第三章一元函数积分学课题十七定积分计算

1、第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算【授课时数授课时数】【学习目标】【学习目标】 1、知道微积分基本定理（牛顿莱布尼兹公式）和积分上限函数的定义； 2、会对积分上限函数求导； 3、会求函数的定积分和广义积分。【重、难点】【重、难点】 重点重点：定积分的积分法，由不定积分的换元积分法和分部积分法引出定积分的积分法。 难点难点：利用定积分的积分法正确求解函数的定积分，由实例讲解方法。 总时数：4 学时。第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算变速直线运动中，发生的位移变速直线运动中，发生的位移为为 21)(

2、TTdttv另一方面发生的位移又可表示为另一方面发生的位移又可表示为)()(12TsTs ).()()(1221TsTsdttvTT ).()(tvts 其中其中第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算上式又称为上式又称为babaxFdxxf| )()()()(aFbF它给出了定积分的一种简便算法。它给出了定积分的一种简便算法。第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算)()()(aFbFdxxfba 微积分基本定理微积分基本定理表明表明： baxF)( 注意注意求定积分问题转化为求原函数的问题求定积分问题转

3、化为求原函数的问题.第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算 例例1 1 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式20cossin2xxx.23 例例2 2 设设 , 求求 . 21,510,2)(xxxxf20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上规规定定当当1 x时时，5)( xf, 102152dxxdx原原式式. 6 xyo12第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算 例例3 3 求求 解解.|1|12dxxdxx12|1|dxxdxx11

4、12|1|1|dxxdxx1112) 1() 1(1122112221xxxx25第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算解解xyo 22coscos0 xdxxdxA22sinsin0 xx . 2 2xycos如图所示，如图所示，由定积分的几何意义知，由定积分的几何意义知，第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算定理定理dtttfdxxfba )()()(第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算 例例5 5 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,co

5、sxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 205)(coscosxxd105dtt第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算 例例6 6 计算计算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sin|cos|xx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 第三章第三章 一元函数

6、积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算 例例7 7 计算计算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算解解令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx xyo22xaabyA0A如图所示，如图所示，04AA adxx

7、aaba22042022cos4tdtaabA20)2cos1 (2dttab202sin2tababt ab第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 bababavduuvudv第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算 例例99 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu , xv 210arcsin xdx 210arcsinxx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x .

8、12312 则则第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算 例例1010 计算计算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40|sec|ln218x.42ln8 第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算 例例1111 计算计算.sin220 xdxx解解xdxxsin220)cos(220 xdx)2(coscos22200 xxxdx20cos2ln21xdxx)(sin2ln21

9、20 xdx)2(sin2lnsin2ln212200 xxxdx2202sin22ln2ln21xdxx移项得22022ln21sin2)2ln1 (xdxx22022ln12ln21sin2xdxx第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算2.定积分的换元公式定积分的换元公式dxxfba )(dtttf )()(1.微积分基本公式微积分基本公式)()()(aFbFdxxfba 3.3.定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 . bababavduuvudv ( (牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关

10、系的关系) )（注意定积分与不定积分积分法的区别与联系（注意定积分与不定积分积分法的区别与联系.）第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算思考题思考题思考题解答思考题解答 10)2(dxxf x10)2(21xfxd1010)2(21)2(21dxxfxf x10)2(41)2(21xff)0()2(4125ff. 2第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算练练 习习 题题032430412e4第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算xdttx0)1 ()(ttf

11、1)(x)(xtyo如图所示， 由定积分的几何意义知，xtt0221 xdttx0)1 ()(221xx )1 ()(0 xdttdxdx且有)(221xxx1为此，我们来学习积分上限函数及其导数第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算 xadxxf)( xadttf)(称为称为xadttfx)()(第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算)(tfy x)(xtyo积分上限函数的积分上限函数的：ba是图中阴影部分的面积，它是右侧边可以平行移是图中阴影部分的面积，它是右侧边可以平行移动的曲边梯形，它的面积随动

12、的曲边梯形，它的面积随x的变化的变化而发生改变但而发生改变但x确定后，它的面积确定后，它的面积也随之确定也随之确定)(| )()()(xftfdttfdxdxxtxa )(bxa 第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算例例1 1求求.124dtttdxdxx解解xxdtttdxd2411111442xxdtttdtttdxd分析：分析：这是积分变限函数，应化为积分上限函数这是积分变限函数，应化为积分上限函数.1121414xxdtttdtttdxd2141411xxdtttdxddtttdxd41xx834121xxxx)()(12422xxx第三

13、章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算例例2 2求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：这是这是 型不定式，应用洛必达法则型不定式，应用洛必达法则.第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算证证 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()(x

14、xxdttfdtttfxfdttfxxfxF200)()()()()(xxdttfdttftxxfxF第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxF故故)(xF在在), 0( 内内为为单单调调增增加加函函数数.第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算定理定理2 2（原函数存在定理）（原函数存在定理）定理的重要意义：定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的）肯定了连续函数的原函数

15、是存在的. （2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系的联系.第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算), 1 2 xy1Axyo如图所示，如图所示，这个图形在这个图形在x x轴正方向是开口的，这时轴正方向是开口的，这时bdxxbA12)(b111)11 (lim)(limbbAAbb为此，我们来学习无穷区间上的广义积分b积分区间是积分区间是不能用定积分来求!任取大于任取大于1 1的数的数b,b,在在, 1 b上，有第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算(

16、)af x dxlim( )babf x dx第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算( )bf x dxlim( )baaf x dx第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算 dxxf)( 0)(dxxf 0)(dxxf 0)(limaadxxf bbdxxf0)(lim第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算 例例44 计算广义积分计算广义积分.12 xdx解解 21xdx 021xdx 021xdx 0211limaadxx bbdxx0211lim0arc

17、tanlimaaxbbx0arctanlimaaarctanlim bbarctanlim .22 第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算 例例55 计算广义积分计算广义积分解解.1sin122 dxxx 21sin12dxxx 211sinxdx bbxdx211sinlimbbx 21coslim 2cos1coslim bb. 1 第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算证证, 1)1( p 11dxxpbbdxx11limbbx1|lnlim, , 1)2( p 11dxxpbblnlimbpbd

18、xx11lim第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算bpbpx111lim 1,111,pppppbpb111lim1第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算,1 , 0(21 xyA1xyo如图所示，如图所示，这个图形在这个图形在y y轴正方向是开口的，这时轴正方向是开口的，这时121)(dxxA22 )(lim0AA为此，我们再来学习无界函数的广义积分积分区间是积分区间是x=0是无穷间断点,不能用定积分来求!任取大于任取大于0 0的数的数,在在 1 ,上，有2)22(lim0第三章第三章 一元函数积分

19、学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算badxxf)(lim0badxxf)(第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算badxxf)(badxxf)(lim0.第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算 badxxf)( cadxxf)( bcdxxf)(定义中定义中c为为瑕点瑕点，以上积分也称为，以上积分也称为瑕积分瑕积分.第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算 例例77 计算广义积分计算广义积分解解).0(022 axadxa,1lim22xaaxax 为为被被积积函函数数的的无无穷穷间间断断点点. axadx022axadx0220limaax00arcsinlim0arcsinlim0aa.2 第三章第三章 一元函数积分学一元函数积分学课题十七课题十七 定积分的计算定积分的计算 例例8 8 计算广义积分计算广义积分解解.ln21 xxdx21lnxxdx210lnlimxxdx210ln)(lnlimxxd210|ln|lnlimx)1ln(ln()2ln(lnlim0故原广义积分发散故原广义积分发散.,ln1lim1xxx第三章第三章 一元