第十一章_曲线积分及曲面积分习_[1]...

1、 教学要求教学要求 典型例题典型例题第十一章第十一章 曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分1. 理解两类曲线积分的概念理解两类曲线积分的概念, 了解两类曲线积分了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系的性质及两类曲线积分的关系.2. 会计算两类曲线积分会计算两类曲线积分.一、教学要求一、教学要求3. 掌握格林掌握格林(Green)公式公式, 会使用平面曲线积分会使用平面曲线积分与路径无关的条件与路径无关的条件.4. 了解两类曲面积分的概念及高斯了解两类曲面积分的概念及高斯Gauss) 、斯、斯托克斯托克斯(Stokes)公式公式, 并会计算两类曲面积分并会计算两类曲面积分.1. 基本方法基本

2、方法曲线积分曲线积分第一类第一类 ( 对弧长对弧长 )第二类第二类 ( 对坐标对坐标 )(1) 统一积分变量统一积分变量转化转化定积分定积分用参数方程用参数方程用直角坐标方程用直角坐标方程用极坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限确定积分上下限第一类第一类: 下小上大下小上大第二类第二类: 下始上终下始上终(一一) 曲线积分的计算法曲线积分的计算法(1) 利用积分与路径无关的等价条件利用积分与路径无关的等价条件;(2) 利用格林公式利用格林公式 (注意注意加辅助线的技巧加辅助线的技巧) ; (3) 利用斯托克斯公式利用斯托克斯公式 ;(4) 利用两类曲线积分的联系公式利用两类曲线积分的联系

3、公式* .2. 基本技巧基本技巧1. 基本方法基本方法曲面积分曲面积分第一类第一类( 对面积对面积 )第二类第二类( 对坐标对坐标 )转化转化二重积分二重积分(1) 统一积分变量统一积分变量 代入曲面方程代入曲面方程(2) 积分元素投影积分元素投影第一类第一类: 始终非负始终非负第二类第二类: 有向投影有向投影(3) 确定二重积分域确定二重积分域 把曲面积分域投影到相关坐标面把曲面积分域投影到相关坐标面(二二) 曲线面积分的计算法曲线面积分的计算法 P, Q, R以及它们的一阶偏导数不连续的情以及它们的一阶偏导数不连续的情况下况下,考虑考虑通过投影化为二重积分通过投影化为二重积分处理处理.2.

4、 基本技巧基本技巧(1) 利用对称性简化计算利用对称性简化计算(2) 利用高斯公式利用高斯公式注意公式使用条件注意公式使用条件添加辅助面的技巧添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化两类曲面积分的转化3. 典型例题典型例题P, Q, R 具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数, 用高斯公式用高斯公式. 解解,d22syxL 用参数方程用参数方程, 则则L:)cos1(2tax taysin2 ttatad)cos2()sin2(22 P246总习题十一总习题十一 3(1)例例1 计算计算 其中其中L为圆周为圆周 x2+y 2=a x.

5、 )cos1 (22ta (0 t 2 ).syxLd22 02 0 x ya t ttadcos142202 ttad|2cos|242202 2d2cos202tta = 2a 2.二、二、典型例题典型例题 解解2 利用极坐标方程利用极坐标方程L: =acos , ,22 d)sin()cos(22aa 22|sin P246总习题十一总习题十一 3(1)例例1 计算计算 其中其中L为圆周为圆周 x2+y 2=a x. 0 x y2 2 acos = a2= 2a 2. a syxLd22 syxLd22 例例2 计算计算 其中其中 为曲线为曲线 . 0,2222zyxazyx解解szsy

6、sxddd222 sad322.343a 因因 的方程中的的方程中的x, y, z的地位完全的地位完全对称对称, 利用轮换利用轮换对称性对称性, 有有L关于关于xOz轴平面对称轴平面对称, y是是L上关于上关于y 的奇函数的奇函数 szyxd)(322220szyxszyxd)(31d)(32222 sad322334a 或或 szyxId)(22szxd)(22 szyxId)(22 szyxId)(22a解解1 0333| )sin(cos3 a 02d)22cos122cos1(axy0L,d)(d)(22 LyxyxyxI例例3 计算计算 其中其中L 是沿逆是沿逆时针方向以原点为中心时

7、针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周为半径的上半圆周.x=acos , y=asin (0 ),的参数式方程为的参数式方程为:,d)(d)(22 LyxyxyxI 0 a2 cos2 asin ) (a sin )+(a2 sin2 acos ) a cos d .323a 0222223d)cos(sin)cossinsincos(aaB(a,0)解解2.323a L+ABxy0DyxDdd)1(1 ABL,d)(d)(22 LyxyxyxI例例3 计算计算 其中其中L 是沿是沿逆时针方向以原点为中心逆时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周为半径的上半圆周.A( a,0)( I(

8、x2 y)dx+(y 2 x)dy aax2 dx解解3 由由 (x2 y) y= 1知曲线积分与路径无关知曲线积分与路径无关, LyxyxyxId)(d)(22 (x2 y)dx+(y 2 x)dyBA.323a aax2 dx利用利用格林公式格林公式 .添加辅助线添加辅助线AB如图如图,PQ=(y2 x) y ,所以所以,14:22 yxL Lyxxyyx22dd lyxxyyx22dd lxyyxddyxDdd2 yP 例例4 计算计算曲线积分曲线积分 , 其中其中 且取正向且取正向 . Lyxxyyx22dd22222)(yxxyxQ Oxy当当 x2+y2 0时时 ,解解L在在D内作

9、圆周内作圆周l: x2+y2=1, 取逆时针方向取逆时针方向,l= 2 .由由格林公式格林公式, 有有 DyxyPxQdd)(D= 0 llLyxxyyxyxxyyx2222dddd21D1 20dcossinsindcos.2d20 ,14:22 yxL dcos312202 例例4 计算计算曲线积分曲线积分 , 其中其中 且取正向且取正向 . Lyxxyyx22ddOxy令令 x=2cos ,解解Ly=sin ,此定积分计算很复杂此定积分计算很复杂 .0 2 , Lyxxyyx22dd21L闭曲线所围成的区域闭曲线所围成的区域D内包含奇点内包含奇点O(0,0), 不能直接用不能直接用格林公

10、式格林公式.构造适当的闭曲线构造适当的闭曲线l挖去奇点挖去奇点.要求要求l上曲线积分易算上曲线积分易算. 2sin2 zyyxxxzLd2dd2 解解z=cos +sin ,x=cos , ( : 02 ), 则则02 cos (cos +sin )+cos cos 取取L 的参数方程的参数方程: y=sin , 02 ( sin +cos )d 2011年数一年数一例例5 设设L是是柱柱面面 x2+y2=1与平面与平面z=x+y的交线的交线, 从从z轴正轴正方向往方向往z 轴负向看去为逆时针方向轴负向看去为逆时针方向, 则曲线积分则曲线积分= _ .zyyxxxzLd2dd2 ( sin )

11、022cos1 2cos12 ( sin )d = .zoyx1解解ttdcos21 tt d2sin162202 tysin21 sin21tz ,dzzyxP246总习题十一总习题十一 3(6)例例6 计算计算 其中其中 由平面由平面y=z截球面截球面x2+y2+z2=1 所得所得, 从从z轴正方向看沿逆时针方向轴正方向看沿逆时针方向.在在 上有上有x2+2y2=1, 故故(0 t 2 ).x=cost02 zxyzLdtt2sincos21ttd2cos4116220 .162 例例7 计算曲面积分计算曲面积分yxrzxzryzyrxIdddddd333 其中其中,222zyxr 解解y

12、xzxzyzyxRIdddddd13 zyxRddd313 : x2+y2+z2=R2 取外侧取外侧 .33341RR = 4 .利用利用高斯公式高斯公式, 有有解解2yxzxzyzyxRIdddddd13 36R222yxR yxzRdd33 dxdyx2+y2 R2 RR022031d6 d = 4 . 36Rz dxdyx2+y2 R2 利用利用对称性对称性, 有有xyzOnzyxo,ddddddyxzxzyzyx 222yxRz 解解 3323R 1由高斯公式有由高斯公式有P246总习题十一总习题十一 4(3)例例8 计算曲面积分计算曲面积分 其中其中 为半球面为半球面 的的上侧上侧

13、. 11)(I补补 1=(x, y, z)| z=0, x2+y2 R2 , 取取下侧下侧, + 1构成构成封闭曲面封闭曲面, 记记所围区域为所围区域为 , 1xdydz+ydzdx+zdxdy3dxdydzxdydz+ydzdx+zdxdy=2 R 3 .hozyx 11)(Ih1 例例9 计算曲面积分计算曲面积分其中其中 为锥面为锥面 z= (0 z h)的的外侧外侧.,dd)(dd)(dd)(222yxyxxzxzzyzyI 解解作的辅助面作的辅助面 1=(x, y, z)| z=h(h0), x2+y2 h2 , 取取上侧上侧, + 1构成构成封闭曲面封闭曲面, 记记所围区域为所围区域

14、为 , 利用高斯公式利用高斯公式, 有有(y2 z)dydz+(z2 x)dzdx+(x2 y)dxdy0dxdydz 1 x2+y2 h2 022yx (x2 y)dxdyh d00 2 d 2 .44h yxyxdd)(2122 P246总习题十一总习题十一 4(2)(x2 y)dxdy x2+y2 h2 x2 dxdyxyzO ,dddddd2yxzxzxzyyI解解n22yx 12例例10 计算曲面积分计算曲面积分 其中其中 为锥面为锥面 z= 被平面被平面z=1, z=2所截部分所截部分的的外侧外侧. 215 1 1 2 )(I 2作的辅助面作的辅助面 1 : z=2, x2+y2

15、4, 取取上侧上侧, 2: z=1, x2+y2 1, 取取下侧下侧, + 1+ 2构成构成封闭曲面封闭曲面, 记记所围所围区域为区域为 , 利用高斯公式利用高斯公式, 有有ydydz xdzdx+z2dxdy + 1+ 2 1+ 22z dxdydz4dxdy 2 dxdyzdz zDyxdd 4x2+y2 4 dxdy12 x2+y2 1 dxdyz z2dz 15 212xyzO ,dddddd2yxzxzxzyyI解解2,22yxxzx n22yxyzy 22yx 22yxz 12例例10 计算曲面积分计算曲面积分其中其中 为锥面为锥面 z= 被平面被平面z=1, z=2所截部分所截部

16、分的的外侧外侧. yxzdd2 21220dd 215 yxzxzxzyyIdddddd2( y z x+z2 dxdy x z y= (x2 +y2)dxdy1 x2+y2 4 题设中题设中 的的侧侧与与 ( z x , z y , 1)相反取相反取“ ”号号.ozyx其中其中C曲线是曲线是 从从z轴正向看轴正向看, C 的方向是的方向是为顺时针的为顺时针的. , 2, 122zyxyx解解例例11 计算曲线积分计算曲线积分,d)(d)(d)(zyxyzxxyzIC C d22cos1420 z=2 cos +sin ,x=cos , ( : 2 0), I则则02 (2 cos )( si

17、n )+( 2+2cos sin )cos 1+2(sin +cos ) 4cos2 d 取取C 的参数方程的参数方程= 2 . y=sin , 02 +(cos sin )(sin +cos )d = 2 1997年数一年数一,dddd2222 Szyxyxzzyx解解例例12 计算曲面积分计算曲面积分 其中其中S是由是由曲面曲面x2+y2=R2与两平面与两平面z=R, z= R (R0)所所围成立体表面围成立体表面的外侧的外侧.1996数数1xy z0 R R S1S2S3 Szyxyxzzyx2222dddd 12222ddddSzyxyxzzyx 22222ddddSzyxyxzzyx

18、 32222ddddSzyxyxzzyx 12222ddSRyxyxR 22222)(dd)(SRyxyxR 322ddSzRzyx 2222ddRyxyxR 2222ddRyxyxR+ x2+y2 r2x2+y2 r2平面平面S1: z=R(上侧上侧), S2: z= R(下侧下侧), S3 : x2+y2=R2(外侧外侧). yzDzRzyyR2222dd2解解xy z0 r rS1S2S3 Szyxyxzzyx2222dddd= 8 r 2 yzDzrzyyr2222dd2 rrzrzyyr022022dd4241rrzr0|arctan1 .212 r ,dddd2222 Szyxyx

19、zzyx例例12 计算曲面积分计算曲面积分 其中其中S是由是由曲面曲面x2+y2=R2与两平面与两平面z=R, z= R (R0)所所围成立体表面围成立体表面的外侧的外侧.yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)( 其中其中 是以原点为中心是以原点为中心, 边长为边长为 a 的正立方体的整的正立方体的整个表面的个表面的外侧外侧.解解 利用对称性利用对称性.原式原式yxxzdd)(3 的顶部的顶部 )2| ,2|(|2:1ayaxaz 取上侧取上侧 的底部的底部 )2| ,2|(|2:2ayaxaz 取下侧取下侧 dd)(dd)(321yxxzyxxz yxxayxDdd)2(3 yxDyxadd3xzydd)2(yxxayxD 例例13 计算计算=3a 3 . 12,d2sx解解sx d2 szyxsxd)(31d2222 sa d312 .3