2020届内蒙古鄂尔多斯市高考模拟考试(4月)数学(文)试题(解析版)

1、2020届内蒙古鄂尔多斯市高考模拟考试(4月)数学(文)试题第17页共20页一、单选题 .11 .已知集合Ax|x- , B2A. x|x 0 ,1C. x| 1 x 2 【答案】C 【解析】由题意和交集的运算直接求出 【详解】八.1集合 A x| x , B x| 21AI B x| 1 x . 2x| 1 x 0则 AI B ()B11x<-2D . x | x 1AI B.1 x 0故选：C.【点睛】本题考查了集合的交集运算.集合进行交并补运算时，常借助数轴求解.注意端点处是实 心圆还是空心圆2 .若复数z (2 i)(1 i) (i是虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点位于()

2、A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】 将z整理成a bi的形式，得到复数所对应的的点，从而可选出所在象限.【详解】解：z (2 i)(1 i) 2 i2 3i 1 3i ,所以z所对应的点为1,3在第一象限.故选:A.【点睛】本题考查了复数的乘法运算，考查了复数对应的坐标.易错点是误把i2当成1进行af算.r3.已知向量arr r(1,(2) b (4 , 1),且 a b，则A. -B. -C. 124【答案】A)D. 2【解析】根据向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值.【详解】rr- r r由于向量a (1,2), b (4 , 1),且a b,所以1 4

3、210解得故选：A【点睛】 本小题主要考查向量垂直的坐标表示，属于基础题个半圆的直径分别为直角三角形 ABC的斜边BC,直角边AB, AC.已知以直角边1 、一AC, AB为直径的半圆的面积之比为 一，记 4ABCA 2512B.25c. 35由半圆面积之比，可求出两个直角边AB, AC的长度之比，从而可知tanAC 1，结合同角三角函数的基本关系，即可求出AB 2sin,cos,由二倍角公式即可求出sin2 .解：由题意知0,2为直径的半圆面积§2AB2以AC为直径的半圆面积AC2AC2AB2ACAB4.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成,. 2s

4、in由tan2cos1sin1cos2.,5 sin /日5而,，得L ，所以2,5cos 5sin 22sin cos°、52.542 -555故选：D.【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系，考查了二倍角公式.本题的关键是由面积比求出角的正切值.5,已知m,n是两条不重合的直线,是两个不重合的平面，下列命题正确的是（）A.若 mP , mP , n/n/ ，则 PB.若 m / n , m , nC.若 m n , m , n ，则D.若 mn,mP,n ，则【解析】 根据空间中线线、线面位置关系，逐项判断即可得出结果A 选项，若 m P , m P , n/n/ ，则 P或与

5、相交；故A错;B选项，若m/n,m ，则n ，又n是两个不重合的平面，则 P故B正确；C选项，若m n , m ，则n或n/ 或n与相交，又n ，是两个不重合的平面，则P或与相交；故C错;D选项，若m n, mP ，则n或n/ 或n与相交，又n是两个不重合的平面，则P或与相交；故D错;故选B【点睛】本题主要考查与线面、线线相关的命题，熟记线线、线面位置关系，即可求解，属于常 考题型.6 .设等差数列an的前n项和为Sn,若S23,S410,则S6()A. 21B. 22C. 11D. 12【答案】A【解析】由题意知S2,S4 S2§ S4成等差数列，结合等差中项，列出方程，即可求出S

6、6的值.【详解】解：由an为等差数列，可知 S2,S4 S2,S6 S4也成等差数列，所以 2 s $S2 S6 S4 ,即 2 10 3 3 s 10,解得& 21.故选:A.【点睛】本题考查了等差数列的性质，考查了等差中项.对于等差数列，一般用首项和公差将已知量表示出来，继而求出首项和公差.但是这种基本量法计算量相对比较大，如果能结合等差数列性质，可使彳#计算量大大减少.7 .已知抛物线 C: y2 8x的焦点为F , AB是抛物线上两个不同的点，若| AF | | BF | 8,则线段AB的中点到y轴的距离为()A. 5B. 3C. 3D. 22【答案】D【解析】由抛物线方程可得

7、焦点坐标及准线方程而抛物线的定义可知| AF | | BF | X1 2 X2 2 8,继而可求出入 飞 4,从而可求出AB的中点的横坐标，即为中点到y轴的距离.【详解】解：由抛物线方程可知， 2P 8,即p 4, F 2,0 .设A X1,y1 ,B刈小则 AF X1 2, BF X2 2,即 |AF| |BF | x1 2 X2 2 8,所以 x X2 4.所以线段 AB的中点到y轴的距离为 迎盏 2.2故选:D.【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了抛物线的方程.本题的关键是由抛物线的定义求得AB两点横坐标的和8.在关于x的不等式ax2x 1 0 中，a 1”是 ax2 2x 1 0恒成

8、立”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D .既不充分也不必要条件时，a讨论当a 1时,2ax 2x20是否恒成立；讨论当 ax 2x 1 0恒成立1是否成立，即可选出正确答案解：当a 1时,44a 0,由2-ax 2x2,1开口向上，则ax 2x 1 0恒成立;当ax2 2x 1 0恒成立时，若a0,则2x 1不恒成立，不符合题意,若a 0时，要使得ax2 2x 1 0恒成立，则，即 a 1 .4 4a 0所以a 1”是ax2 2x 1 0恒成立”的充要条件故选:C.本题考查了命题的关系,考查了不等式恒成立问题.对于探究两个命题的关系时，一般分成两步，若p q的充分条件；

9、若q p,则推出p是q的必要条件.【解析】 借助导数分析g x x lnx1的单调性，继而分为 xx 0两种情况，探究y的取值情况，即可选出正确图像开始x ln x 1【详解】1_ 一解：令 g x x lnx 1, X 0且x 1,则 g x 1 0,解得 X 1X1 一 当0 x 1时，g x 10,则此时g x x In x 1递减；x ,1当x 1时，g x 1 一 0,则此时g x x In x 1递增. x当x 时，x lnx 1,故此时f x 0且f x 0,排除C,D.当x 0且x 0时，lnx ，则x lnx 1,故此时f x 0且f x 0.故选A【点睛】本题考查了函数的图

10、像.在选择函数的图像时，可借助函数的定义域、奇偶性、对称性 排除几个错误选项，另外，还可以代入特殊点进行排除10 .下边程序框图的算法源于我国古代的中国剩余定理.把运算 正整数N除以正整数m所得的余数是n”记为 N n(modm)”，例如7 1(mod 2).执行该程序框图，则输出的n等于()A. 16B. 17C. 18D. 19【答案】B【解析】由已知中的程序框图可知，该程序的功能是利用循环Z构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，代入四个选项进行验证即可【详解】解：由程序框图可知，输出的数应为被3除余2,被5除余2的且大于10的最小整数若输出n 16 ,则16 1 mod3不符合题意

11、，排除;若输出n 17,则17 2 mod3 ,17 2 mod5 ,符合题意.故选：B.【点睛】本题考查了程序框图.当循环的次数不多，或有规律时，常采用循环模拟或代入选项验证的方法进行解答. 22一 ，一 x y11 .已知双曲线C：by2 1(a 0,b 0)的焦距为2c,过左焦点F1作斜率为1的直线交双曲线C的右支于点P,若线段PF1的中点在圆O：x2 y2 c2上，则该双曲线的离心率为()a. V2B. 242C. 72 1D. 272 1【答案】C【解析】设线段PF1的中点为A,判断出A点的位置，结合双曲线的定义，求得双曲线的离心率.【详解】设线段PF1的中点为A ,由于直线F1P的

12、斜率是1,而圆O : x2 y2 c2 ,所以A 0,c由于O是线段F1F2的中点，所以PF2 2OA 2c,而PF, 2AF1 2 J2c 2J2c,根据双曲线的定义可知|pf/ | PF2 2a ,即272c 2c 2a，即；2vf 2 行 1.故选：C【点睛】本小题主要考查双曲线的定义和离心率的求法,考查直线和圆的位置关系，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题log1 x,x 0312.已知函数f(x) 1 xa , x3若关于x的方程ff(x) 0有且只有一个实数根，则实数a的取值范围是()A. (,0)U(0,1)B. (,0)(1，)C. (,0)D. (0,1)(1,)【解析】

13、利用换元法设t f x ,则等价为f t0有且只有一个实数根，分a 0,a 0,a 0三种情况进行讨论，结合函数的图象，求出a的取值范围.【详解】解：设t f x ，则f t0有且只有一个实数根.X当 a 0 时，当 x 0 时，f x a 10 ,由 f t 0即 log1 t 0 ,解得 t 1,33结合图象可知，此时当 t 1时，得f X11 ,则x 3是唯一解，满足题意;当a 0时，此时当X 0时，f X0,此时函数有无数个零点，不符合结合图象可知，要使得关于题意；X1当a 0时，当X 0时，f x a - a,3X的方程ff(X) 0有且只有一个实数根，此时 a 1 综上所述：a 0

14、或a 1.故选:A.本题考查了函数方程根的个数的应用 利用换元法，数形结合是解决本题的关键二、填空题313.右函数 f (x) (a 1)x2ax2x为奇函数，曲线y f (x)在点(1,f (1)处的切线方程为【答案】5x y 2 0 求出切线的斜率，由点斜式，可写出切线的方程 【解析】由奇函数，可知ff 1 ,从而可求出a 0,求出函数的导数，即可【详解】解：由函数f(x) (a 1)x3 ax2 2x为奇函数可知，f 1 f 1 ,即 a 1 a 2 a 1 a 2 ,解得 a 0,即 f(x) x3 2x.则 f 1 3, f' x 3x2 2,所以 f' 15.则 y

15、 3 5x1,整理得5x y 2 0.故答案为：5x y 2 0.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了导数的几何意义，考查了直线方程.若已知函数的奇偶性，求参数的值，一般都是代入特殊值，列关于参数的方程进行求解；若判断函数的奇偶性，则一般结合函数的图像或奇偶性的定义，判断 f x ,f x 的关系即可.14 .某牧草种植基地 2019年种植A、B、C三种牧草共50亩，种植比例如图所示.该基地计划在2020年扩大A品种和C品种的种植面积，同时保持 B品种的种植面积不变， 这样B品种的种植面积比例下降为 10%.若C品种的种植面积比例保持不变，那么2020年，C品种的种植面积是 亩.m19平片也

16、比也【答案】15【解析】由题意，求出2019年三种牧草的种植面积，由2020年B品种的种植面积比例下降为10%,可求出2020年总共占地150亩，从而可求C品种的种植面积. 【详解】解：2019年A种面积50 0.6 30亩，B种面积50 0.3 15亩，C种面积50 0.1 5 亩.则由题意知，2020年，扩大后，三种牧草总共占地15 0.1 150亩由于C品种的种植面积比例保持不变即为10% ,则150 10% 15亩.故答案为:15.本题考查了饼形图.本题的关键是，求出 2020年三种牧草总的种植面积15 .在三B隹 A BCD 中，侧棱 AB、AC、AD 两两垂直，VABC、VACD、

17、 ADB的面积分别为J6、3亚、J3,则三棱锥A BCD的外接球的表面积为 【答案】20【解析】由已知面积可求三条侧棱的长， 根据侧棱两两垂直， 将三棱锥的外接球转化为长方体的外接球，由三条棱的长可求出球的半径，进而可求球的表面积 【详解】AB ,2AC 2 73.由侧棱两两垂直可知,AD 彳Svabc -AB AC .6 2_1解：由题意知，S/acd 2 AD AC 3V2 ,解得Svadb 1AB AD ,3 2三棱锥和以AB、AC、AD为棱的长方体的外接球相同，球心为长方体体对角线的中点.则三棱锥A BCD的外接球的半径 R Jab2 AC2 AD2.12 6 万,22所以三棱锥 A

18、BCD的外接球的表面积为 S 4 R2 20 .故答案为：20【点睛】本题考查了球表面积的求解，考查了几何体外接球问题.在求几何体的外接球时，通常有三个做题思路，一是转化为长方体的外接球，求体对角线即为直径，但此种思路局限性较大；二是根据几何性质，设出球心和半径，列出关于半径的方程求解即可；三是建 立坐标系.三、双空题16.设函数f(x)ur uLuir uuran AA AA2x*齐，点An(n, f (n)n N , A0为坐标原点，若向量uuuuLirrlll rLAn 1A，设i (1,0)，且n是an与i的夹角，记Sn为数列tan n的前n项和，则tan 3入 11【答案】81 7U

19、L【解析】由向量加法性质可知 anUUULTA0Ann,'n ,由题意知2ntan nn2n1 ,从而nn2可求tan 3的值，由等比数列的求和公式可求出Sn.【详解】uuuuuiruuuurL A A 冬与uuuuuir uuuu解：由向量的加法法则可知anA0AAA2r由 i (1,0),且uurann,；在第一象限，所以 2ntan n为直线AoAn的斜率,由题意知，.tan2n设 bntan n,n则 bn 1 2k ,n N一bn 1，所以 bn2n11,n N2n 1 21则0是以一为首项,21，一一为公比的等比数列，即2111n22Sn2- -1故答案为：-;18【点睛】

20、本题考查了向量的加法法则，考查了等比数列的求和公式，考查了直线斜率的求解.本题的关键是将夹角的正切彳1转化为直线的斜率.求数列的和时，常用的思路有公式法、裂项相消、错位相减、分组求和等.本题注意，应首先先利用等比数列的定义证明tan n为等比数列，再结合等比数列求和公式求解四、解答题17.为践行 绿水青山就是金山银山”的国家发展战略，我市对某辖区内畜牧、化工、煤炭三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到85分及其以上的单位被称为 “A类”环保单位，未达到85分的单位被称为B类”环保单位.现通过分层抽样的方法确定了这三类行业共20个单位进行调研，统计考评分数如下:畜牧

21、类行业:85, 92, 77, 81, 89,87化工类行业:79, 77, 90, 85, 83,91煤炭类行业:87, 89, 76, 84, 75,94, 90, 88(1)计算该辖区这三类行业中每类行业的单位个数;(2)若从畜牧类行业这六个单位中，再随机选取两个单位进行生产效益调查，求选出的这两个单位中既有“A类”环保单位，又有B类”环保单位的概率.【答案】(1) 60、60、80; (2) -815【解析】(1)求出三类行业的个数之比，结合分层抽样的定义可求出每类行业的单位个数.(2)列举出六个单位中随机抽取两个所有的组合情况，即可得到总的事件个数及既有“A类”环保单位，又有B类”环

22、保单位的组合个数，结合古典概型即可求概率【详解】解：(1)由题意得，抽取的畜牧、化工、煤炭三类行业单位个数之比为3:3: 4. 3由分层抽样的定乂，有畜牧类行业的单位个数为一 200 60,10化工类行业的单位个数为 一 200 60,煤炭类行业的单位个数为 200 80,1010故该辖区畜牧、化工、煤炭三类行业中每类行业的单位个数分别为60、60、80.(2)记选出的这2个单位中既有A类"环保单位，又有 B”环保单位为事件 M .这2 个单位的考核数据情形有(85,92) , (85,77) , (85,81) , (85,89) , (85,87) , (92,77) , (92

23、,81) , (92,89),(92,87), (77,81), (77,89), (77,87), (81,87), (89,87), (81,89)共 15 种.其中符合的事件 M的考核数据情形有(85,77) , (85,81) , (92,77) , (92,81),8(77,89) , (77,87) , (81,89), (81,87)共 8 种，故所求概率 P(M).15【点睛】本题考查了分层抽样，考查了古典概型.在求古典概型概率时，一般采用列举法，写出所有的基本事件，然后确定总的基本事件数和符合题意的基本事件数，即可求出概率18 .设VABC的内角 A R C的对边分别为a、b

24、 c,已知2bcosB acosC ccosA.(1)求 B;(2)若VABC是钝角三角形，且 b J3,求a c的取值范围.【答案】(1) &；(2)(质,3)【解析】(1)由正弦定理对 2bcosB acosC ccosA进行边角互化，结合三角形的1内角和te理可得 2sin B cosB sin B ,可求出cosB -,从而可求出B .(2)由正弦定理可知 a 2sin A, c 2sin C ,由三角恒等变换可求a c 2，3sin A 30 ，不妨设90 A 120，结合三角函数的性质，可求出a c的取值范围.【详解】(1)解：由题设知，2sin BcosB sinAcos

25、C sinCcosA,即2sin BcosB sin(A C),1所以 2sin B cos B sin B ,即 cosB ，又 Q 0 B ,所以 B .23sin Csin Asin 60(2)解：由题设知，a c 痘 2，即 a 2sin A, c 2sin C ,所以 a c 2sin A 2sin C 2sin A 2sin 120 A 3sin A . 3 cos A2向sin A 30 ,不妨令 90 A 120120 A 30 150 ,所以 用 2j3sin A 303,即a c的取值范围是（J3,3）.【点睛】本题考查了正弦定理，考查了三角恒等变换，考查了求三角函数的最值

26、 .若已知的式子 中既有边又有角的三角函数值，一般结合正弦定理和余弦定理进行边角互化.本题第二问的关键是结合正弦定理和三角形的内角和定理，用A表示a c.19 .如图，在四棱锥 P ABCD 中，已知 AB/CD , PA AB AD 2 , DC 1 , AD AB , PB PD 2%/2，点M是线段PB的中点.（1）证明：CM 平面PAD;（2）求四面体MPAC的体积. 一- 2【答案】（1）见解析；（2）一3【解析】（1）取PA的中点N ,连接MN ,通过证明MN /DC且MN DC ,证明四 边形MNDC是平行四边形，从而证明 CM /DN ,即可证出线面平行.（2）通过边的关系及线

27、面垂直，可证 AD是C到平面PAM的距离，求出Svpam即可求出四面体MPAC的体积【详解】(1)证明：取PA的中点N ,连接MN ,有MN/AB,且2MN ABMNDC且MN DC ,所以四边形 MNDC是平行四边形.CM/DN , 又DN 平面PAD ,故CM 平面PAD.(2)解：依题意知：pa2 ab2 PB2 8，PA2 AD2 PD2 8，所以PA AB , PA AD ,又因为AB AD A ,所以PA 平面ABCD ,Q AD AB , AD PA, AB PA A, DA 平面 PAB ,又Q CDAB11112AD 是 C 到平面 PAM 的距离.则 VCPAMADSvPA

28、M-2 2 2.332 23【点睛】本题考查了线面平行的判定，考查了线面垂直的判定，考查了三棱锥体积的求解.证明线面平行，由判定定理知可证明线线平行，常用的方法有：三角形的中位线、平行四边形对边平行等.证明线线垂直时，常用的方法有：等腰三角形中三线合一、勾股定理、矩形的临边垂直，菱形的对角线垂直等.20.已知在平面直角坐标系xOy中，动点P与两定点A(0,1), B(0, D连线的斜率之1 积为 一，记点P的轨迹为曲线 E.4(1)求曲线E的方程；(2)已知点M (2,0),过原点。且斜率为k(k 0)的直线l与曲线E交于C,D两点(点C在第一象限)，求四边形 MCAD面积的最大值. 2【答案

29、】(1) y2 1(x 0) ； (2) 272 4【解析】(1)设P(x, y),写出动点P与两定点A(0,1), B(0, 1)连线的斜率，由已知， 可求出x,y的方程，即可求出曲线 E的方程.(2)写出直线l的方程，与曲线E的方程联立，可求出交点C,D的坐标；求出直线AM的方程，即可求出 C,D到am的距离，从而可求出SMCAD1 -AM 2d1d22 4k-1结合基本不等式可求出面积的最大值4kxx第19页共20页【详解】解：(1)设 P(x,y)，Q kAP14化简得:又Qx0,动点P的轨迹方程为1(x 0)(2)设直线l的方程为kx(ky2 x4kx1 4k24,xc2六，xD.1

30、 4k22J4k2 '2kycfr， y,1 4k_2k_1 4k2QA(0,1), M (2,0),直线AM的方程为x2y2 0.点C到直线AM的距离d1|xc 2yc 2| 2 4k 2TT75、5 1 4k2同理：点D到直线AM的距离d22 4k 2714k72I，因为1 2k 1 4k2,且、5 1 4k2,2 4k 21 4k2所以d1 ,d25 1 4 k22 4k 2 1 4k2*5 1 4 k2SMCAD2 AM d1 d2_2_4k_ .1 4k21.1 .当且仅当4k ,即k 时等号成立.四边形MCAD面积的最大值为2，2 k2【点睛】本题考查了曲线方程的求解，考查

31、了点到直线的距离，考查了直线的方程，考查了直线 与曲线的位置关系，考查了基本不等式.本题的易错点是在求曲线方程时，忽略斜率一定存在，即x 0这一条件.求曲线方程一般的做题思路是设出动点坐标，由题意条件列 出关于动点坐标的方程，即可求出；对于一些题目，也可结合椭圆、双曲线、抛物线、 圆的定义，先判断出动点的轨迹，再进行求解x 221.已知函数f (x) e x 2x .(1)求f (x)在区间0,1上的零点个数(其中 f (x)为f(x)的导数)；3 2(2)若关于x的不等式f(x) -x (a 2)x 1在1,)上恒成立，求实数a的取 2值范围.3【答案】(1) 1个；(2)a e -2【解析

32、】(1)求出f (x) ex 2x 2,由单调性的性质可知f (x)在0,1上是增函数，从而结合零点存在定理，可判断f (x)在区间0,1上的零点个数x 1 2(2)参变分离得到a e 2x 1在1, x导数可以证明g(x)在1上是增函数,出实数a的取值范围.x 121)上恒成立，令/、 e 2x 1 ,通过g (x) 2x3从而可求出g(x)ming(1) e 2 ,即可求ex, y 2x在0,1上是增函数,3 2一x (a 2)x 1在1,)上恒成立, 2x 1 21)上恒成立，令，、e 3x1g(x) 2解：(1)由题意知f (x) ex 2x 2,因为y所以f (x)在0,1上是增函数

33、，由f (0) 1 0 210,根据零点存在定理，x0 0,1使f x00,故f(x)在区间0,1上的零点个数是1个.(2)若关于的不等式 f(x)x 12整理得 e 2x 1在1, a则g (x)ex1x2 12(x 1)ex - x2 1 22x(x 1)ex 1令 h(x) ex x 1 ,则 h (x) ex 1 ,而 x 1,)，所以 h (x) 0所以h(x)在1,)上是增函数，即h(x)h(1) e 2 0，有 ex(x 1)ex 1 1 (x 1)(x 1) 1 从而 g(x)2 x2一33则g(x)在1上是增函数，可得 g(x)ming(1) e万.所以a e -.考查了运用导数求函数的单调性,本题考查了零点存在定理， 考查了函数单调性的性质, 考查了函数最值的求解.本题的难点在于第二问中，通过放缩判断g (x) 0.判断函数单调性时，可结合函数图像、导数或者单调性的性质.若f x g x h x 且g x ,h x 都是增(减)函数，则f x 也是增(减)函数；若f x g x h x， 且g x是增函数，h x是减函数，则f x是增函数；若f x g x h x ，且g x是减函数，h x是增函数，则f x是减