双曲线中焦点三角形的探索

1、双曲线中焦点三角形的探索根本条件：1:该三角形一边长为焦距2c,另两边的差的约对值为定值 2a.2222:该三角形中由余弦定理得cos/FFF2=51PF21 一|FlF21结合定义,有 2|PFJ IPF2I22工工-1.一 2. 2性质一、设假设双曲线方程为a b(a >0, b >0), F1,F2分别为它的左右焦点,P为双曲线上任意一点,那么有: J* t2假设4iPF2=Q那么SF1PF22；特别地,当&1出=90'时,有 'Lb2.证实：记1 PFi Uri/PF?卜2,由双曲线的定义得在 F1PF2中,由余弦定理得：22c1 -2 -21285

2、122配方得：(1 一12)2r1r2 -2r1r2cos? - 4c .即 4a2 2r1r2(1 -cosu)=4c2.由任意三角形的面积公式得：1 S&PF2 =2r1r2sin 二-b2sin1 -cose e2 sin cos-2_2 ) b22口 b2 sin 一2e cot2特别地,当8 = 90时,Q cot 2=1,所以2 y2同理可证,在双曲线ab2二1(a>0, b>0)中,公式仍然成立.例4积.假设P是双曲线64 36 上的一点,F1、F2是其焦点,且/F1PF2=60,求 F1PF2的面中,a=8,b=6,c=10,而日=60：记1 PF1 F r

3、1,|PF2 1=r2.22匕=1解法一：在双曲线64 36丁点P在双曲线上,二由双曲线定义得:r1 - r2=2a =16.在 F1PF2中,由余弦定理得:22_. 一、2rr2 -2r1 r2 cos ? _ (2c).配方,得：(ri -12)2 - rir2 =400400ri/2 =256.从而 rir2 =144.2 x解法二：在双曲线642匕=136 中,b2 =36 ,而9=60口.考题欣赏(2021全国卷1理)(9)Fi、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,/ FPF2 =60°,那么P到x轴的距离为(A) (B) 逅 (C) 耳 (D) 用22

4、【答案】B(2021全国卷1文)(8)Fi、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,/ Fi P F?二 600,那么 IPF1LJPF2U(A)2(B)4(C) 6(D) 8【答案】B【解析1】.由余弦定理得cos/ F1PF2二1PFi |2 +|PF2, TFiF212 2|PFi|PF2|PFi |b PF2|=4【解析2】由焦点三角形面积公式得:SapF2 =b2cot；=向好二百二1伊B |PF2 sin600 =1|PF1 |PF2|；y| PF |_| PF2 |=4性质一推论：在双曲线22J匕=12 一 2a b(a>0, b>0)中,左右焦点分别

5、为Fi、F2 ,当点P是双曲线左支上任意一点,假设b2csin )“讦2=日,那么S*F近口0后.特别地,当“肝2=9.口时,有S.FiPF2b2ca .当点P是双曲线右支上任意一点,假设ZPFiF2=° (8(双曲线渐近线的倾斜角),那么S.FiPF2_ b2csin 1ccos 二-a证实：i、当P为左支上一点时,记|PF1尸1,尸巳尸2 (1 </2),由双曲线的定义得r2 -r1 = 2a,r22a22-2在 F1PF2 中,由余弦定理得：ri +4C - 4rlecos8=r2 .2代入得r14C2一4rlecos 二-(r1 2a).b X2 - y 中,a = i

6、 ,b =2,c =对5,而 8 = 60 记 I PF |= r ,| PF? |=%.ri 求得 a - c cos 二S.FiPF2=1r1 F1 F2 sin - 1b2a ccos?b2csin r2csin1二a +ccos6 得证一S F df特别地,当日=90时,& 2b2cii、当 P为右支上一点时,记I PFi l=ri,l pf2 l=r2( r1 a2),由双曲线的定义得 r1 2 =2a,r2 = ri 2a ,22.2在 FiPF2 中,由余弦定理得：ri +4C -4rlecos8=r2 .2,22代入得 ri4c -4riccosi - (ri -2a)

7、.ri求得b2ccos9 -a 0S.FFF21一 1r F1F2 sin 二22b2ccos【-a2csin 二2_ b csin1 ccosB -a 得证(i)假设P是双曲线64- 36=1左支上的一点,Fi、F2是其焦点,且/PFF2=60求 FPF2的面积.2 x (2)假设P是双曲线面积.2匕=i4右支上的一点,Fi、F2是其焦点,且2PFF2 =60求 FPF2的=1 八,CL , 一«-,(D解法一：在双曲线 丁点P在双曲线上,64 36中,a=8,b=6,c = i0,而日=60'.记 IPF1 l=r J PF2 l= r2.二由双曲线定义得：上-n = 2

8、a =i6.r2 =i6*ri222在 FPF2 中,由余弦定理得：ri +4c -4riccos6=r2 .36 -ri = 解得： i322-y-(2)解法一：在双曲线解法二：在双曲线 64 36 中,a=8,b=6,c=i0,b2=36,而 8=601丁点P在双曲线上,二由双曲线定义得：A _2 =2a=2.2 =12在 F1PF2中,由余弦定理得:224c -4iccos? -r2 .解得：1=8( .5 .2)22a =8,b =6,c=10, b2 =36 ,而 H = 60=J -中,解法二：在双曲线64 36性质二、双曲线的焦点三角形PF1F2中,祈=：,PF2F1 ：当点P在双曲线右支上时,有tan 三 cot一 三; 22 e 1:工I-'e -1cot tan -=当点P在双曲线左支上时,有2