第十届华杯赛总决赛二试试题及解答

1、第十届华杯赛总决赛二试试题及解答解答题（共6题，每题10分，写出解答过程）1.如右图，四边形ABC中，对角线AC和BD交于0点。已知：A©1,三角形肋£的面积3并且三角形旳D的面积=亍，那么OC的长是多少?2.将2化成小数等于0.5，是个有限小数；将ii化成小数等于0.090,简记为09 ,是纯循环小数；将6化成小数等于0.1666，简记为016,是混循环小数。现在将2004个分数2 , 3 , 4，2005化成小数，问：其中纯循环小数有多少个?+ "+ + 3.计算 1x3x5 3x5x7 5 x7x9 2001 x 2003 x 2005 o 4"加

2、表示一个十进制的三位数，若 血£等于由a, b, c三个数码所组成的全体两位数的和，写出所有满足上述条件的三位数。5.由26d + e J + M + Q,可以断定26最多能表示为3个互不相等的非零自然数的平方和，请你判定360最多能表示为多少个互不相等的 非零自然数的平方之和?6.有若干名小朋友，第一名小朋友的糖果比第二名小朋友的糖果多2块，第二名小朋友的糖果比第三名小朋友的糖果多 2块，即前一名小朋友总比后一名小朋友多 2块糖果。他们按次序围成圆圈做游戏，从第一名小朋友开始给第二名小朋友 2块糖果，第二名小朋友给第三名小朋友4块糖果，即每一名小朋友总是将前面传来的糖果 再加上自己

3、的2块传给下一名小朋友，当游戏进行到某一名小朋友收 到上一名小朋友传来的糖果但无法按规定给出糖果时，有两名相邻小 朋友的糖果数的比是13： 1，问最多有多少名小朋友?100400351. OQ的长是3.2.其中纯循环小数有801个3 原式=128045.4.共有三个三位数满足条件，它们是：132, 264, 396.5. 360最多能表示为9个互不相等的非零自然数的平方之和，表达式* + 22 + 32 + 42 + 沪 + 72 + 前 + »+02=逾 6.最多有25名小朋友.1. 【解】 AOB与 COB等高，所以 AOB勺面积： COB勺面积=A0： OC又 AODW cod

4、等高，所以 AOD勺面积： CO啲面积=AO： OCAOBH AOD CBDA COB- COD所以 ABD勺面积： CBD勺面积=AO： OC已知 ABD勺面积： CBD勺面积=3 ：5所以 AO： OC= 3 : 5, OC= 3 AO AO= 1, OC= 3 .2. 【解】凡是分母的质因素仅含2和5的，化成小数后为有限小数,凡是分母的质因素不含2和5的，化成小数后为有限小数后为纯循环 小数，所以本题实际上是问从2到2005的2004个数中，不含质因数2或5的共有多少个.这2004个数中，含质因数2的有2004宁2= 1002个，含质因数5的有2005-5= 401个，既含2又含5的有2

5、000- 10=200个，所以可以化成纯循环小数的有2004- 1002- 401 + 200= 801 个.3. 【解】原式=1+4 *1x3 3x5； Ux5 5x7；+ 2001x2003 2003x20051004003=4 x( 1x3 200?x200F ) = 120480454.【解】即求满足 aX 100 + bX 10+ c=( a + b + c) x 10x 2+( a+ b+ c) X 2=22x( a + b+ c)的 a、b、c.上式为：100a + 10b + c = 22a + 22b + 22c,也即：78a 12b 21c因为 12X 9+ 21X 9=

6、297, 297- 78< 4,所以 a 仅可能为 1、2、3,78-1 乃如果a= 1,即 78= 12b + 21c, c= 21 , c 只需用 1、2、3 试验,经验证b= 3,c = 2符合条件;如果a= 2,即 156= 12b + 21c,1 咒-123c= ,经验证b= 6, c = 4,符合条件;如果a= 3,即 234= 12b + 21c,23472Bc = ,经验证b= 9, c = 6,符合条件.所以，共有三个三位数满足条件,它们是:132, 264, 396.5.【解】将1到18的平方列表:要想得到尽量多的数的平方和，尽量取较小的数，从 F开始:*+ 2?+

7、¥+4；+宁+ 62+7'+M+92+10： = 385,已经大于 360 了，刚好比 360 大 25= 5',所以360最多可以表示为9个互不相等的非零自然数的平方和，即:360= 1 + 2+3+4 + e +f + 费 + 92 + 卅6.【解】设有n名小朋友，共传k圈（最后一名传k1圈），中断时各人手中糖数为a.先研究a的取值，0中断（最后一名手中无糖可传）时，耳=2nk 2,磚1= 0,1 = 2n4; 1中断（最后一名手中只有一块糖）时，切=2nk 1,耳=1,1= 2n 3.分六种情况讨论:(1) 0中断,2 处-213如：= 13 : 1，即 0=

8、1 ,显然无解.(2) 0中断,2nk- 213q : °1 = 13 : 1,即加一4 =? => 26n 52= 2nk 2 =>n (13 k)= 25,可得 n= 25, k= 12 (n = 5, k= 8舍去)(3) 0 中断，"1:4= 13 ： 1,2旳- 413即 2k-2 =1 => 26nk 26=2n 4 =>n(13k 1)= 11,无整数解.（4） 1 中断，4 : 4=13 ： 1,即2 戚-1 131=1 => 2nk 1 = 13 => nk可得 n= 7, k= 1 (n= 1,k = 7舍去)2朋-113(5) 1 中断，4 : "1 = 13 :1,即 2«-3 =? => 26n 39=2nk 1 =>n(13 k