微积分课件：ch3_8 定积分的几何应用举例

1、第八节第八节 定积分的几何应用举例定积分的几何应用举例 本节要点本节要点 本节利用定积分来解决常见的几个几何问题本节利用定积分来解决常见的几个几何问题.一、平面图形的面积一、平面图形的面积二、空间图形的体积二、空间图形的体积三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长元素法元素法 在定积分的引入问题中在定积分的引入问题中, 我们看到我们看到: 为求曲边梯形的面为求曲边梯形的面积积, 我们将区间我们将区间 分成分成 个小区间个小区间, 由面积的可加性由面积的可加性, a bn面积为面积为 个小曲边梯形面积之和个小曲边梯形面积之和, 即即n12,nAAAA 而当而当 时很小时，时很小时，x ,iiiAfx

2、OxyiA由面积的可加性由面积的可加性, 再由无穷和即为积分再由无穷和即为积分, 即得即得OxyiAA iifx1ni0limOxyiA如果将小区间如果将小区间 用用 代替代替, 取为取为 1,iixx,dx xxix d ,iAf xx则则 dfxxOxy diAfxx 我们将我们将 称为称为面积元素面积元素. ddAf xx ddAfxxA iifx1ni0lim再将和式的极限再将和式的极限 用积分符号用积分符号 代替代替, 得得ba01limni dfxxba 上述对曲边梯形面积的讨论方法可以大大简化将实际上述对曲边梯形面积的讨论方法可以大大简化将实际常用的常用的元素法元素法.问题转化为

3、定积分的过程，几何中的面积、体积、弧长问题转化为定积分的过程，几何中的面积、体积、弧长,物理中的功、转动惯量等等都可以采用上述做法物理中的功、转动惯量等等都可以采用上述做法, 将所将所求的几何量和物理量转化为定积分求的几何量和物理量转化为定积分. 这就是实际问题中这就是实际问题中 元素法的一般想法元素法的一般想法: 设所考虑问题为变量设所考虑问题为变量 确定确定,U U, a b区间区间 分成分成 个小区间个小区间, 在区间在区间 上上, 相相n,dx xx应的应的 的部分量的部分量 的近似量有表达式的近似量有表达式:UU dd ,Uf xx则有则有: d .baUf xx, a b了区间了区

4、间 上的函数上的函数, 并且关于该区间满足可加性并且关于该区间满足可加性, 将将 下面就一些具体的几何问题和物理问题下面就一些具体的几何问题和物理问题, 我们用定积我们用定积分的元素法去解决这些问题分的元素法去解决这些问题.一、平面图形的面积一、平面图形的面积 1.直角坐标情形直角坐标情形 设曲边形由两条曲线设曲边形由两条曲线 （其中（其中 12,yfxyfx,xa xb 分析分析: 取取 为积分变量为积分变量, 变化区变化区x间为间为 在小区间在小区间 上上,dx xx,a b 1221, ,ffC a bfxfxxa b且且 ）及直线）及直线围成围成, 求其面积求其面积.窄曲边形的面积近似

5、为窄曲边形的面积近似为 2yfx 1yfxabxyO 21dd ,Afxfxx所以得到平面图形为所以得到平面图形为注意到该问题的几何意义也是相当明显的注意到该问题的几何意义也是相当明显的. 21d .baAfxfxx 2yfx 1yfxabxyOxdxxdA例例1 求由求由 围成的面积围成的面积. 2,1xyx xy解解 由面积的计算公式得区域的面积为由面积的计算公式得区域的面积为211dAxxx2211ln2xx3ln2.2xyO12例例2 求由曲线求由曲线 围成的面积围成的面积.22 ,4yx yx解解 两曲线的交点两曲线的交点:22 ,4yxyx以以 为积分变量为积分变量, 则则y从而得

6、到交点为从而得到交点为 2, 2 , 8,4 .2d4d ,2yAyy224210160,xxxx2, 2xyO8422xy4yx所以区域的面积为所以区域的面积为423422214d418.226yyAyyyy2, 2xyO8422xy4yx解解 以以 为积分变量为积分变量, 再利用对称性再利用对称性, 则有当则有当 x2x 时时, 在在 轴上下的两块面积相等轴上下的两块面积相等, 故故xd2 2 d 0,2 ,Ax xx而当而当 时时, 28xd24 d ,Axxx故相应的面积为故相应的面积为2, 2xyo8422xy4yx1A2A28022 2 d24 dAx xxxx 283322220

7、421224332xxxx166483232218.333 在上题的两种解法中可以看到在上题的两种解法中可以看到, 由于积分变量选择的由于积分变量选择的不同不同, 会使积分过程产生很大的不同会使积分过程产生很大的不同.例例3 求由抛物线求由抛物线 及其在点及其在点 处的切线和处的切线和21yx 1,0解解 抛物线在点抛物线在点 处的切线方程为处的切线方程为1,021 .yx 故面积为故面积为120221dAxxx 123011.33xxxy 轴所围成区域的面积轴所围成区域的面积.xyO21yx 112121yx平面上动点的坐标为平面上动点的坐标为例例4 设设 为等边双曲线为等边双曲线 上任意一

8、上任意一,M x y221xy点点, 双曲线与双曲线与 轴的交点为轴的交点为 求由直线段求由直线段 和和x,N,OM ON,0 ,M x yx 解解 设点设点 的坐标为的坐标为M.yYXx取取 为积分变量为积分变量, 积分区间为积分区间为yMN和双曲线弧段和双曲线弧段 所围成区域的面积所围成区域的面积.,X Y直线直线 的方程为的方程为OMOxy221xyMNb0,y0, y则在则在 上任取一小区间上任取一小区间, 相应的面积元为相应的面积元为2d1d ,xAYYYy若若 位于双曲线上半部分位于双曲线上半部分, 即即 就有就有M0,y 201dyxAYYYy222011ln1222yYxYYY

9、Yy2211ln1222yxyyyy21ln1.2yy若若 位于双曲线下半部分位于双曲线下半部分, 即即 就有就有M0,y 021dyxAyYYy21ln1.2yy 例例5 求摆线第一拱求摆线第一拱 与与 sin, 02 ,1cos,xa tttyat 轴围成的面积轴围成的面积.xOxy2at2aaat解解 上图为摆线形成的过程上图为摆线形成的过程, 所求面积为所求面积为:20daAy x22201cosdatt222012coscosdatttsin,xa tt00,2 2a d1 cosd ,xatt1 cos,yat2201cos212cosd2tatt23.a 2.极坐标情形极坐标情形

10、面积公式面积公式. D ,C 设平面区域设平面区域 由曲线由曲线 与射与射, 线线 确定（称为曲边扇形）确定（称为曲边扇形）, 今推导相应的今推导相应的Ox 取极角取极角 为积分变量为积分变量, 在在 上任取上任取, , 取一个小区间取一个小区间的近似等于半径为的近似等于半径为对应的窄曲边扇形的面积对应的窄曲边扇形的面积,d, 得到曲边扇形的面积元素为得到曲边扇形的面积元素为 中心角为中心角为 的扇形面积的扇形面积, 从而从而d OxddAd 21dd .2A 以以 被积表达式被积表达式, 在闭区间在闭区间 上做定积上做定积 21d2 , 21d .2A 积分积分, 从而得到曲边扇形的面积为从

11、而得到曲边扇形的面积为 OxdddA例例6 计算由曲线计算由曲线 所围成的所围成的22sin ,cos2 解解 所围成的图形关于所围成的图形关于 轴对称轴对称, y22sin ,cos2 ,得得.6公共部分的面积公共部分的面积.两曲线的交点的极角两曲线的交点的极角故面积为故面积为2cos2Oxy2sin6426410611222sindcos2 d22AA 64061cos2dcos2 d 640611sin2sin222133 3 .6二、体二、体 积积 1.旋转体的体积旋转体的体积 平面图形绕着它所在平面内的一条直线旋转一周所成平面图形绕着它所在平面内的一条直线旋转一周所成 0,yf x的

12、立体称为旋转体（见下图）的立体称为旋转体（见下图）. axb（其中（其中 ）,fC a b绕绕 轴旋转一周所成的旋转体轴旋转一周所成的旋转体x体积体积.求曲边梯形求曲边梯形xyo yf xba 取取 为积分变量为积分变量, 在在 上任取一小区间上任取一小区间x, a b,d,x xx 2dd .Vfxx在闭区间在闭区间 上做积分上做积分, 即得即得, a b 2d .baVfxx相应的小旋转体体积近似等于以相应的小旋转体体积近似等于以 为底半径为底半径, 为为 f xdx高的扁圆柱体的体积高的扁圆柱体的体积, 从而得到体积元素从而得到体积元素到所求的体积到所求的体积xyo yf xbadx例例

13、7 求椭圆求椭圆 所围成的图形绕所围成的图形绕 轴旋转一轴旋转一22221xyabx周所得的体积周所得的体积.解解 由公式由公式得得222daabVaxxa222224d.3aabaxxaba特殊地特殊地, 当当 时时, 得到球体体积为得到球体体积为ab34.3Va例例8 求由圆面求由圆面 绕绕 轴旋轴旋2220 xybaabxxyOba222xybaa解解 圆的边界曲线可以分解成圆的边界曲线可以分解成 其中其中22.ybax在在 上方的取正上方的取正, 下方取负下方取负, 因而旋转体体积为因而旋转体体积为yb转所得的物体的体积转所得的物体的体积.22222202daVbaxbaxx2208d

14、abaxxsinxat222201cos28d2 .2ta bta b22208cos dbat t例例9 求正弦曲线求正弦曲线 与与 围成的图形围成的图形sin0yxxxxyOsinyx1arcsin y解解 由旋转体体积公式由旋转体体积公式, 绕绕 轴旋转的体积为轴旋转的体积为 x22001cos2sindd,22xxVx xx绕绕 轴旋转的体积为轴旋转的体积为yx y分别绕分别绕 与与 旋转所得到的体积旋转所得到的体积.1220arcsinarcsindyVyyy12202arcsind2 .yy例例10 设区域设区域 由由 围成的围成的22,21,0yxyxxDyxO22yx21yx1

15、解解 120221 dSxxx1230153.33xxx设设 是由是由 1D22,1,00,yxxyx所围成所围成, 则旋转体的体积可以看作是则旋转体的体积可以看作是 绕绕1D 轴旋转所得到的体积再减去三角形轴旋转所得到的体积再减去三角形xyx在在 轴的右侧的部分轴的右侧的部分, 求面积及绕求面积及绕 轴旋转所得到的体轴旋转所得到的体积积.x区域绕区域绕 轴旋转所得到的体积轴旋转所得到的体积, 即即11222102d22d1xVxxxx41127 4.35610例例11 设抛物线设抛物线 过原点过原点, 且当且当2yaxbxc解解 因曲线过原点因曲线过原点, 故故 该图形的面积为该图形的面积为

16、0.c 120111d.323AaxbxxabxyO12yaxbx即有即有: 所以相应的旋转体所以相应的旋转体21.3ba01x0.y 1x x时时, 又已知该曲线与直线又已知该曲线与直线 及及 轴轴1/3, ,a b cx所图形的面积为所图形的面积为 求求 使该图形绕使该图形绕 轴旋转一轴旋转一周所成的体积达到最小周所成的体积达到最小.体积为体积为:22122011d,523aVaxbxxabb代入代入 得得21,3ba2211 411,533 9aVaaa上式对上式对 求导求导, 并令其为零并令其为零, 得得a212810.53327aVaaa得得53,.42ab 所以当所以当 时旋转体的

17、体积为最小时旋转体的体积为最小.53,42ab 2.平行截面面积为已知的立体体积平行截面面积为已知的立体体积 问题的提出问题的提出 设一立体设一立体, 该立体上垂直于一定轴的各该立体上垂直于一定轴的各xxdxxdx A xab 分析分析 取定轴为取定轴为 轴轴, 并设该立体在过点并设该立体在过点x,xa xb且垂直于且垂直于 轴的截面面积为轴的截面面积为xxx ,.A xC a b个截面的面积为已知个截面的面积为已知, 求相应的体积求相应的体积.x且垂直于且垂直于 轴的平面之间轴的平面之间, 设过点设过点 ,A x的已知面积函数的已知面积函数 并设并设 取取 为积分变量为积分变量, 在在 区间

18、中任取一个小区间区间中任取一个小区间x, a b,d,x xx dd .VA xx以以 为被积表达式为被积表达式, 在闭区间上做积分在闭区间上做积分, 得到体得到体 dA xx d .baVA xx相应小薄片的体元素为相应小薄片的体元素为积为积为dxxdxxx A xab例例12 一平面经过半径为一平面经过半径为 的圆柱面的底圆中心的圆柱面的底圆中心, 并且并且R解解 取这个平面与底面的交线为取这个平面与底面的交线为 轴轴, 底面上过圆心底面上过圆心, 且且x垂直于垂直于 轴的直线为轴的直线为 轴轴, 则底圆的方程为则底圆的方程为x y222.xyR 立体中过点立体中过点 且垂直于且垂直于 轴

19、的轴的xx2222,tan,RxRx,与底面交成角与底面交成角 求这个平面截圆柱面所得的体积求这个平面截圆柱面所得的体积.截面是一个直角三角形截面是一个直角三角形, 两条直两条直,tan,y y角边的长度分别为角边的长度分别为即即 RoxyxR于是平行截面面积为于是平行截面面积为 221tan,2A xRx从而所求的体积为从而所求的体积为221tand2RRVRxx233112tantan .233RRR xxR例例13 计算底面是半径为计算底面是半径为 的圆的圆, 而垂直于底面上一条而垂直于底面上一条R解解 以底面中心为原点以底面中心为原点, 固定直径为固定直径为 轴轴, 并建立坐标并建立坐

20、标x系系. 设过点设过点 且垂直于且垂直于 轴的截面为轴的截面为 已知截面已知截面xx ,A x222,Rx高为高为 所以所以223,Rx 223.A xRx因而因而固定直径的所有截面是等边三角形的立体体积固定直径的所有截面是等边三角形的立体体积.面积为等边三角形面积为等边三角形, 故三角形的底边长为故三角形的底边长为xRRxO22023dRVRxx233014 32 3.33RR xxR例例14 计算半径为计算半径为 高高 的球冠的体积。的球冠的体积。,Rh解解 球冠是由平面圆弧球冠是由平面圆弧 22yRxRhxR绕绕 轴旋转一周所得轴旋转一周所得,x 222A xyRxxRO22, xRx

21、y垂直于垂直于 轴的截面面积为轴的截面面积为x由体积公式得由体积公式得 22ddRRR hR hVA xxRxx23211333RR hR xxhRh三、平面曲线的弧长三、平面曲线的弧长 1.直角坐标情形直角坐标情形 设曲线的直角坐标方程为设曲线的直角坐标方程为 ,yf xaxb其中其中 即函数即函数1,fCa b f x在在 上有连续的一阶导数上有连续的一阶导数, a b现用元素法来求曲线的弧长现用元素法来求曲线的弧长.xyo ab yf x对应于小区间对应于小区间 的一段弧的长度的一段弧的长度 可用该曲线可用该曲线,dx xxs 取取 为积分变量为积分变量, 变化区间为变化区间为 曲线曲线 上上x,a b yf x在点在点 处的切线上的一小段的长度来近似代替处的切线上的一小段的长度来近似代替. , x f x222dd1d ,xyyx以此作为弧长元素以此作为弧长元素, 即即2d1d .syx而这相应切线的长度为而这相应切线的长度为xyOa