一元二次方程根的判别式

1、元二次方程根的判别式国M归 中考要求知识点A要求B要求C要求一元二次方程了解一元二次方程的概念,会将 一元二次方程化为一般形式,并 指出各项系数；了解一元二次方 程的根的意义能由一元二次方程的概 念确定二次项系数中所 含字母的取值范围；会由 方程的根求方程中待定 系数的值一元二次方程 的解法理解配方法,会用直接开平方 法、配方法、公式法、因式分解 法解简单的数字系数的一元二 次方程,理解各种解法的依据能选择恰当的方法解一 元二次方程；会用方程的 根的判别式判别方程根 的情况能利用根的判别式说明含有字母系数的一元二次 方程根的情况及由方程根的情况确定方程中待定 系数的取值范围；会用配方法对代数式

2、做简单的 变形；会应用一元二次方程解决简单的实际问题眈磔 知识点睛元二次方程根的判别式的定义2运用配方法解一元二次方程过程中得到(x+且) b4=0之万程ax +bx+c =0(a #0)有两个相等的实数根 xi=x2=-.2aA <0u 方程ax2 +bx +c =0(a #0)没有实数根.假设a, b, c为有理数,且为完全平方式,那么方程的解为有理根；假设为完全平方式,同时 f - Jb2 4ac是2a的整数倍,那么方程的根为整数根.说明：用判别式去判定方程的根时,要先求出判别式的值：上述判定方法也可以反过来使用,当方程有 =b _4ac ,显然只有当b24ac至0时,才能直接开平

3、 2a 4a方得:2a4a2也就是说,一元二次方程ax2 +bx +c =0(a #0)只有当系数c满足条件A=b2 -4ac>0时才有实数根.这里b2 -4ac叫做一元二次方程根的判别式.、判别式与根的关系在实数范围内,一元二次方程ax2+bx+c=0(a#0)的根由其系数a、b、c确定,它的根的情况(是否有实数根)由A=b2 -4ac确定.设一元二次方程为 ax2+bx+c=0(a #0),其根的判别式为：A=b2 4ac那么2 -bb2 -4ac色.仁万程ax +bx+c =0(a #0)有两个不相等的实数根 xi,2 = .2a两个不相等的实数根时,4>0 ;有两个相等的实

4、数根时,4=0;没有实数根时,A<0.在解一元二次方程时,一般情况下,首先要运用根的判别式A=b24ac判定方程的根的情况 有两个2不相等的实数根,有两个相等的实数根,无实数根.当A=b 4ac=0时,方程有两个相等的实数根二重根,不能说方程只有一个根.当a >0时u抛物线开口向上 u顶点为其最低点；当a <0时0抛物线开口向下 u顶点为其最高点.三、一元二次方程的根的判别式的应用一元二次方程的根的判别式在以下方面有着广泛的应用：运用判别式,判定方程实数根的个数；利用判别式建立等式、不等式,求方程中参数值或取值范围；通过判别式,证实与方程相关的代数问题；4借助判别式,运用一元

5、二次方程必定有解的代数模型,解几何存在性问题,最值问题.月用昨例题精讲_ 2_、22x +3x4=0； ax +bx=0 (a/0)一、一元二次方程实数根个数的判定【例1】 不解方程,判断以下方程的根的情况：【例2】 不解方程,判别一元二次方程2x2 -6x=1的根的情况是A .有两个不相等的实数根B.没有实数根C.有两个相等的实数根D.无法确定【例3】 a , b , c是不全为0的3个实数,那么关于x的一元二次方程x2+a+b+cx十a2十b2+c2 =0 的根的情况.A .有2个负根B.有2个正根C.有2个异号的实根D.无实根【例4】 a, b, c为正数,假设二次方程的情况是A.有两个

6、不相等的正实数根C.有两个不相等的负实数根2ax +bx+c=0有两个实数根,那么万程B.有两个异号的实数根D.不一定有实数根2 222a x +bx + c =0 的根).【例5】 假设方程m+2x2 2m+lx+m =0只有一个实数根,那么方程m+lx22mx+ m-2 = 0 A .没有实数根B.有2个不同的实数根C.有2个相等的实数根D.实数根的个数不能确定例6 ：方程mx2【例14当m为何值时,关于x的方程(m -4)x +2(m+1)x+1 =0有实根.【例15】k为何值时,方程(k -1)x2 (2k +3)x+(k +3) =0有实数根.【例16】当a、b为何值时,方程 x2

7、+2(1+a)x +3a2 +4ab +4b2 +2 =0有实根？【例17a>0, ba+c,判断关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况,并给出必要的说明.【例18】如果方程(m+2 * 2(m+1 )x+m =0 ,只有一个实数根,那么方程(m+1 )x22mx+m-2 = 0( ).A.没有实数根B.有2个不同的实数根C.有2个相等的实数根D.实数根的个数不能确定【例19假设二次方程x2 +2px+2q =0有实根,其中p , q为奇数,证实：此方程的两个根都是无理数.2【例20是否存在质数p,q,使得关于x的一兀一次万程px -qx + p =0有有理数根？ _2 (m+2 A

8、+m+5 =0没有实数根,且m05,求证：(m 5 jx2 2(m + 2 jx + m = 0有 两个实数根.【例7 对任意实数m ,求证：关于x的方程(m2+1)x2-2mx+m2+4 =0无实数根.【例8 求证：关于x的一元二次方程x2 一(2 +m)x+1+m =0有两个实数根.【例9】 设方程x2+ax =4只有3个不相等的实数根,求 a的取值和相应的3个根.【例10】实数a、b、c、r、 p满足pr>2, pc _2b+ra =0 ,求证：一元二次方程 ax2+2bc + c=0必 有实根.【例11】关于x的方程(n 1)x2 +mx+1 =0有两个相等的实数根.求证：关于y

9、的一元二次方程 m2y2 -4my -m2 +4n =0必有两个相等的实数根.【例12】关于x的二次方程x2 + PiX+例=0与x2 + p2x+q2 =0 ,求证：当PiP2 = 2(q1+q?)时,这两个方 程中至少有一个方程有实数.【例13】设a、b、c为互不相等的非零实数,求证：三个方程2ax +2bx +c =0 , .2 bx 2cx a =0,2cx 2ax b =0,不可能都有2个相等的实数根.二、一元二次方程中字母参数确实定【例21】k的何值时？关于x的一元二次方程x2 4x+k5 = 0 :有两个不相等的实数根；有两个相等的 实数根；没有实数根.【例22】m为给定的有理数

10、,k为何值时,方程x2十4(1 一m A +3m2 -2m+4k =0的根为有理数？【例23 方程m2x2+(2m+1)x+1 =0有实数根,求 m的范围.【例24】关于x的方程(a6* 8x+6=0有实数根,那么整数 a的最大值是 .【例25 假设方程x2+2(a+1)x+a2+4a -5 =0有实数根,求：正整数 a .【例26 当a、b为何值时,方程 x2+2(1+a )x+3a2+4ab+4b2+2 = 0有实根？例27 k为何值时,方程(k 1)x2 (2k+3)x+(k+3) =0有实数根.【例28】关于x的方程x2 -(a+b)x-,b2-2b+1 )=0有两个相等的实数根,且

11、a、b为实数,那么3a +2b _.【例29】关于x的一元二次方程(1 -2k)x2 -2VkFx-1 =0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.【例30如果关于x的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是()A. k <1 B. k#0C. k<1 且 k¥0 D . k>1【例31】关于x的方程x2+24x+1 =0有两个不相等的实数根,那么 k的取值范围为 .【例32】关于x的一元二次方程x2-Gmx-m=0有两个不相等的实数根,求m的取值范围.【例33假设关于x的一元二次方程kx2 -2x -1 =0有两个不相等的实数根,那么

12、k的取值范是 .【例34】如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根,那么 k的取值范围 是.【例35关于x的方程x2 +2(m+1)x+m2+5=0有两个不相等的实数根,化简：|1 -m | . m2 -4m 4【例36当a在什么范围内取值,方程 x2 -5x =2有且只有两相异实根？【例37】一元二次方程x2(4k2)x+4k2=0有两个不相等的实数根.那么k的最大整数值为 【例38】关于x的方程k2x2+(2k 1)x+1=0有两个不相等的实数根 x1,x2.求k的取值范围；是否存在实数 k,使方程的两实数根互为相反数？如果存在,求出 k的值；如果不存在

13、,请说明理 由.【例39】关于x的方程(m2-m)x2 -2mx+1 =0有两个不相等的实数根.求m的取值范围；2假设m为整数,且m<3, a是上述方程的一个根,求代数式2a2-3a-/1+3的值.4【例40】使得关于x的一元二次方程2x(kx -4) -x2 +6 =0无实数根的最小整数k ()A . -1 B . 2C. 3 D. 4【例41】：m、n为整数,关于x的二次方程x2+(7 m)x+3+n =0有两个不相等的实数解,x2 +(4+m)x+n+6 =0有两个相等的实数根,x2 _(m-4)x+n+1 =0没有实数根,求 m、n的值.【例42假设关于x的方程x2 +2px q

14、 =0和x2 2qx + p =0都没有实数根(p、q是实数),问式子§ +"p是p q否总有意义,说明理由.问p+q是否可以是整数, 假设可以,当p+q为整数时,求卫士pq+91幽q p的值；假设p+q不可以为整数,说明理由.【例43】b24ac是一元二次方程 ax2 +bx+c =0(a #0 )的一个实数根,那么 ab的取值范围为().1 1-11A . ab > -B. ab < -C. ab > -D. ab < -8 844三、一元二次方程与三角形三边关系的综合【例44】三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程x2 -12x + 35=0

15、的根,那么该三角形的周长为 .【例45】方程x2 -9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰,那么这个三角形的周长为【例46】a, 3是直角三角形的两边,第三边的长满足方程x29x+20 = 0,那么a的值为 这样的直角三角形有 个.【例47】MBC的三边a,b,c满足：b+c = 8, bc =a2 12a+52 ,试确定4ABC的形状.【例48】如果一直角三角形的三边长分别为a、b、c, /B=90：1,那么,关于x的方程22a(x -1)-2cx+b(x+1)=0的根的情况是()A.有两个相等的实数根B .有两个不相等的实数根C.没有实数根D .无法确定【例49】a、b、c分别是三角形

16、的三边,那么方程 (a+b/2+2cx+(a+b )=0的根的情况是()A.没有实数根B.可能有且只有一个实数根C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根【例50】：a、b、c分别是 MBC的三边长,求证：方程 b2x2+(b2+c2-a2)x+c2 =0没有实数根.【例51在等腰 MBC中,/A、/B、/C的对边分别为 a、b、c,a=3, b和c是关于x的方程21x +mx+2m=0的两个实数根,求 9BC的周长.2【例52】：a、 b、 c分别是 MBC的三边长,当m>0时,关于x的一元二次方程 c(x2 +m)+b(x2m)-22赤 =0有两个相等的实数根,求证：AABC是直角三角形.【例53】关于x的一元二次方程(a+c)x2+bx+匕 =0有两个相等的实数根,那么以a, b, c为三边的三角形的形状是.【例54】a、b、c是AABC的三边的长,且方程 x2+2(bc)x+ (ab)(c a) =0有两个相等的实数根, 试判断这个三角形的形状.【例55】a、b、c是MBC的三边,其中a =1, c = 4,且关于x的方程x2 4x+b =0有两个相等的实 数根,试判断 MBC的形状.【例56】如果关于x的方程(x+ajx+b j+(x+bjx+cj+(x+cj