二重积分计算

1、第二节二重积分的计算教学目的：掌握二重积分的计算方式，能正确计算二重积分教学重点：二重积分计算教学难点：利用板坐标计算二重积分、应用教学时数：6教学内容：一般情形下，直接利用二重积分的概念计算二重积分是超级困难的，二重积分的计算能够归结为求二次定积分(即二次积分)。此刻咱们由二重积分的几何意义导出二重积分的计算方式。一、利用直角坐标系计算二重积分若二重积分存在，和式极限值与区域D的分法无关，故在直角坐标系下咱们用与坐标轴平行的两组直线把D划分成各边平行于坐标轴的一些小矩形(如图所示)，于是小矩形的面积=因此在直角坐标系下，面积元素为：dcr=dxdy于是二重积分可写成JJf(x,y)dcr=J

2、J/(x,y)dxdyDD此刻，咱们按照二重积分的几何意义，结合积分区域的几种形状，推导二重积分的计算方式。1.积分区域D为：a<x<b,(px(x)<y<(p2(x)其中函数的(x),%(x)在团力上持续(如图所示).y="a）不妨设/（工）'）之0，由二重积分的几何意义知，Jj7（x,），）awy表示以D为底，以曲D而=/（x,y）为顶的曲顶柱体的体枳（如图所示）.咱们能够应用第五章中计算“平行截而而积为巳知的立体的体积”的方式，来计算那个曲顶柱体的体积.先计算截面而积。在区间心力中任意取定一点八，过X。作平行于）。Z面的平而X=%,那个平面截曲顶

3、柱体所得截而是一个以区间。（凡），92。0）为底，曲线Z=/（/，¥）为曲边的曲边梯形（图中阴影部份），其面积为一般地，过区间«句上任意一点x且平行于yoz面的平面截曲顶柱体所得截而的面积为AW=p<X）f（xfy）c/y一于是，由计算平行截而面积为已知的立体体积的方式，得曲顶柱体的体积为-/（2）力心即j7（x,）"=£【£：D门于（x, y）dy dx上式右端是一个先对y、再对x的二次积分.就是说，先把x看做常数，把一（X,），）只看做丫的函数，并对y计算从外（X）到夕式外的定积分，然后把所得的结果（是x的函数）再对x计算从a到b的定

4、积分.那个先对y、再对x的二次积分也常记作从而把二重积分化为先对y,再对x的二次积分的公式写作y(%y)dxdy=fdx/(x,y)dy在上述讨论中，咱们假定/（v,y）NO.但实际上公式的成立并非受此条件限制。2 .积分区域D为：%c<y<d其中函数必（），歹2（y）在区间匕町上持续（如图所示）。f(x.y)dxf(x,y)dxdy仿照第一种类型的计算方式，有y)dxdyJ”（x，D这就是把二重积分化为先对X、再对y的二次积分的公式。3 .若是积分区域D不能表示成上面两种形式中的任何一种，那么，可将D分割，使其各部份符合第一种类型或第二种类型（如图所示例L计算积分“（x+y）2d

5、x力，其中D为矩形区域：0<y<2。D解法一：矩形区域既属于第一种类型，也属于第二种类型，所以，能够先对X积分，也能够先对y积分。先选择先对y积分。(x+yfdxdyD3(x+2)3,1zox4114116=(/x=(x+2y-x4=Jo3312。12。3解法二：再选择先对工积分JJ(x+y)2dxdy=。司，+»A=J：；(x+»；力D'Uf(>+1)、呼T川+*%：=与例2：计算积分Jjxexydxdy,其中D为矩形区域：OWxWl,-l<y<0。D解：积分区域虽然是矩形区域，但先对X进行积分，需要用分步积分法，比较麻烦。若是先对y

6、积分，则比较简单。所以此题选择先对y积分。JjWdxdy=工公xexly=je'：dx=J(1-ex)clxD例3：计算-(2-x-y)dxdy,其中D是直线y=x与抛物线y=一围成的区域。D2解：积分区域D如图所示，直线y=x与抛物线y=/的交点是(0。)与(1,1)。(1)若先对y后对x枳分，则枳分区域D表示为：0<x<l,x2<y<xjj；(2x一ydxdy=£dxj1(2-x-y)dy0212Io=f1-(4x-7x2+lx3+x4)dx=J。4120(2)若先对x后对y积分，则积分区域D表示为：0<y<1,y<x<yy

7、故,；(2-x-y)dxdy=£Jy£1、；(2-x-y)dx=£(x-(x2-；xy)dy=£*乒5y-2)，行+3广山,=总例4：计算二重积分口/小,加，其中口是抛物线工=/,直线2xy1=0所围成。D解：画出积分区域的图形(如图所示)，解方程组X=厂<2x_y_1=0得抛物线和直线的两个交点(1,1),(;，一;)。选择先对X积分，后对y积分，则枳分区域D表示为：1.2V+1-<V<EV<A<-2,2ff ydxdyD=J>犷同户审段一斓4V3263 "640固然，那个积分也能够选择另一种积分顺序，即先

8、对y后对x积分，如图所示。但必需把积分区域。划分成两个区域R和别离表示为:D,：0<x<->-4x<y<4x4D2：-<x<1>2x-1<y<Vxjj y2dxdy = jj y1dxdy + jj y2dxdyDD、D2=-y2dy +，： y2dy =Jo J-4X '.4 J2T6402例5：计算二重积分jjdxdy ,其中D是由直线x = 2,d y成的区域(如图所示)，y = x及双曲线xy = 1所围解：直线y = x与双曲线冲=1在第一象限的交点为(1,1),选择先对y后对X积分，则积分区域D可表示为:l<

9、x<2, -<y<xx于是x2(-)dx=£(-x+x3)dx=X固然，那个积分也能够选择另一种积分顺序，即先对X后对y积分。但必需把积分区域。划分成两个区域，别离表示为：npwy=£力3戊=IDy2y/yr从例4、例5两例能够看出，积分顺序的选择直接影响着二重积分计算的繁简程度。显然，积分顺序的选择与积分区域有关。例6：计算”/2公4），其中D是由直线x=0,y=x,y=1围成的（如图所示）。D解：选选对x后对y积分，则积分区域D表示为：0<y<1,0<x<yjjey'dxdy=W'c/x=-eD0。2若是改变积分

10、顺序，即先对y积分，后对x积分，则得由于广好的原函数不能用初等函数表示，所以无法计算出二重积分的结果.从例6明白，选择积分顺序也要考虑到被枳函数的特点。从咱们所作的这些例题看到，计算二重积分关键是如何化为二次积分，而在化二重积分为二次积分的进程中又要注意积分顺序的选择。由于二重积分化为二次积分时，有两种积分顺序，所以通过二重积分能够将已给的二次积分进行改换积分顺序，这种枳分顺序的改换，有时能够简化问题的计算。二、利用极坐标计算二重积分对于某些被积函数和某些积分区域，利用直角坐标系计算二重积分往往是很困难的，而在极坐标系下计算则比较简单。下而介绍在极坐标系下，二重积分口的计算方D式。在极坐标系下

11、计算二重积分，只要将积分区域和被积函数都化为极坐标表示即可。为此,分割积分区域，用r取一系列的常数（取得一族中心在极点的同心圆）和夕取一系列的常数（取得一族过极点的射线）的两组曲线将D分成小区域Ab.如图所示。设Ab是半径为厂和+人的两个圆弧及极角。和夕+19的两条射线所围成的小区域，其面积可近似地表示为b=rAr-因此在极坐标系下的而积元素为db=rdrdO再别离用工=（：056,y=rsin。代替被积函数中的X,y。于是取得二重积分在极坐标系卜的表达式JJf(x,y)db=jjf(rcos0.rsinO)r(bdO下而分三种情形，给出在极坐标系下如何把二重积分化成二次枳分1.极点O在区域D

12、之外，D是由。=&,夕=尸，=外（8）和=（夕）围成（如图所示）,这时有公式Jj/(rcos,rsinO)rdrd0/(rcos.rsinrdrD°"2.极点o在区域d的边界上，d是由e=。，e=p,，=“。）围成（如图所示），这时有公式JjfQcos8,Drsiii0rdrd0/(rcos。.rsiiiO)rdra3.极点0在区域D之内,一一0a区域是由r="夕）所围成（如图所示），这时有公式D|/(rcos,rsin0)rdrd8=1)"6Jo/(rcos6,rsine)MrD例7：计算二重积分“J/D0:+y2db,其中D：(x-af+&#

13、39;JK'J(a>0)o解：积分区域D(如图所示)，D的边界曲线(不一。)2r=2acos0(a>0)0属于第二种情形，于是JJJ3小津广D2=J，(l-sirT0)cqs0c1O=33=(sinesin3ej=工333_£9*>一y.Lui/八F/石I(a>0)的极坐标方程为=a_存cos38/e3亏*J2T(1-sin20)dsn02O卜例8：计算二重积分JJsinJx2+y°dxdyDaJ2u，其中D为二圆工2+y2=乃2和12+）,2=4万之间的环形区域。解：积分区域D（如图所示），属于第一种情形。0«"24，4

14、在极坐标下D可表示为:7T<r<27rJjsiiiyjx2+y2dxdy=j："6Jsinr-rdr=(-rcosr+sinr)|7d0D=£(一34)"6=3/匚=6/例9：计算球体i+V+z?44/被圆柱面/+（>（）所截得的（含在圆柱面内的部份）立体的体积（如图所示）。解：由对称性V=4jJyj4a2-x2-y2dxdyD其中D为半圆周y=J2at及x轴所围成的区域,0<6><-.0<r<2a2于是nV=4JJJ4a2-x2_y1dxdy=4产dD.=%3负一府外/二在极坐标系中，D可表示为:cos。AS<b>/2aCOSi、4rdr?3尸2-a(-)23耳dx次=-lim2 c-lim(l-x2)Z xexdx?Jo一般说来，当被积函数为/（x?+y2）的形式，而积分区域为圆形，扇形，圆环形时，在直角坐标系下计算往往很困难，通常都是在极坐标系下来冲算。三、无界域上的反常二重积分和一元函数一样，能够引进无界域上的反常二重积分。它是在概率统计中有普遍应用的一种积分形