复化抛物线积分公式

1、求函数在给定区间上的定积分，在微积分学中已给出了许多计算方法，但是，在实际问题计算中，往往仅给出函数在一些离散点的值，它的解析表达式没有明显的给出，或者，虽然给出解析表达式，但却很难求得其原函数。这时我们可以通过数值方法求出函数积分的近似值。在用近似值代替真实值时，遇到的问题就是近似值的代数精度是否足够。当代数精度不足够时，很显然提高插值函数的次数是一种方法，但是考虑到数值计算的稳定性，当次数过高时，会出现龙格现象，用增大n的方法来提高数值积代数精度是不可取的。因此，提出类似于分段插值，为了减少数值积分的误差，可以把积分区间分成若干个小区问，在每个小区间上采用低阶数值积分公式，然后把这些小区间

2、上的数值积分结果加起来作为函数在整个区间上的近似值，这个就是复化数值积分的思想。本实验针对在每个小区间上利用抛物线积分公式，即阶数为2,进行实验。关键词：龙格现象复化数值积分代数精度复化抛物线积分公式1、实验目的1）通过本次实验体会并学习复化抛物线积分公式的优点。2）通过对复化抛物线积分公式进行编程实现，提高自己的编程能力。3）用实验报告的形式展现，提高自己在写论文方面的能力。2、算法流程已知定积分的抛物线积分公式及其误差为?-?+?/?(?)?-?(?)+4?(-)+?(?)?62（?-?）5八?2?=-2880?4（?），?C（?,?）根据数学知识，我们知道积分区间可划分，且不改变积分值，

3、即如下所示:?CC?(?)?=er?(?)?J/JIuaa?=1?-1针对上式，在每一个小区间上利用抛物线积分公式有/?(?)?=?(?k-1)+4?(?1)+?(?k)-T?4(?)?-16-22880得到?”?(?)?=er?(?)?J/JIya?=1?-1?5?=£至?(?k-1)+4?(?1)+?(?k)-?4(?)6,o2880?=12?=1,_1.1.其中？?-1/2=2(?k-1+?k)=a+(k-2)?,令?(?)+ 4= ?(? 6?= 1?- 11 ) + 2 E ?(?) + ?(?)2 ?= 1?=E百?(?-1)+?(?)+?(?-1/2)?=1当？?作为积

4、分的近似值时，其误差为(?-?)5一?n?=刖？?4(?)2880(?-?)?4?(？1)+?(4)(?2)+?+?(4)(?)=-2880?若？?(？?)e?4?,?,则由介值定理推得?n?=-(?- ?)42880?4(?),? C (?,?)设？?4=?<?ma(i?4(?)i,得到误差限(?- ?)?4I?n?| = - |?4(?)|2880由上式可以进行计算精度控制。这样就给出了 _4 5(? - ?)?(?- ?)5”02880"4 = 2880?4 ?4n+1点复化抛物线积分公式及其误差?- 1+ 2 E ?(?) + ?(?)?= 14z?1 + ?299?(

5、?)?=k?(?)+4二？(？01)?6?=1?-2,、4,、5一一(？-?)?一(？-?)5一一/?2?=-2880?4(?)=-2880?4?4(?),?e(?,?)3、算法实例用复化抛物线积分公式计算积分解：具体程序如下：#include""#include<>#include<iostream>usingnamespacestd;constintnum(1000);voidmain()doublea=0;doubleb=0;doubleh=0;intn=0;inti=0;doubleSn=0;doubleF1=0;doubleF2=0;dou

6、blexnum=0;doubleynum=0;cout<<"请输入积分上下限和等分数的一半"<<endl;cout<<"请输入积分下限a="cin>>a;cout<<"请输入积分上限b="cin>>b;cout<<"请输入等分数的一半n="cin>>n;h=(b-a)/(2*n);for(i=0;i<2*n+1;i+)xi=a+h*i;yi=4/(1+xi*xi);for(i=1;i<2*n;i+=2)F1=F1+4*yi;for(i=2;i<2*n;i+=2)F2=F2+2*yi;Sn=h/3*(y0+y2*n+F1+F2);cout<<"积分结果为：Sn="<<Sn<<endl;运行结果：4、对结果进行分析通过用编程实现对上例的求解