一元二次方程知识点总结及典型习题

1、一元二次方程、本章知识结构框图数学问题2 axbx c 0(a0)设未知数，列方程开平方法配方法公式法实际问题的答案分解因式法数学问题的解xb y'b2 4ac2a二、具体容(一)、一元二次方程的概念1 .理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1,未知数的最高次数为 2,整式方程，可化为一般形式；2 .正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数2(1)明确只有当二次项系数 a 0时，整式万程ax bx c 0才是一元二次方程。(2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数 ).(3)熟练整理方程的过程3 . 一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解4 .列出实际问题的一元二次方程(

2、二)、一元二次方程的解法1 .明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2 .根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3 .体会不同解法的相互的联系；4 .值得注意的几个问题：22(1)开平万法：对于形如x n或(ax b) n(a 0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解 形如x2 n的方程的解法:当n 0时，x当 n 0 时，入 X2 0;当n 0时，方程无实数根。2(2)配万法：通过配万的万法

3、把一兀二次万程转化为(x m)n的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤：移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1;配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为(x m)2 n的形式；求解：若n 0时，方程的解为x m 布，若n 0时，方程无实数解。(3)公式法：一元二次方程2ax bx c 0(a 0)的根 xb b2 4ac2a当b2 4ac 0时，方程有两个实数根2当b 4ac 0时，万程有两个实数根当b2 4ac 0时，方程无实数根.,且这两个实数根不相等；，且这两个实数根相等，写为 x

4、i x22a，公式法的一般步骤： 把一元二次方程化为一般式； 确定a,b,c的值；代入b2 4ac中计算其值，判断方程是否有实数根；若b2 4ac 0代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。(因为这样可以减少计算量。另外，求根公式对于任何一个一元二次方程都适用，其中也包括不完全的一 元二次方程。)(4)因式分解法：因式分解法解一元二次方程的依据：如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,即:若 ab 0,贝U a 0或b 0；因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得 到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程

5、的解可得到原方程的两个解。(5)选用适当方法解一元二次方程对于无理系数的一元二次方程，可选用因式分解法，较之别的方法可能要简便的多，只不过应注意二次 根式的化简问题。方程若含有未知数的因式，选用因式分解较简便，若整理为一般式再解就较为麻烦。(6)解含有字母系数的方程(1)含有字母系数的方程，注意讨论含未知数最高项系数，以确定方程的类型；(2)对于字母系数的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可选用别的方法，此时一定不要忘记对字母的取值进行讨论。(三)、根的判别式1. 了解一元二次方程根的判别式概念，能用判别式判定根的情况，并会用判别式求一元二次方程中符合 题意的参数取值围。.2.1

6、 1)=b 4ac(2)根的判别式定理及其逆定理：对于一元二次方程2ax bx c 0 ( a 0)_ , a当方程有实数根;a方程有两个不相等的实数根；当方程有两个相等的实数根；)当a方程无实数根;从左到右为根的判别式定理；从右到左为根的判别式逆定理。(四)相关练习(一)一元二次方程的概念1. 一元二次方程的项与各项系数把下列方程化为一元二次方程的一般形式，再写出二次项，一次项，常数项：2(1) 5x 2 3x(2) 2 6x2 15x 0(3) 3y(y 1) 7(y 2) 5(4) (m m)(m . m) (m 2)2 7 5m(5) (5a 1)24(a 3)22 .应用一元二次方程

7、的定义求待定系数或其它字母的值(x 8)(1) m为何值时，关于 x的方程(m J2)xm(m 3)x 4m是一元二次方程。(m 五)(2)若分式3 .由方程的根的定义求字母或代数式值(1)关于x的一元二次方程(a1)x2 xa210有一个根为0,则a (a 1)2(2)已知关于x的一兀二次万程ax bxc0(a 0)有一个根为1, 一个根为1,则ab c a b c (0, 0)22(3)已知c为实数，并且关于x的一兀二次方程 x 3x c 0的一个根的相反数是方程 x 3x c的一个根，求方程 x2 3x c 0的根及c的值。(0,-3, c=0 )(二)一元二次方程的解法1.开平方法解下

8、列方程：(2) 169(x 3)22892(3) y2 361 0(1) 5x2 125 0(4) (1 J3)m202.配方法解方程：(1) x2 2x 5 02 y 5y 1 02 2y 4y 33.公式法解下列方程:一 2 一 一(1) 3x 6x 22(2) p 3 2,3p,、r 2(3) 7y 11y2(4) 9n 5n 2(5) x 2 (x 2)(2x 1) 34.因式分解法解下列方程:1 2(1 x 9 042(2) y 4y 45 0(3) 8x2 10x 3 02(4) 7x2.21x 0(5) 6x2 3 3x 2、2x -6， 一、2(6) (x 5)2(x 5) 1

9、(x2 3x)2 2(x2 3) 85.解法的灵活运用（用适当方法解下列方程）(1) .2(2x 7:128222(2) 2m m 1 2(m2m)(3) 6x(x 2) (x 2)(x 3)(3)y2 3y(3 2y) y(3y 1)23(4) 81(2x 5)2144(x 3)26.解含有字母系数的方程（解关于x的方程）：/、2 c22 c(1) x 2mx m n 02_2_,(2) x 3a 4ax 2a 12(3) (m n)x 2nx m n2 , 2(4) a (xx 1) a(x2 1) (a2 1)x（三）一元二次方程的根的判别式1.不解方程判别方程根的情况： 4x2 5 4.5x（1） 4x2 x 3 7x 3（x2 2） 4x2 一一一2.k为何值时，关于x的二次方程kx 6x90(1)有两个不等的实数根(2)有两个相等的实数根(3)无实数根23.已知关于x的万程 4x(m 2