一元二次方程的应用_(含答案)

1、23.4 一元二次方程的应用情境切入九意算术勾股”章有一题;今有二人同所立，甲行率七，乙行率三,乙东行，甲南 行十步孤斜东北与乙会，问甲乙行各几何. "大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为了，石的速度为3,乙一 直向东走，甲先向南走10步,后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时, 甲、乙各走了多远？学海导航知识与技能L会列出一元二次方程解应用题.2.通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问期的能力.过程均方法根据实际问题，寻找相等关系,从而列出方程，解决实际问题.情感、态度与价值观体会数学来源于实践，又反过来作用于实践，增强用数学的意识

2、.- L完全解读知能点1、列一元二次方程解实际应用题的一般步骤列方程解实际应用问题历来是初中学生的难点，究其原因是理论指导不充分，必须熟练掌握解应用题的一般步骤才能准确解答各种类型的应用题，具体的步骤一般是：(1)审：审题要弄清已知量和未知量，问题中的等量关系；(2)设：设未知数，有直接和间接两种设法，因题而异；(3)歹U:列方程，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，列代数式表示相等关系中的各个量，即方程；(4)解：求出所列方程的解；(5)检验：检验方程的解是否正确，是否符合题意；(6)答：写出答案.友情提醒：列方程解应用题应该注意的一些问题(1)要注意各类应用题中常用的等量关系.

3、例如面积问题中有关的面积公式，还要注意挖掘题目中隐含的等量关系；(2)注意语言与代数表达式的互化.题目中有些条件是通过语言给出的，只有把它转化成代数式才能为列方程服务；注意从语言叙述中写出等量关系；(3)注意单位问题：一是在设元时必须写清单位，用对单位，例如不要把速度单位写成路程单位.二是在列方程时，要注意方程两边的单位必须一致.例1、某种商品原价50元。因销售不畅，3月份降价10%,从4月份开始涨价，5月份的售 价为64.8元，则4、5月份两个月平均涨价率为 .思维点击：由题意，3月份的售价可以用 50X (110%)表示，若设 4、5月份两个月 平均涨价率为X,则4月份的售价是 50X (

4、1 10%) X (1+X), 5月份的售价是50 X (1 10%) X (1+X) (1+X)即50 X (1 10%) X (1+X) 2 ,由于5月份的售价已知，所以可列出一 个方程，进而解决本题。解：设4、5月份两个月平均涨价率为 X,由题意，得50 X (1 10%) X (1+X) 2=64.8。整理，得(1+X) 2 =1.44.解得：X1 =0.2 = 20%,X2 = 2.2 (不合题意，舍去)。所以4、5月份两个月平均涨价率为 20%。解后反思：列方程解应用题，要注意求得的方程的解必须符合题意。例2、如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四

5、个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方米.求截去正方形的边长.思维点击：设截去正方形的边长 X厘米之后，关键在于列出底面(图示虚线部分)长和宽的代数式.结合图示和原有长方形的长和宽，不难得出这一代数式解：设截去正方形的边长为 X厘米，根据题意，得(60 2x) (40 2x) = 800.原方程可写成：X2 50x 400 =0.解这个方程，得x1=10,x2=40.如果截去的小正方形的边长为40厘米，那么左下角和右下角的两个小正方形的边长之和为80厘米，这超过了长方形铁皮的长60厘米，因此x2 = 40不符合题意，应舍去。答：截去正方形的边长为 10厘米。温馨提

6、示：在应用一元二次方程解实际问题时，也像以前学习一元一次方程一样，要注意分析题意，抓住主要的数量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，然后得到原问题的解答范例探究基础思维探究探究点1、与图形有关的问题例1、为了培养孩子从小热爱动物的良好品德，在一边靠校园20米的院墙，另外三边用55米长的篱笆，围起一个面积为300 m3的矩形场地.组织生物小组学生喂养小鸟、兔子等小动物.问这个场地的各边长为多少？思维点击：设与院墙垂直的边长为 x m,则与院墙平行的边长为(55-2x)m,根据矩形面 积公式可列出方程式.解：设与院墙垂直的边长为 x m,则与院

7、墙平行的边长为 (55-2x)m,根据题意得：2x(552x )=300. 整理，得 2x2 55x+300 = 0.解方程，得xi =20凶=15.当x=20,即与院墙垂直的边长为 20米时，另一边长为 20米，即与院墙平行的边长为15米.当x=15,即与院墙垂直的边长为 15米时，另一边长为 25米，即与院墙平行的边长为25米.由于校园的院墙长 20米，20V25,所以此解不合题意，应舍去.答：与院墙垂直的边长为 20米，与院墙平行的边长为 15米.温馨提示：若设与院墙平行的边长为x m,则与院墙垂直的边长为 55二m ,根据矩形面积公式也可以列出方程式.但出现了分数，不如前一种设法好.探

8、究点2、利润问题例2、某商场服装柜在销售中发现：宝乐”牌童装平均每天可售出 20件，每件盈利40元。为了迎接 六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存。经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可多售出 8件。要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？思维点击：每天售出的童装件数 X每件童装的利润=每天这种童装的总利润。解：设每件童装应降价 X元，根据题意，得20 - 8 40 -x =1200.化简，得 x2 -30X+200 = 0 ,解得 X1 =20,x2 =10。因为要尽快减少库存，所以X应取20。答：每件童

9、装应降价 20元。温馨提示：求出方程的解后，必须根据要求，对方程的解进行合理取舍。探究点3、增长率问题例3、某厂1月份生产零件 2万个，第一季度共生产零件7.98万个，若每月的增长率相同，求每月的增长率。思维点击：解：设每月的平均增长率为x,依题意，得2+2 （1+x） +2 （1+x） 2=7.98经整理，得 100x2+300x-99=0 ,解得 x1二0.3=30%, x2=-3.3 不合题意，舍去。答：每月的增长率为 30%。温馨提示：（1）解本题的关键是理解 “7.98万个零件是3个月生产量的总和”，一定要注 意审题；（2）牢记公式a（1±xn =b, a为增长率（降低）前

10、的基础数量， x为增长率（降 低率），n为增长（降低）的次数， b为增长（降低）后的数量.综合思维探究例4、一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西和南北方向分别挖2条和4条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为9600米2,那么水渠应挖多宽?米162米r立米一"64米"图1图2思维点击：这类问题的特点是，挖掘所占用土地面积只与挖渠的条数，渠道的宽度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题方便可分别把东西和南北方向的渠道移动到一起（最好靠一边）。如图2所示，那么剩余可耕的长方形土地的长为（1622x）米，宽为（644x）米。解：设水渠应挖x米宽，则根据题

11、意，得（162 -2x）（64 -4x） =96002x - 97x 96 = 0解得：xi =1, x2 =96（舍去）答：水渠应挖1米宽。温馨提示：此类问题可采用 靠边”的办法使得图形便于表达长、宽，主要体现了数学的 化归思想.创新拓展思维探究例5、机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台大型机械设备润滑用油量为90千克，用油的重复利用率为 60%,按此计算，加工一台大型机械设备的实际耗油量为36千克。为了建设节约型社会，减少油耗，该企业的甲乙两个车间都组织了人员为减少实 际油耗量进行攻关。甲车间通过技术革新后，加工一台大型机械设备润滑用油量下降到70千克，用油的重复利用率仍为 6

12、0%,问甲车间技术革新后，加工一台大型机械设备的实际耗油量是多少千克？乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑用油量，同时也提高了重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1千克，用油的重复利用率将增加1.6%,这样乙车间加工一台大型机械设备的实际耗油量下降到12千克。问乙车间技术革新后，加工一台大型机械设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？思维点击：（1）机械设备实际耗油量为用油量 -重复使用的用油量；（2）若设技术革新后的乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克，则比技术革新前下降了 （90-x）千克,从而重复利用率增加了 （90 -x）x1.6% ,这样，就

13、可以根据题意列出方程。解：（1）由题意，得 70x（160%） =70x40% =28 （千克）。（2）设乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量为x千克，由题意，得 xx1 （90 x）x1.6% 60% =12,整理，得 x2 65x 750 = 0 ,解得：x1=75,x2=10 （舍去），（90 75/1.6% +60% =84%。答：（1）技术革新后，甲车间加工一台大型机械设备的实际耗油量是28千克.（2）技术革新后，乙车间加工一台大型机械设备润滑用油量是75千克？用油的重复利用率是 84%.解后反思：本题考查了考生灵活利用一元二次方程解决实际问题的能力。中考热点探究中考动态：一元二次方

14、程的应用是各地中考中非常重要的一个考查内容，特别是近几年来，各地中考题都更加重视数学问题的实际应用，因此此类题目一般是以一个单独的解答题进行考查，而且考查的题型也逐步由以前常见的工程问题、行程问题、面积问题、平均增长率问题等向更新颖、 更贴近生活的问题转变，这就要求同学们在具有更强的数学抽象能力的基础上进行数学建模。例6、在一幅长8分米，宽6分米的矩形风景画（如图）的四周镶宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图）.如果要使整个挂图的面积是80平方分米，求金色纸边的宽.思维点击：根据面积关系列方程.解：设金色纸边的宽为 x分米，根据题意，得(2x+6) (2x+8) = 80.解得：Xi=1

15、, X2=8 （不合题意，舍去）答：金色纸边的宽为 1分米.温馨提示： 数”和 形”是数学中两个最基本的要素，它们是统一的.图形蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述.本题把数量关系借助于图形展示，兼容了数的严谨与形的直观，充分体现了数形结合的数学思想.整合提升知识内在联系 学习方法指导本节的重点是利用一元二次方程解决实际问题，难点是数量关系的确定。用一元二次方程解决实际问题时， 要注意把实际问题转化为数学问题，其关键是要找出等量关系， 往往有时等量关系可以通过关键词语表示出来；当等量关系较隐蔽时，要考虑学习过的相关公式、规律

16、来得出等量关系，并总结运用方程解决问题的一般步骤，体会方程的模型思想，及数形结合的思想。 规律方法点津列方程解应用题一般分为审题、 设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案六步进行， 其中审题过程虽在草纸上进行， 但这一步非常重要，只有经过认真审题， 分清已知条件和所 求的量，弄清量与量之间的数量关系，才能准确找出相等关系，设列方程。已知量与未知量之间的关系有的是直接给出的，如和、差、倍、分、多少等关系，仔细审题便可找出；而有些关系则是由物理公式得来的。如路程=速度X时间等等。这就需要对物理、化学等学科的有关定律比较熟悉才行，还有一些关系是在生产实践中总结出来的。如在锻造问题中，尽管发生变化，

17、但是体积却没有发生变化，抓住这一相等关系，常常给列方 程带来方便。 思维误区警示本节常见的思维误区是：（I）审题不认真，误解题意M2）解方程后未经蛭验就忙于作答.【例1】 把长为36心m的铁丝甄成相等的两段,用一段弯成一个矩形，另一段弯成一个 有一条边为5 cm的等腰三角形，如果矩形面积与等腰三龟形面积相等，求矩形的 边长二 错解 设矩形的长为式Eh则宽为传-式小皿依题意海#（9 -冗）父8 乂亚二才，整理得/ ”9,+ 12=0.解得“二产,9 答:矩形的边长为 +J'3 cm和9-严叽偌解分析 上述解法错误在于审题不仔细，用长为1呢m的铁丝弯成一个有一条 边为加m的等腰三角形，由于

18、没指出这条边是作底边还是祚腰，所以应该分两种 情况讨论.正解（1）当5cm为等腰三角形的腰时，如图（1）,设矩形的长为我叽,三角形底边上的高="宇二不二，二才（9 -果）=-z- x 8 x 3.却解得力三厘，经检验#=空产都符合题意.底边上的高二Y （券）一（年）=6,2（2）当5cm为等腰三角形的底边时，如图（2）,设矩形的长为加皿，#（9 - 注）七* 5 X 6,即 - - 9工 + 15 ± 0.9* 4经检验x = 9土 产 都符合题意.答:矩形的长为9± a"11n或9土 严皿.品味尝试1、某城市2003年底已有绿化面积 300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2005年底增加到363公顷.设绿化面积平均每年的增长率为X,由题意，所列方程正确的是（） 2A. 300（1+x）=363B. 300（1 +x） =3632C. 300（1 +2x） = 363D. 363（1 x） =3002、如图，在一条长 90米，宽60米的矩形草地上修三条小路，小路都等宽，除小路外,草地面积为5192米2的6个矩形小块，则小路的宽度应为（）A. 1米或104米 B. 1米 C. 2米D. 1.5米3、三个连续奇数的平方和等于155,