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1、第三章 流体静力学【 3-2】 图 3-35所示为一直煤气管,为求管中静止煤气的密度,在高度差 H =20m的两个截面装 U 形管测压计, 内装水。 已知管外空气的密度 a =1.28kg/m3, 测压计读数 h 1=100mm, h 2=115mm。与水相比, U 形管中气柱的影响可以忽略。 求管内煤气的密度。 图 3-35 习题 3-2示意图【解】 1a i r 1O H 1g a s 2p gh p += 2air 2O H 2gas 2p gh p += 2gas gas 1gas p gH p += 2a i r a i r1a i r p gH p += 2gas gas 1air

2、 1O H 2p gH p gh +=+ gH gh p p air 2O H 1air 2gas 2-=-gH gh gH gh air 2O H gas 1O H 22-+= H H h h gas air 2O H 1O H 22=+- (3air 21O H gas kg/m53. 028. 120115. 01. 010002=+-=+-=H h h 【 3-10】 试按复式水银测压计 (图 3-43 的读数算出锅炉中水面上蒸汽的 绝对压强 p 。已知:H =3m, h 1=1.4m, h 2=2.5m, h 3=1.2m, h 4=2.3m,水银的密 度 Hg =13600kg/m

3、3。 图 3-43 习题 3-10示意图【解】 (p h H g p +-=1O H 12 (212H g 1p h h g p +-= (232O H 32p h h g p +-= (a 34H g 3p h h g p +-=(212H g 1O H 2p h h g p h H g +-=+- (a 34H g 232O H 2p h h g p h h g +-=+- (a 3412H g 321O H 2p h h h h g p h h h H g +-+-=+-+- (Pa 14. 3663101013252. 15. 24. 13807. 910004. 15. 22. 13

4、. 2807. 913600a321O H 1234Hg 2=+-+-+-=+-+-+-=p h h h H g h h h h g p (Pa 366300.6831013252. 15. 24. 1380665. 910004. 15. 22. 13. 280665. 913600a321O H 1234Hg 2=+-+-+-=+-+-+-=p h h h H g h h h h g p 【 3-15】 图 3-48所示为一等加速向下运动的盛水容器,水深 h =2m,加速 度 a =4.9m/s2。试确定:(1容器底部的流体绝对静压强; (2加速度为何值时 容器底部所受压强为大气压强?(3

5、加速度为何值时容器底部的绝对静压强等 于零? 图 3-48 习题 3-15示意图【解】 0=x f , 0=y f , g a f z -=压强差公式 (z f y f x f p z y x d d d d +=(z g a z f y f x f p z y x d d d d d -=+=(-=hpp z g a p a 0d d ( -=-=-=-g a gh a g h g a h g a p p a 10 -+=g a gh p p a 1 (a g h p p a -=-hp p g a a -= (1 (Pa 111138.39. 480665. 921000101325=-+

6、=-+=a g h p p a (2 (2s 8066. 9=-=-=g h p p g h p p g a a a a (3 ( 图 3-49 习题 3-16示意图【解】 初始状态圆筒中没有水的那部分空间体积的大小为(1241h H d V -= (1 圆筒以转速 n 1旋转后,将形成如图所示的旋转抛物面的等压面。令 h 为抛物面顶点到容器边缘的高度。空体积旋转后形成的旋转抛物体的体积等于具有 相同底面等高的圆柱体的体积的一半h d V 24121= (2 由 (1(2,得(h d h H d 212412141=- (3 即(12h H h -= (4等角速度旋转容器中液体相对平衡时等压面

7、的方程为C gz r =-222 (5对于自由液面, C =0。 圆筒以转速 n 1旋转时, 自由液面上, 边缘处, 2d r =, h z =, 则02222=- gh d (6 得dgh 22= (7 由于6021n = (8 dgh d gh n 2602230301= (9 (1水正好不溢出时,由式 (4(9,得 dh H g d h H g n 11122-=-= (10 即(min r 178.33. 03. 05. 080665. 1201=-=n (2求刚好露出容器底面时, h =H ,则(min r 199.43. 05. 080665. 9260221=d gH d gh

8、n (3旋转时,旋转抛物体的体积等于圆柱形容器体积的一半H d V 24121= (11 这时容器停止旋转,水静止后的深度 h 2,无水部分的体积为(2241h H d V -= (12 由 (11(12,得(222414121h H d H d -= (13 得(m 25. 025. 022=H h 【 3-21】 图 3-54所示为绕铰链 O 转动的倾斜角 =60°的自动开启式水闸, 当水闸一侧的水位 H =2m,另一侧的水位h =0.4m时,闸门自动开启,试求铰链 至水闸下端的距离 x 。 图 3-54 习题 3-21示意图【解】 设水闸宽度为 b ,水闸左侧水淹没的闸门长度为

9、 l 1,水闸右侧水淹 没的闸门长度为 l 2。作用在水闸左侧压力为111A gh F c p = (1其中21H h c =sin 1H l = sin 11H b bl A = 则sin 2sin 221bgH H b H g F p = (2作用在水闸右侧压力为222A gh F c p = (3其中22h h c =sin 2h l = sin 22h b bl A = 则sin 2sin 222bgh h b h g F p = (4由于矩形平面的压力中心的坐标为l bl l bl l A x I x x c cy c D 32223=+=+= (5所以,水闸左侧在闸门面上压力中心与

10、水面距离为sin 321H x D =(6 水闸右侧在闸门面上压力中心与水面距离为sin 322H x D =(7 对通过 O 点垂直于图面的轴取矩,设水闸左侧的力臂为 d 1,则(x x l d D =-+111 (8得(sin 3sin 32sin 111H x H Hx x l x d D -= -=-= (9 设水闸右侧的力臂为 d 2,则(x x l d D =-+222 (10得(sin 3sin 32sin 222h x h hx x l x d D -= -=-= (11 当满足闸门自动开启条件时,对于通过 O 点垂直于图面的轴的合力矩应为 零,因此02211=-d F d F

11、 p p (12则-= -sin 3sin 2sin 3sin 222h x b gh H x b gH (13 -= -sin 3sin 322h x h H x H(3322sin 31h H x h H-=-h H h Hh H h H h H x +=-=222233sin 31sin 31(m 0.7954. 024. 04. 02260sin 3122=+=x 【 3-29】 如图 3-62所示,直径 d =1m,高 H =1.5m的圆柱形容器内充满密 度 =900kg/m3的液体,顶盖中心开孔通大气。若容器绕中心轴以 n =50r/min的 转速旋转,求容器的上盖、底面和侧面所受

12、的液体总压力。 图 3-62 习题 3-29示意图【解】 由题设所述的容器内的压强分布与等角速度旋转运动容器中液体 的静压强分布相同,为-+=z g r g p p a 222 (1则计示压强为-=z g r g p e 222 (2(1作用在上盖的计示压强为2221r p e = (3设圆柱体的底面积为 A d ,则作用在上盖的总压力为42420420320221164124141d d 22d d d r r r r r r A p F d dA e p = =(4 由于30602nn =(5 42342157600130641d n d n F p = (614231=p F (2作用在

13、底面的计示压强为gH r gH p p e e +=+=22212 (7则作用在底面的总压力为(21210dd d d+=+=+=+= +=(8(N 1160915. 180665. 990041p F (3由式 (3可知,作用在上盖边缘的计示压强为8222222b1d d p e = (9 则作用在侧面的计示压强为gh d gh p p e e +=+=822b 13 (10设圆柱体的侧面积为 A c ,则作用在侧面的总压力为(28222228d d 2d d 28d d 2d d 28d d 28d 8d 2322220202002202002022020222233gdH H d H gd H d d h h gd h d d h dg