均值，S2为样本方差，则E(X) ， D(X) ， E(S2) 2X 23、设息体X N ( ,) , ( x , X，Xn)为一样本，X是样本均值。则U n()2服从的分布为。4、设X 1N(0,4) , (X1，X2,X3)为样本，若要求aX； b(X2 Xs)21 2(2),则 a=, b =。5、设总体X在(，1)上服从均匀分布，(X1，X2,|, Xn)为一样本，则的矩估计为三、计算题1、设总体 X N (1,4) , Xi,X2,X3 是 X 的样本,试求 E(x2x2x2), D(X1X2X3)。2、设总体X服从方差为4的正态分布，(X1,X2JH，Xn)是一样本

22、，求n使样本均值与总体均值之 差的绝对值不超过的概率不小于。_1 n3、设总体X N (4,4) , (X1,X 2,|, *10)为X的简单随机样本，X - Xi为样本均值,n i 1(Xi X )2为样本方差, 1(1)求 PS2.908; (2)若 S 2.5，求 PX 6.5694、设总体X的概率密度f(X,)X ,0x1,/什(Xi,X2, , Xn)为一样本，试求的0,其它."I矩估计章练习题参考解答一、单项选择题1、(D)。2、(A)o 3、(B)。4、(B)o5、( D)。6、(A)。7、(C)。二、填空题1、2、2/3 ,3、4、1- p 5、1/66、1/37、1

23、3/181/28、C3C2/C13)21/40。9、三、计算题1、解：pC50C1C49C95C5c95C°C100173996032、解：令A=抽取的电话号码由完全不相同的数字组成 ,2 1042 105田抽取的电话号码末位数是8,则p(a) P(B)2 1053、解：P(A Jb UC) P(A) P(B) P(c) P(AB) P(BC) P(AC) P(ABC ) 5/84、解：令A= 2件中有1件为次品, B=另一件也为次品,欲求P(B|A),2c 2而 P(AB) C4T, P(A) 1 P(A) 1 -2，故 P(B|A) (一) Ci2oC2oP(A) 55、解：设A

24、=任取一件产品为次品, B =任取一件产品是第i个车间生产的, i =1,2,3 , 则 A B1A Ub2a|Jb3 A ,且 B1A,B2A, B3A 两两互不相容；已知 P(B1)0.45, P(B2) 0.35,P(B3) 0.20,P(A|B1) 0.05, P(A|B2) 0.04,P(A|B3) 0.02； P(A) P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2) P(B3)P(A|B3) 0.0405 P(B1 | A)P(BA)P(A)P(B1)P(A|B1)5P(A) 96、解：设A = 第i次取到一等品, B = 取到第i号箱, i =1,2,A B1A1 B2A1,

25、且B A, B2 A 两两互不相容，从而1 10 1 18 2P(A) P(B1)P(A1 IB1) P(B2)P(A|B2)2 50 2 30 5A1A2 B1A1A2 IJB2A1A2,且 B1A1A2,B2A1A2 两两互不相容，从而1 A101 A18P(A2) P(B1)P(AA2|B1) P(B2)P(A1A2|B2) - -20 28 2 A202 A202761421所求为P(A2 |A1)P(AA)P(AJ69014210.48567、解：以A B C分别表示元件A 、 B、C正常工作之事，由于各元件独立工作，故 A BC相互独立,且 P(A) 0.90, P(B) 0.70

26、, P(C) 0.70,所求为 P(AB|J AC) P(AB) P(AC) P(ABC )P(A)P(B) P(A)P(C) P(A)P(B)P(C) 0.819。皿 丁 P(BA) P(B) P(AB)P(AB)四、证：P(B | A) ,P(B | A) 乙P(A) 1 P(A)P(A)代入 P(B | A) P(B |A)得 P(AB) P(A)P(B),故 A与 B相互独立。、单项选择题1、( C) 2、(B)二、填空题1、 a2、a随机变量及其分布练习题参考答案3、（B） 4、（A）5、（C）6、（A）7、（。8、（A）9、（。1/6 , b 5/6 , X 的分布为X112P1/

27、62/61/2i, b工，P 1 X 2 3/4 , X的概率密度f (x)=马,x 1, x0, x 1.3、X B(10, 1/6), X的概率分布为 PXk 1 k /5 10 kkCio(-) (-), k 0,1,10.664、a1/4/2 。5、(2.28)(1.5)0.0555。6、3, 我。7、X的分布律为X123P1/2a+1/9b+1/18丫的分布律为丫12P1/3a+b+1/31PX Y a -; 当 a = 2/9 , b = 1/9 时、X 与丫 相互独立8、X与丫的联合分布律为X-3-2111/101/101/521/201/201/1031/101/101/5Z=

28、X+Y的分布律为Z-21012P1/103/207/201/51/510、N( 12, 2 分。1.2 c 1,1 x e , 0 y 一9、f(x,y) 2x0,其它.e 1 x 1 y 011、 f(x,y) 2e , y , z 的分布为0,其它.Z01P1- 1/2e1/2e三、计算题X1234P(4333)/43(3323)/43(231)/431431、解：X的分布律为)，分布律为PX2、解：令疵点数为X , X (,k 0,1,",kk ek!ln0.44930.8,所求为4PX 4 1 PXk 04 0.8k k 1 0.4493k 0 k!0.00913、解：(1)

29、由归一性得f (x)dxAarcsin令A 1,所以A 1/ P| X | 1/21/ 21/211/2f(x)dx 1/24 x2 dx 1/3。x F(x) f (t)dx0, x 1,x 11 dx - arcsin x, 1 x 1.1 M t2,1, x 1.已知 PX 0 0.4493，故e 0.4493 ,4、解：设某人造卫星偏离预定轨道的距离为头5次独立观测中“失败”的次数为 丫,2、则X N (0,4 ),每次观测“失败”的概率为P|X| 10 1 P |X/4| 2.52 2 (2.5)=,由此得Y B(5,0.0124),所求概率为X201/4416P1/81/47/24

30、1/36、12311/90022/91/9032/92/91/9(2)两个边缘分布列为Y123P1/91/35/9Y123因为P(Y1(3) P(Y1P(Yi7、解：(1)PXP5/91/31/91)P(Y2 1)5811LL，一，一P(Y1 1,Y21),所以Y1与Y2不独立。9Y2 3)P(Yi1,Y2Y2) P(X由归一性得f (x, y)dxdy1dx01)20(1)P(Yi 1,丫22) P(Yi 2,Y21)1/3；P(Y12,丫22) P(K3,Y2 3) 1/3。1fx(x)fY(y)2 x axy)dy(2x22ax)dx令a 1,f (x, y)dxdy1f (x, y)d

31、yf (x,y)dxf (x, y)的非零区域内f(x,y)8、 fX(x)f (x, y)dy(x20,其它.(x20,其它.fY(y)f(x, y)dx(2)在 f (x, y)10dxI。2等)dy36572x yV)dy3x y)dx3fx(x)fY(y),故2x0 4xdy0,1-4xdx 2y0,2x4x3, 02x丁°x 1,x 1,其它.2y, 0y 1,其它.2,的非零区域内f (x, y) fX(x)fY(y),故X与Y不独立。(3)PX 1/21x2f(x,y)dxdy1/2dx 0 4xdyx 1/21516PX 1/2,Y1/21f (x,y)dxdy 1/

32、 2dx1/21/2x24xdy1/ 21/4。8/证明:的分布函为0,1,FY(y)P(Y y)P3X、y 1y px 七-dxy31,1,14,4.fY(y)FY(y)1/3, 14,0, 其他.随机变量的数字特征与中心极限定理复习自测题解答一、单项选择题1、（B）。2、（B）。4、（B）。5、（C）o6、（D）。二、填空题1、N( , 2/3)N(1 2 , 4 2/3)。2、13、3 ,2/34、12 2e 2xdx5、 06、1(V10)0,0007 o7、37。8、10、E(Y2) E(Y)2 1 (1/3)2 8/9。11、21/201/2 3/20三、计算及证明题1、解：设保险

33、费为x元，收益丫元，则丫x, A发生，a, A不发生丫的分布律为故 E(Y)2、解：（1）而 E(X)Yxx-aP1-ppXa令a ix ap ，求信x ap10由归一性得f (x)dx102ax dx042 (bxc)dx2a 6b令2c 1;2xf (x)d x 0 x ax dx2 x(bx c)d x 56 b令6c 2 ；8a3P1 X 3f (x)dx 1 axdx32 (bx c)dx3a 5b 令 3万万c 4 '4,c 1(2) E(eX)x2 x x 4 x x 14121e f (x)dx e dx e (1 )dx =-e e 一。04244243、解：（X, Y）的概率密度为 f（x,y）2, 0 x 1,