2009年高考试题——数学理(四川卷)

1、.2009 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理工农医科）第卷本试卷共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。参考公式：如果事件 A，B互斥，那么 球的表面积公式2S 4RP(A B) P(A) P(B) 其中 R表示球的半径如果事件 A，B相互独立，那么 球的体积公式43V R3P( AgB) P( A)gP(B) 其中 R表示球的半径一、选择题：1. 设集合2S x | x 5 ,T x| x 4x 21 0 , 则SI T. x| 7 x 5 . x| 3 x 5 . x| 5 x 3 . x| 7 x 5a log

2、x(当x 2时)2.已知函数f (x) x2 4 在点x 2处 (当x 2时）x 2连续，则常数 a 的值是. . . .w.w.w.k.s.5.u.c. o.m.复数2(1 2i)3 4i的值是. . .i .i4. 已知函数 ( ) sin( )( )f x x x R ，下面结论错误的是2w.w.w.k.s.5.u. o.mA.函数 f (x) 的最小正周期为 2 B.函数 f (x) 在区间 0,上2是增函数C.函数 f (x) 的图像关于直线 x 0对称 D.函数 f (x) 是奇函数5. 如 图 ， 已 知 六 棱 锥 P ABCDEF 的 底 面 是 正 六 边 形 ，'

3、.PA 平面ABC , PA 2AB ，则下列结论正确的是. PB AD .平面 PAB 平面PBCw.w.w.k.s.5. u.c. o.mC. 直线 BC 平面 PAE . 直线PD与平面 ABC 所成的角为 456. 已知 a, b,c, d 为实数，且 c d。则“ a b”是“ a c b d ”的A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件w.w.w.k.s.5.u. o.mC充要条件 D. 既不充分也不必要条件7. 已知双曲线2 2x y2 1( 0)b2 b的左右焦点分别为 F1, F2 ，其一条渐近线方程为 y x ，点P( 3, y ) 在该双曲线上，则0uuur u u

4、uurPF ?PF1 2=A. 12 B. 2 C .0 D. 4w.w.w.k.s.5.u. c.o. m8. 如图，在半径为 3 的球面上有 A, B,C 三点， ABC 90 , BA BC ，球心 O到平面 ABC 的距离是3 22，则 B、C 两点的球面距离是A. B. C.343D.2w.w.w.k.s.5. u.c. o.m9. 已知直线 l1 : 4x 3y 6 0 和直线 l2 : x 1，抛物线2 4y x上一动点 P 到直线 l1 和直线l 的距离之和的最小值是2A.2 B.3 C.115D.3716w.w.w.k.s.5.u. c.o. m10. 某企业生产甲、乙两种产

5、品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨。销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元，该企业在一个生产周期内消耗 A 原料不超过 13 吨，B 原料不超过 18 吨，那么该企业可获得最大利润是w.w.w.k.s.5.u. c.o. mA. 12 万元 B. 20 万元 C. 25 万元 D. 27 万元w.w.w.k.s.5.u.c. o.m11.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排，若男生甲不站两端， 3 位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是A. 360 B. 228

6、C. 216 D. 96w.w.w.k.s.5.u. c.o. m12. 已 知函数 f (x) 是定义 在实数 集 R 上 的不恒 为零的偶 函数，且对任 意实数 x 都有'.xf (x 1) (1 x) f (x) ，则5f ( f ( ) 的值是2w.w.w.k.s.5.u.c. o.mA.0 B.12C.1 D.52w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m2009 年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）数 学（理科）第卷考生注意事项：请用 0.5 毫 米 黑 色 墨 水 签 字 笔 在 答题卡上书写作答，在试题卷上书写作答无效 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4

7、分，共 16 分把答案填在题中横线上13.16(2 x )2x的展开式的常数项是 （用数字作答）w.w.w.k.s.5.u.c. o.m14. 若2 2O1 : x y 5 与2 2O2 : (x m) y 20( m R) 相交于 A、B 两点，且两圆在点 A处的切线互相垂直，则线段 AB 的长度是w.w.w.k.s.5. u.c. o. m15. 如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1 的各条棱长都相等， M 是侧棱CC 的 中 点 ， 则 异 面 直 线 AB1和BM 所 成 的 角 的 大 小1是 。w.w.w.k.s.5.u.c. o.m16 设 V 是 已 知 平 面 M 上 所

8、 有 向 量 的 集 合 ， 对 于 映 射f :V V ,a V ，记 a 的象为 f (a) 。若映射 f :V V 满足：对所有 a,b V 及任意实数, 都有 f ( a b) f (a) f (b) ，则 f 称为平面 M 上的线性变换。现有下列命题：设 f 是平面 M 上的线性变换，则 f (0) 0w.w.w.k.s. 5.u. c.o. m对 a V,设f (a) 2a ，则 f 是平面 M 上的线性变换；w.w.w.k.s.5.u.c. o.m若 e是平面 M 上的单位向量，对 a V ,设f (a) a e，则 f 是平面 M 上的线性变换；设 f 是平面 M 上的线性变换

9、， a,b V ，若 a,b共线，则 f ( a), f (b) 也共线。其中真命题是 （写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. （本小题满分 12 分）'.在VABC中，A,B 为锐角， 角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b, c ，且3 10cos 2A ,sin B5 10（I）求 A B 的值；（II）若 a b 2 1，求 a, b, c 的值。18. （本小题满分 12 分）为振兴旅游业，四川省 2009 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡（简称金卡） ，向

10、省内人士发行的是熊猫银卡（简称银卡） 。某旅游公司组织了一个有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游，其中1 2游客中有 持金卡，在省内游客中有 持银卡。3 334是省外游客，其余是省内游客。在省外（I）在该团中随机采访 3 名游客，求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率；（II）在该团的省内游客中随机采访 3 名游客，设其中持银卡人数为随机变量 ，求 的分布列及数学期望 E 。19（本小题满分 12 分）如图，正方形 ABCD所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互'.相垂直， ABE是等腰直角三角形， AB AE ,FA FE , AEF 45（I）求证： EF 平面BC

11、E ；（II）设线段 CD 的中点为 P，在直线 AE 上是否存在一点 M ，使得 PM P平面BCE ？若存在，请指出点 M 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由；（III）求二面角 F BD A的大小。20（本小题满分 12 分）已知椭圆2 2x y 2 1(a b 0)a b的左右焦点分别为 F1, F2 ，离心率2e ，右准线方程为2x 2。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点uu uu r uuuurF 的直线 l 与该椭圆交于 M ,N 两点，且 F2M F2 N12 263，求直线 l 的方程。21. （本小题满分 12 分）x已知 a 0,且a 1函数 f (x) lo

12、g (1 a ) 。a'.（I）求函数 f (x) 的定义域，并判断 f (x) 的单调性；（II）若n Nf (n)a* , lim ;求nna a（III）当 a e（ e为自然对数的底数）时，设 h( x) (1 ef ( x) )( x2 m 1) ，若函数 h( x) 的极值存在，求实数 m 的取值范围以及函数 h( x) 的极值。22. （本小题满分 14 分）设 数 列a 的 前 n 项 和 为 Sn ， 对 任 意 的 正 整 数 n ， 都 有 an 5Sn 1 成 立 ， 记n4 an *b (n N )n1 an。（I）求数列b 的通项公式；n（II）记*c b2

13、 b2 1(n N ) ，设数列n n nc 的前 n项和为 Tn ，求证：对任意正整数 n 都有n3T ；n2（III）设数列b 的前 n 项和为 Rn 。已知正实数 满足：对任意正整数 n, Rn n 恒成立，n求 的最小值。'.数学（理工农医类）参考答案一、 选择题：本体考察基本概念和基本运算。每小题 5 分，满分 60 分。（1） C （2） B (3) A (4) D (5) D (6) B(7) C (8) B (9) A （10）D (11) B (12) A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算。每小题 4 分，满分 16 分。o（13） -20 （14）4 （15）9

14、0（16）三、解答题（17）本小题主要考查同角三角函数间的关系，两角和差的三角函数、二倍角公式、正弦定理等基础知识及基本运算能力。解：（） Q A、 B 为锐角，sin10B ，102 3 10cos B 1 sin b10又2 3cos2 A 1 2sin A ，5sin5A ，52 2 5cos A 1 sin A ，5cos( A B) cos A cosB sin A sin B2 5 3 10 5 10 25 10 5 10 2Q 0 A BA B 6 分4（）由（）知3C ,4sin 2C . 2由正弦定理a b csin A sin B sin C得5a 10b 2c ，即 a

15、2b ，c 5bQ a b 2 1，2b b 2 1， b 1a 2,c 5 12 分（18）本小题主要考察相互独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概率计算，考察运用概率只是解决实际问题的能力。解：（）由题意得，省外游客有 27 人，其中 9 人持金卡；省内游客有 9 人，其中 6 人持银卡。设事件 B 为“采访该团 3 人中，恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2人”，事件 A1为“采访该团 3 人中， 1 人持金卡， 0 人持银卡”，'.事件 A2 为“采访该团 3 人中， 1 人持金卡， 1 人持银卡”。P(B) P(A ) P(A )1 21 2 1 1 1C C C

16、 C C9 21 9 6 213 3C C36 369 27 34 1703685所以在该团中随机采访 3 人，恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是3685。 6 分（） 的可能取值为 0，1，2，3P( 0)3CC339184,P( 1)1 2C C6 3 3C9314P( 2)2 1C C6 33C91528，P( 3) 36 39CC1521，所以 的分布列为0 1 2 3P 13 15 584 14 28 21所以1 3 15 5E 0 1 2 3 2 ， 12 分84 14 28 21（19）本小题主要考察平面与平面垂直、直线与平面垂直、直线与平面平行、二面角等基础知识，

17、考察空间想象能力、逻辑推理能力和数学探究意识，考察应用向量知识解决数学问题的能力。解法一：（）因为平面 ABEF 平面 ABCD, BC 平 面 ABCD ，平面 ABEF I 平面 ABCD AB，所以 BC 平面 ABEF 所以 BC EF .因 为 ABE 为 等 腰 直 角 三 角 形 ，AB AE ，o 所以 AEB 45又因为 AEF 45o ，'.o o o所以 FEB 45 45 90，即 EF BE B ,所以 EF 平面 BCE 。 4 分（）存在点 M ,当 M 为线段 AE的中点时， PM平面 BCE取 BE的中点 N，连接 AN,MN，则 MN所以 PMNC为

18、平行四边形，所以 PMCN12ABPC因为 CN在平面 BCE内，PM不在平面 BCE内，所以 PM平面 BCE 8 分（）由 EAAB,平面 ABEF平面 ABCD，易知， EA平面 ABCD作 FGAB,交 BA的延长线于 G，则 F GEA。从而， F G平面 ABCD作 G HBD于 G，连结 F H，则由三垂线定理知， BDFH因此， AEF为二面角 F-BD-A 的平面角因为 FA=FE, AEF=45° ,所以 AFE=90°， FAG=45°.设 AB=1,则 AE=1,AF=22.FG=AF·sinFAG=121在 Rt FGH中， G

19、BH=45°,BG=AB+AG=1+2=32,GH=BG·sinGBH=32·22=3 24在 Rt FGH中，tanFHG=FGGH=23故二面角 F-BD-A 的大小为 arctan23. 12 分解法二 :( ) 因为 ABE为等腰直角三角形 ,AB=AE,所以 AEAB.又因为平面 ABEF平面 ABCD,AE 平面 ABEF,平面 ABEF平面 ABCD=AB,所以 AE平面 ABCD.所以 AEAD.因此,AD,AB,AE 两两垂直 , 以 A 为坐标原点 , 建立如图所示的直角坐标系 A-xyz.设 AB=1,则 AE=1，B（0，1，0），D (1

20、, 0, 0 ) ,E ( 0, 0, 1 ), C ( 1, 1, 0 ).因为 FA=FE,AEF = 45 °,'.所以 AFE= 90°.1 1从而， F (0, , ) .2 2uuur uuur uuur 1 1EF (0, , ) , BE (0, 1,1), BC (1,0,0)所以2 2uuur uuur u uur uuur 1 1EF ?BE 0 0, EF ?BC 0 2 2.所以 EFBE, EFBC.因为 BE 平面 BCE,BCBE=B ,所以 EF平面 BCE.( ) 存在点 M,当 M为 AE中点时 ,PM平面 BCE.1 1M (

21、 0,0,), P ( 1, ,0 ).2 2uuuur 1 1从而 PM ( 1, , )= ,2 2uuuur u uur 1 1于是 PM · EF ( 1, , )= ·2 2 1 1(0, , ) 2 2=0所以 PMFE,又 EF平面 BCE，直线 P M不在平面 BCE内，故 PMM平面 BCE. 8 分( ) 设平面 BDF的一个法向量为urn1，并设urn1=（x,y,z）.u uuvBD （1， 1，0）uv u uuvn gBD 01uv u uuvn gBF 01，u uuv3 1BF 0 （ ， ，）2 2x y 03 1即y z 02 2取 y=

22、1，则 x=1，z=3。从而uuvn 113（ ，）。1取平面 ABD 的一个法向量为u uvn2（0，0，1）。uv uuvuuv uuv g n n 3 3 11 1 2cos(n , n ) uv uuv1 211g1 11n n1 2。故二面角 FBDA 的大小为 arccos3 1111。 12 分（20）本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。c 2解：（）有条件有a 2 2a2c，解得 a 2，c=1。'.2 2b a c 1。所以，所求椭圆的方程为2x22y 1。 4 分（）由（）知 F1( 1,0) 、 F（2 1，0

23、）。若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程为 x=-1.将 x=-1 代入椭圆方程得y22。不妨设2M ( 1, ) 、22N（ 1， ），2uuuvu uuuvF M F N2 22 2( 2, ) ( 2, ) ( 4,0)2 2.uuuvu uuuvF2M F2N 4, 与题设矛盾。直线 l 的斜率存在。设直线 l 的斜率为 k，则直线的方程为 y=k（x+1）。设M (x ，y ) 、 N(x2 , y2 ) ，1 1联立2x2 y 12y=k(x+1)，消 y 得2 2 2 2(1 2k )x 4k x 2k 2 0 。由根与系数的关系知24kx x1 2 21 2k，从而2k

24、y y k(x x 2)1 2 1 2 21 2k，uuuuv uuuuvQ F2M ( x1 1, y1) ， F2 N (x2 1, y2 ) 又 ，uuuuv uu uuvF2M F2 N (x1 x2 2, y1 y2 )。uuuu v uuuuv2 2 2F2M F2 N ( x1 x2 2) (y1 y2 )28k 2 2k2 2( ) ( )2 21 2k 1 2k4 24(16k 9k 1)4 24k 4k 14 24(16k 9k 1) 2 262( )4 24k 4k 1 3。'.化简得4 240k 23k 17 0解得 2 2 17k 1或者k 40k 1.所求直

25、线 的方程为 或者l y x 1 y x 1（21）本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。x 解：（）由题意知 1 0a当0 a 1时，f (x)的定义域是（ 0， ）；当 a 1时，f (x)的定义域是（ ，0）f (x)=x x-a a ln aglog ex a xa a1 1x x当0 1 (0, ). 1 0, 0,a 时，x 因为a a 故f (x)<0, 所以f(x) 是减函数x x当 1 ( ,0), 1 0, 0, ( ) 0, ( )a 时，x 因为a a 故f x 所以f x 是减函数 .（4 分）（）因为n f (

26、n) nf (n) log (1 a ),所以a 1 aa由函数定义域知 1na >0,因为 n 是正整数，故 0<a<1.所以f (n) 1 n 1a alim limn nn na a a a a（）x 2 x 2（h x) e ( x m 1)(x 0), 所以h ( x) e (x 2x m 1)令2h (x) 0,即x 2x m 1 0,由题意应有 0，即m 0 当 m=0 时， h (x) 0有实根 x 1，在 x 1点左右两侧均有 h ( x) 0 故无极值 当 0 m 1时， h ( x) 0 有两个实根 x1 1 m, x2 1 m当 x 变化时， h (x

27、) 、 h(x) 的变化情况如下表所示：x( ,x ) x1 ( x1, x2 ) x2 ( x2 ,0)1h (x) + 0 - 0 +h(x) 极大值 极小值 '.h( x) 的极大值为1 m2e (1 m) ， h(x) 的极小值为1 m2e (1 m) 当 m 1时， h ( x) 0 在定义域内有一个实根， x 1 m同上可得 h( x) 的极大值为1 m2e (1 m)综上所述， m （0， ）时，函数 h(x) 有极值；当 0 m 1时h(x) 的极大值为1 m2e (1 m) ， h( x) 的极小值为1 m2e (1 m)当 m 1时， h( x) 的极大值为1 m2e (1 m)（22）本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。解：（）当 n 1时，a 5a 1, a1 1 114又Qa 5a 1,a 5a 1n n n 1 n 11a a 5a ,即a an 1 n n 1 n 1 n41数列 an 成等比数列，其首项 a1 ，公比是4q1