2020-2021学年高二数学北师大版必修5学案：3.3.1　基本不等式 Word版含解析

1、§3基本不等式31基本不等式知识点一不等式 填一填当a，b是任意实数时，有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立答一答1“当ab时，等号成立”“仅ab时，等号成立”的含义分别是什么？提示：它们的含义分别是“如果ab，那么a2b22ab”，“如果a2b22ab，那么ab”知识点二基本不等式 填一填(1)概念：如果a，b都是非负数，那么，当且仅当ab时，等号成立我们称上述不等式为基本不等式，其中称为a，b的算术平均数，称为a，b的几何平均数，因此，基本不等式又称为均值不等式(2)文字叙述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(3)意义：几何意义：半径不小于半弦数列意义：两个正数的

2、等差中项不小于它们的等比中项答一答2利用均值不等式求最值时应注意什么？提示：利用均值不等式求最值应注意以下3点：a，b一定都是正数求积ab的最大值时，应看和ab是否为定值； 求和ab的最小值时，应看积ab是否为定值看等号是否能够成立以上三点可简记为“一正、二定、三相等”基本不等式的几何解释如图所示，以长为ab的线段为直径作圆，在直线ab上取点c，使aca，cbb.过点c作垂直于直线ab的弦dd，连接ad，db，易证rtacdrtdcb，那么cd2ac·cb，得cd.而圆的半径为.显然，它大于或等于cd，即.当且仅当点c与圆心重合，即ab时，等号成立类型一判断不等式成立 【例1】下列不

3、等式一定成立的是()alg>lgx(x>0)bsinx2(xk，kz)cx212|x|(xr)d.>1(xr)【思路探究】要判断不等式是否成立，关键是把握其运用基本不等式时能否严格遵循“一正，二定，三相等”这三个条件如果视作函数，则需研究函数的定义域和单调性【解析】a中，当x>0时，由基本不等式可得x22x×x，当且仅当x时取等号，故a不成立；b中，sinx2(sinx(0,1)，sinx2(sinx1,0)，故b不成立；c中，x22|x|1(|x|1)20(xr)，故c成立；d中，显然(0,1(xr)，故d不成立【答案】c规律方法 运用基本不等式判断所给的不

4、等式是否成立，一般有两种处理途径：(1)在不违背基本不等式成立的条件下，进行合理的变形推导(2)可以针对所给条件，结合基本不等式的使用条件，选取恰当的特殊值，举反例排除若a，br，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(d)aa2b2>2abbab2c.>d.2解析：由基本不等式知，只有d选项正确类型二利用基本不等式比较大小 【例2】已知a，b是正数，试比较与的大小【思路探究】可先比较与 的大小，进而再比较与的大小【解】a>0，b>0，2>0，即(当ab时取“”)规律方法 (1)在应用基本不等式时，一定要注意条件是否满足，即a，b是否满足非负数(2)若问题中

5、一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用基本不等式试试看(3)在解题时，要注意不等式的一些性质的运用，如“若ab>0，则”等已知ma(a>2)，n22b2(b0)，比较m，n之间的大小关系解：a>2，maa22224.又b0，2b2<2，n<224，m>n.类型三利用基本不等式证明不等式 【例3】已知a，b，c>0，求证：abc.【思路探究】由条件中a，b，c>0及待证不等式的结构特征知，可以使用基本不等式先证b2a，c2b，a2c，再用同向不等式相加即可【证明】a，b，c>0，b2a，c2b，a2c，

6、abc2a2b2c，故abc，当且仅当abc时取等号【例4】已知a>b，ab1，求证：a2b22(ab)【思路探究】由条件，将a2b2配方为(ab)2的结构，再利用基本不等式即得证【证明】a>b，ab>0.ab1，a2b2a22abb22ab(ab)2222(ab)，当且仅当(ab)22，即ab时取等号规律方法 利用基本不等式证明不等式分为两种题型：(1)无附加条件的不等式恒成立的证明其解题思路是：观察待证不等式的结构形式，若不能直接使用基本不等式，要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑等，使之达到使用基本不等式的条件(2)有附加条件的不等式的证明观察已知条件与待证

7、不等式之间的关系，恰当地使用已知条件，使之能够利用基本不等式并完成证明条件的巧妙代换是一种较为重要的变形(1)求证：a7(其中a>3)(2)已知a>0，b>0，c>0，且abc1，求证9.证明：(1)aa33.a>3，a33237，当且仅当a3，即a5时取等号(2)因为a>0，b>0，c>0，且abc1，所以3()()()32229，当且仅当abc时，取等号易错警示系列基本不等式应用错误在使用基本不等式解决一些问题(求范围、最值等)时，尤其要注意“一正，二定，三相等”是否全部满足，否则很容易导致错误【例5】设实数a，b，x，y满足a2b21，x2

8、y23，则axby的取值范围为_【错解】(，2)【错解分析】axby2，当且仅当ax，by时等号成立，而此时a2b2x2y2与已知条件矛盾，故此种方法错误【正解】，式子的取值范围是(，22，)解析：若ab>0，则2；若ab<0，则2.一、选择题1已知a0，b0，且ab2，则(c)aabbabca2b22 da2b23解析：a0，b0，且ab2，4(ab)2a2b22ab2(a2b2)a2b22.当且仅当ab1时，等号成立故选c.2已知x，yr，下列不等关系中正确的是(a)ax2y22|xy| bx2y22|xy|cx2y2>2|xy| dx2y2<2|xy|解析：x2y2|x|2|y|22|x|y|2|xy|.当且仅当|x|y|时等号成立3下列不等式中正确的是(d)aa4 ba2b24abc.dx22解析：a<0，则a4不成立，故a错；a1，b1，a2b2<4ab，故b错；a4，b16，则<，故