圆锥曲线-面积问题原题+答案

1、直线与圆锥曲线的位置关系专题一:面积问题1、长轴为12,短轴长为6,焦点在x轴上的椭圆,过它对的左焦点Fi作倾斜解为的直线交椭圆于 A, B两点,求弦 AB的长. 3解：利用直线与椭圆相交的弦长公式求解.AB v1 k2 |x1 x2(1k2)(xi X2)2 4x1X2.由于a 6, b 3 ,所以c 3<3 .又由于焦点在x轴上,22所以椭圆方程为 二 L 1 ,左焦点F ( 3/3,0),从而直线方程为369y 而x 9 .由直线方程与椭圆方程联立得13x2 72 . 3x 36 8 0 .设x1, x2为方程两根,所以x1 x272 . 3,XiX21336 8 o,k 3 ,1

2、3从而ABV1 k2 Xi x2,(1k2)(x1 x2)2 4xiX2 4322 xy2、椭圆 C:一2-Tab.6 z1 (a>b>0)的离心率为 ,短轴一个漏点到右焦点的距3离为弱.(I)求椭圆C的方程;3,(n)设直线l与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为-y-,求4AOB 面积的最大值.c6解：(I)设椭圆的半焦距为 c,依题意 a 3a3,2b 1 ,所求椭圆方程为土 y(3k2 1)23412k 2 3 12(k 0) < 3 12 4.9k 6k 19k2 ± 62 3 * 6 当且仅当9k2 丁,即k 1.3(n)设 A(x, y1)

3、, B(x2, y2).(1)当ABx轴时,AB B(2)当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y kx m.2(k3 一 4-3-2%知 已 由把y kx m代入椭圆方程,整理得(3k2 1)x2 6kmx 3m2 3 0,XiX26 km3k2 1X1X23(m2 1)3k2 1AB22(1 k2)(X2X1)22(1 k2)36k2m2(3k2 1)212(m2 1)23k2 13(k2 1)(9k2 1)(3k2 1)2时等号成立.当12(k2 1)(3k2 1 m2)当AB最大时,4AOB面积取最大值S1 .32 |AB max -2X 23、如图,直线y kx b与椭圆 一 y

4、1交于A、B两点,记 ABC的面积为S.4(I)求在k 0, 0 b 1的条件下,S的最大值;(n)当AB 2, S 1时,求直线AB的方程.解：(I)解：设点 A的坐标为x1 ,b,点B的坐标为x2,b ,2由 ' b2 1 ,解得 x1,2241 b2 ,4一、,1所以 S b x x222b 1 b2b2 1 b当且仅当b一时,S取到最在值 2kx b,(n)解:由y2 1,x22kbx b2 10,4k2 b2 1,AB,1k2X1X2,1 k2224k b 121 k24设O到AB的距离为d ,那么2sAB1,又由于dbk2,所以b2k21,代入式并整理,得k4 k20,解得

5、,k21.23一,b一,代入式检验,220.故直线AB的方程是,2.6y 一x 224、椭圆的中央在坐标原点O,焦点在x轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四2$ 1(a b 0).当A AOB面积取得最大值时,求直边形为正方形,丝-4.c(I )求椭圆的方程；(11)直线1过点P(0,2)且与椭圆相交于 A、B两点, 线1的方程.2解：设椭圆方程为告a(I)由得< 2a所求椭圆方程为2x 2 d万y 1.b22 ab221c(II)解法一：由题意知直线的斜率存在,设直线1的方程为ykx2 , A(x1, y1), B(x2, y2)y2 xL 2kx 2y2i消去y得关于x的方程:(1

6、2k2)x2 8kx由直线1与椭圆相交A、B 两点, 064k2 24(1 2k2) 0,解得k2 3, 2xix2又由韦达定理得xiX28k1 2k2621 2k2AB.1k2xix21 k2 , (x1 x2)2 4x1x2、1 k21 2k216k2 24原点O到直线1的距离d 1 k2C1一,s ADB- AB d2.16k2 241 2k22 2v2k2 31 2k2解法1 ：对S一2 一6k/ 两边平方整理得:1 2k24S2k42224(S2 4)k2 S224*)16(S24-S2S2S2 244S24)2224S2(S224).,1- 21整理得：S212又S 0 ,从而S

7、AOB的最大值为此时代入方程*得4k4228k2 49 0142所以,所求直线方程为：2y解法2：令m 2k23(m0),那么2k2m2 32 2m2.2当且仅当mSJ max14此时k-2所以,所求直线方程为J4x 2y 4 0.解法二：由题意知直线 l的斜率存在且不为零.设直线 l 的方程为 y kX 2, AXi,yi, BX2 ,y21 2那么直线l与x轴的交点D ,0k由解法一知:解法1： SAOBXiXi1 OD yi2X2X2y28k1 2k26_ "27kxi 2 kx2 2XiX2(Xi X2)2 4Xi X216k2 24 1 2k22 2.2k2 321 2k2

8、卜同解法解法2: S AOBPOBS POAX2XiX2Xi22 2 . 2k 31 2k2卜同解法25、中央在原点,焦点在x轴上的椭圆的离心率为 ,F1,F2为其焦点,一直线过点Fi2与椭圆相交于A,B两点,且 F 2AB的最大面积为J3,求椭圆的方程.解：由e= 出得a:b:c J2:1:1,所以椭圆方程设为 x2 2y2 2c2 2x my c9 o设直线 AB: x my c,由得：(m2 2)y2 2mcyx2 2V2c22 22,2222 ,24m c 4c (m 2) 4c (2m2) 8c (m 1) 0设A(x1, y1), B(x2, y2),那么y1, y2是方程的两个根由韦达定理得ViViV2ViV22mcm2m2 2