变量间的相关关系、统计案例

1、基础题组练1 某商品的销售量 y（件）与销售价格 x（元/件）存在线性相关关系.根据一组样本数据（xi, yi）（i= 1,2，n）,用最小二乘法建立的回归方程为y=- 5x+ 150,则下列结论正确的是（）A y 与 x 具有正的线性相关关系B .若 r 表示 y 与 x 之间的线性相关系数，贝 Ur =- 5C.当销售价格为 10 元时，销售量为 100 件D 当销售价格为 10 元时，销售量为 100 件左右解析：选 D.由回归直线方程知，y 与 x 具有负的线性相关关系，A 错，若 r 表示 y 与 x之间的线性相关系数，则|r|w1, B 错当销售价格为 10 元时，y=- 5X10

2、+ 150= 100,即110X(心 3-2X20)27.8.60X50X60X50附表:P(K2 k0)0.0500.0100.001ko3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）A 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B 在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D 有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”解析：选 C.根据独立性检验的定义，由K2 7.86.635，可知我们在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下，即有 99%以上的把握认为 “爱

3、好该项运动与性别有关 ”，故选 C.3. （2019 惠州市第二次调研）某商场为了了解毛衣的月销量y（件）与月平均气温 x（C）之间的关系，随机统计了某 4 个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：销售量为 100 件左右,C 错，故选 D.2.通过随机询问110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表:由 K2=男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110(a + b)( c+ d)( a+ c)( b + d)，算得 K2=n (ad - bc)2月平均气温 x/C171382月销售量 y/件24334055由表中数据算出线性回归方程 y= bx+；中的

4、b=- 2,气象部门预测下个月的平均气温约为 6C,据此估计该商场下个月毛衣销售量约为 _ 件.解析：由题中数据，得-=10, y = 38,回归直线 y= bx + a 过点（x , y），且 b= 2, 代入得a= 58,则回归方程 y= 2x+ 58,所以当 x= 6 时，y= 46.答案：464有甲、乙两个班级进行一门课程的考试，按照学生考试成绩优秀和不优秀统计后, 得到如下的列联表：优秀不优秀总计甲班103545乙班73845总计177390利用列联表的独立性检验估计，则成绩与班级 _（填“有关”或“无关” ）解析：成绩与班级有无关系，就是看随机变量的值与临界值2.706 的大小关系

5、.关.答案：无关5. （2019 高考全国卷I）某商场为提高服务质量，随机调查了50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率;（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异?n (ad be)2(a + b)( c+ d)( a + e)( b + d)P(K2 k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：（1）由调查数据知，男顾客中对该商场服务满意的比率为=0.8,因此男顾客对该50商场服务满意的概率的估计值为0

6、8由公式得 K2的观测值 k=90X (10X387X35)217X73X45X450.653V2.706,所以成绩与班级无附：K2=女顾客中对该商场服务满意的比率为茅 0.6，因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为 06100X(心20一 3X10),4.762.50X50X70X30由于 4.7623.841，故有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.6. （2019 广州市高中综合测试（一）某地 110 岁男童年龄 xi（单位：岁）与身高的中位数yi(单位：cm)(i = 1, 2,，10)如下表:x/岁12345678910y/cm76.588.596.8104.1

7、111.3117.7124.0130.0135.4140.2对上表的数据作初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.是 y=- 0.30 x2+ 10.17X+ 68.07.经调查，该地 11 岁男童身高的中位数为145.3 cm.与中的线性回归方程比较，哪个回归方程的拟合效果更好?附：回归方程 y = a + b x 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =n苕(Xi X )(yiy )bb,a=ybx.10一 一、b苕(xix)(yiy)566.85(1)b =10-= 6.871 6.87,导/)282.50曲(xix)；=亍b x=112.456.871X5.574.66,所以

8、 y 关于 x 的线性回归方程为 y= 6.87x+ 74.66.x5.5(Xi x )2解:14012011( (（1）求y关于x的线性回归方程（线（2）某同学认为 y= px2+ qx+ r 更适宜作为 y 关于 x 的回归方程类型，他求得的回归方程若回归方程为 y= 6.87x+ 74.66，当 x= 11 时，y= 150.23.y若回归方程为 y= 0.30 x2+ 10.17x+ 68.07，当 x= 11 时，y= 143.64.|143.64 145.3| = 1.66300空气质量优良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数413183091115记某企业每天由空气污染

9、造成的经济损失为S（ 单 位 ：元），PM2.5 指 数 为 X. 当 x 在 区 间11+ 13+ 16 + 15 + 20+ 216=16,所以35所以 r =t-兀厂(升-y)C - 11I -1L3535=17.5X76=,1 330&36.50.96.6刀Ai=1b=6i=1(yi-y)2=76.0, 100内时对企业没有造成经济损失；当 x 在区间(100, 300内时对企业造成的经济损失 成直线模型(当 PM2.5 指数为 150 时造成的经济损失为 500 元，当 PM2.5 指数为 200 时，造 成的经济损失为 700元)；当 PM2.5 指数大于 300 时造成的经济损失

10、为 2 000 元.(1) 试写出 S(x)的表达式；(2) 试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于 500 元且不超过 900 元的概率；(3) 若本次抽取的样本数据有30 天是在供暖季，其中有 8 天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有 95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染重度污染总计供暖季非供暖季总计100附:P(K2 k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k01.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.8282_ n (ad - bc)2K=(a + b)( c+ d)( a+ c)( b+ d)