空间向量与空间角练习题

1、精品文档课时作业(二十)学业水平层次一、选择题1.若异面直线11的方向向量与丨2的方向向量的夹角为150则11与12所成的角为()A.30B. 150C. 30或150D.以上均不对【解析】I1与12所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且(n异面直线所成角的范围为0, 2.应选A.【答案】A2.已知A(0,1,1),B(2, -1,0),Q3,5,7),Q1,2,4)，则直线AB与直线CD所成角的余弦值为()A晅66B.5_2266C.5穿22D.5_2222【解析】AB=(2, -2,-1),CD=(2,-3,-3),宀宀ABCD55屆二cosAB CD=-=-=F，T T3“2266 I

2、ABICD【答案】A3.正方形ABC所在平面外一点P, PAL平面ABCD若PA= AB直线AB CD所成角的余弦值为5亠22661欢迎下载精品文档则平面PAB与平面PCD勺夹角为()A.30 B.45C.60 D.90【解【解析】 如图所示，建立空间直角坐标系，设PA= AB=1.则A(0,0,0)，Q0,1,0)，R0,0,1).于是AX (0,1,0)取PD中点为E,(11、则Eg 2，2，T1 /. AE= 0 C，2，2 /易知AD是平面PAB勺法向量，AE是平面PCD勺法向量，.cosAD平面PAB与平面PCD勺夹角为45【答案】B4.（2014陕西师大附中高二检测）如图3-2-2

3、9，在空间直角坐标系Dxyz中，四棱柱ABCABCD为长方体，AA=AB=2AD点E、F分别为CD、AB的中点，则二面角B-ABE的余弦值为（）AE_22，2欢迎下载图3-2-29A-33B-23【解【解析】 设AD=1,则A(1,0,2),B(1,2,0)，因为E、F分别为CD、AB的中点，所以E(0,1,2) ,F(1,1,1)，所以AE=(-1,1,0),AB=(0,2, -2)，设m(x,y,z)是平面ABE的法向量，贝 S=z=1,所以平面ABE的一个法向量为m= (1,1,1)，又DAL平面ABB,所以DA=(1,0,0)是平面ABB的一个法向量，所以cosm DAm DA1- 3

4、= 3=3，又二面角B-ABE为锐二面角，所以二面角imiDA【答案】C二、填空题5.棱长为1的正方体ABC6BCD中，M N分别为AB、BB的 中点，则异面直线AM与CN所成角的余弦值是 _ .【解析】 依题意，建立如图所示的坐标系，则A(1,0,0),(1、(nM1, 2, 1 , qo,1,0) ,N1, 1, 2,精品文档AE m=0,AB m=0,所以!-x+戸0，|2y-2z=0,y=x,所以y,取x=1,则yB-ABE的余弦值为故选C.3欢迎下载精品文档T1TnAM=0, 2, 1i2,CN=1, 0, 2 ,i2丿21T T2 cosAM CN =J5=5,2 2故异面直线AM

5、与CN所成角的余弦值为_.5【答案】256.(2014临沂高二检测)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(1,2,0)、B(2,1,6)，则向量AB与平面xOz的法向量的夹角的正弦值为_.【解【解析】设平面xOz的法向量为n=(0,t,0)(t工0) ,AB- (1,3,=-nAT-=43t|，因为 n，AB0,n,In|ABI 答案】-477.已知点E, F分别在正方体ABCDABCD的棱BB,CC上，且BE=2EB CF=2FC,则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于_.【解析】 如图，建立空间直角坐标系.4欢迎下载6),所以cosn,AB所以sinn,AB=z3t2V7设正方体的

6、棱长为1,平面ABC的法向量为ni=(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2=(x,y,z).所以A(1,0,0),E1,1,3,F0,1,3,B=2,AB= AD=2.所以AE=0,1,1,EF= -1,10, 3丿1n2AE=0,则他EF=0,r1y+孑=0即 .十1I一x+3Z=0.取x=1,贝 Sy=一1,z=3.故n2=(1, -1,3).所以cosn1,所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角a满足COS a=3一11sina=f,所以tana=_23 .【答案】_2精品文档5欢迎下载精品文档图3-2-30(1)求证：AQL平面BCD求异面直线AB与CD所成角的余弦值.【解】

7、(1)证明：连结OC由题意知BQ= DO AB= AD, AOL BD又BO= DO BC= CD二COL BD在厶AOC中 ,由已知可得Ad1,CO3,又AC=2,二AO+C(2=AC,./ AO=90 即AOLOC BDH OC= Q AOL平面BCD(2)以O为坐标原点建立空间直角坐标系,则B(1,0,0),Q-1,0,0),qo,3,0),A(0,0,1),.BA=(-1,0,1),CD=(-1,-3,0),_BACD_亠2=4 -IBACD异面直线AB与CD所成角的余弦值为-429.四棱锥RABCD勺底面是正方形，PDL底面ABCD点E在棱PB上.cosBA CD6欢迎下载精品文档(

8、1)求证：平面AEG_平面PDB(2)当PD=2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的 角的大小.【解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系Dxyz,设AB= a,PD=h,则A(a,0,0) ,B(a,a,0),C(0 ,a,0), D0,0,0) , R0,0 ,h),(1) AC( -a,a,0),DP=(0,0 ,h),DB=(a,a,0),二ACDP=0,ACDB=0, ACL DP ACL DB又DPH DB= D, ACL平面PDB又AC?平面AEC二平面AECL平面PDB当PD2AB且E为PB的中点时，R0,0,2a),设A8 BD= Q,2,0,连结QE由(1)知AC

9、L平面PDBF Q/ AEQ AE与平面PDB所成的角,7欢迎下载精品文档EAEO2 cos/AEG-匚=2，|EAEO/AEO=45即AE与平面PDB所成的角的大小为45能力提升层次1.已知在长方体ABCDiBCD中，AB= BC=1,AA=2，E是侧棱BB的中点，贝卩直线AE与平面AED所成角的大小为()A.60B. 90C. 45D.以上都不对【解析】 以点D为原点，分别以DA DC DD所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，如图.由题意知，A(1,0,2)，曰1,1,1) , D(0,0,2) ,A(1,0,0)，所以AE=(0,1，-1),DE=(1,1，-1),EA=(0

10、，-1,-1).设平面AED的一个法向量为n=(x,y,z),令z=1,得y=1,x=0,所以n=(0,1,1),n EA-2cosn,EA=n AE=0,n DE=0? y-z=0,x+y-z=0.|n|EA8欢迎下载精品文档所以n,EA=180所以直线AE与平面AED所成的角为90【答案】B2.在空间中，已知平面a过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0,a)(a0)，如果平面a与平面xOy的夹角为45,则a=_.【解析】 平面xOy的法向量为n=(0,0,1)，设平面a的法向-3x+4y=0,量为4(x,y,Z)，则-3x+az=0,a a即3x=4y=az,取z=1,贝 S

11、u=3,4,1又Ta0,.a=3.三棱柱ABCABC,CA= CG=2CB则直线BG与直线AB夹角的余弦值为()【答案】125而cosn,u125 .A.C.B._533D.59欢迎下载图3-2-31精品文档【解析】 不妨设C岸CG=2CB=2,则AB=(2,2,1),CB=(0，-2,1),(1)求异面直线AB与CD所成角的余弦值；(2)求平面AD(Z与平面ABA所成二面角的正弦值.【解】(1)以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,贝 SA(0,0,0),&2,0,0),q0,2,0),Q1,1,0),A(0,0,4),C(0,2,4)，所以AB=(2,0，4),CD=(1,

12、 1, 4).AB CB所以cosAB,CB=|AB|CB|5 .(2)x o + 2X( 2)+ 1X 19X 5因为直线BC与直线AB夹角为锐角，所以所求角的余弦值为-.5【答案】A4.如图，在直二棱柱ABC-ABC中，ABLAC AB= AC=2,AiA=4,点D是BC的中点.图3-2-3210欢迎下载精品文档ABGD_18_ 3你崗命匸20 x 18= 10设平面ADC的法向量为n1=(x, y, z)， 因为AD=(1,1,0)，AG=(0,2,4)，所以n1AD=0,n AG=0，即卩x+y=0且y+2z=0,取z=1,得x=2,y=-2,所以n1=(2, -2,1)是平面ADC勺一个法 向量.取平面AAB的一个法向量为n2=(