泰勒公式例题资料

1、泰勒公式及其应用等价无穷小在求函数极限中的应用及推广泰勒公式及其应用1 引言泰勒公式是高等数学中一个非常重要的内容，它将一些复杂函数近似地表示 为简单的多项式函数，这种化繁为简的功能，使它成为分析和研究其他数学问题 的有力杠杆作者通过阅读大量的参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真演 算,其中少数难度较大的题目之证明来自相应的参考文献，并对这些应用方法做了系统的归纳和总结由于本文的主要内容是介绍应用，所以，本文会以大量的例 题进行讲解说明2 预备知识定义2.1若函数f在X。存在n阶导数,则有f(x)= f(X0) ¥(xf) 堺(XF)2 川-卑(X -Xo)n o(x -Xo 门

2、 n!(1)这里0(X-Xo)n)为佩亚诺型余项，称f在点Xo的泰勒公式.当 Xo =0 时，(1)式变成 f(x)二 f(0)丄-(0)Xn o(Xn),1!2!n!称此式为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林公式.定义2.2f(X)= f(X。) f (Xo)(X -Xo)若函数f在Xo某邻域内为存在直至n - 1阶的连续导数，则警(X". n!f(n)(Xo)(X-Xo)" Rn(x),f (n -1)(')(x xo)n 1,其中在x与xo当 Xo=o 时，(2)式变成 f(x)二 f(o) f'(o)x2 X 2!Q Xn R"(x) n!(2)

3、这里Rn(x)为拉格朗日余项Rn(x)二(n 十 1)!之间,称(2)为f在x0的泰勒公式.称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式.常见函数的展开式:x2n1(2n 1)!,z 2n+2o(x ).cosx24x x =1 -2!4!62nxn x(-1)-6!(2n)!o(x2n).ex=1 x 兰 E 丄x2!n! (n +1)!35XXnsin x =x(1)3!5!23n 1ln(1 x) =x 仝x(1)n?o(xn .23n +111 x=1 xx2xno(xn)mm(m 1) 2(1 x) =1 mxx -:!定理2.1 3(介值定理)设函数f在闭区间a,b上连续,且f(a)

4、=f(b),若为介于f (a)与f (b)之间的任何实数,则至少存在一点(a,b),使得3泰勒公式的应用3.1 利用泰勒公式求极限为了简化极限运算，有时可用某项的泰勒展开式来代替该项，使得原来函数 的极限转化为类似多项式有理式的极限，就能简捷地求出x22例3.1求极限limcosx -e分析：此为0型极限,若用罗比达法求解,0别用泰勒展开式代替，则可简化此比式则很麻烦,这时可将cosx和e 2分224_x_由 cosx =1 xo(x4) , e 2 =12!4!2(f)2o(x4)得x2cosx-e 211441444T2）x o（x）_12x O（x）,于是limx_02Xcosx-e 2

5、limx ）014X4 * O（x4） 124X112x . sin x2例3.2极限limlf0 sinx- xcosxx-分析：此为-型极限,若用罗比达法求解，0分别用泰勒展开式代替，则可简化此比式.x则很麻烦,这时可将cosx和sinx, e解:23丄 X,XV V3由 e-1-x-?si nx=1 + x+ +o（x）-1-x-X/尹3f+o（x3）343廿如尸廿畋）,3233sinx- xcosx = x-*+o（X）-x（1-+o（x ）3Lo（xxx- si nx）于是xe -1- lim xf0 sinx- xcosx3+ o（X）3x* to-sinx limjttOX3 。

6、sinx= x-x36例3.3利用泰勒展开式再求极限fex = x + -x3 + U"'）解：x-sinx = x+-x3 + o(x3)-x-x3 +o(x3)36f 1 q 1323=(X X)+ ( X d X ) +) 0(X ) 36=-X3 + o(x3)2 1 1r tgx-nx v 尹 +o(x) 2X r o(x3) 1lim= lim = lim- + lim = 一51XTO XXTO X x-*o r 2【注解】现在，我们可以彻底地说清楚下述解法的错误之处因为，从而tgx-nxX-X anlim= limy- = limO = 01 o 3 当，恤，

7、），应为3.2 利用泰勒公式证明不等式当所要证明的不等式是含有多项式和初等函数的混合物，不妨作一个辅助函 数并用泰勒公式代替，往往使证明方便简捷.4例3.2 当x _ 0时，证明sin x亠x - 一 x3.6一证明 取 f(x)二 sinx-xx3, x0 = 0 ,则6Inininf (0) =0, f (0) =0, f (0) =0, f (x) h -cosx, f (0)0.带入泰勒公式,其中n =3,得一 0f (x) =0 0 0 一cos 一 x x3，其中 o :： V :一.3!一当 x 一 0 时，sin x _ xx3.63.3 利用泰勒公式判断级数的敛散性当级数的通

8、项表达式是由不同类型函数式构成的繁难形式时，往往利用泰勒公式将级数通项简化成统一形式，以便利用判敛准则.3.3 利用泰勒公式判断广义积分的敛散性例3判断广义积分/；°° （、x+1+. x-1 -2、X）dX勺收敛性解:-2),利用泰勒公式将+ 1=1+丄 +x 2x 22 + 0(2),x x1- 1 =11+ 2x2!4+0筍,x x1 1 1 _ (_ -1).x + 1 +、x - 1 - 2、x =、x1+ + 222x 212x1+ 0(7) + 1-2x1 1乂-1)11 i2 +。(二)-2x2!1/ 1、可少 I Jx+1 + Jx- 1 - 2依|=-3

9、+。(飞)，因此 lim=14x2 x2卜 3 幕的形式，开二次方后恰与4x°由于/；"丄y收敛，所以(Jx + 1 + Jx- 1 -2仮巾対勺收敛4x2例3.3 讨论级数二（1 -、In n 的敛散性.vn Y n分析：直接根据通项去判断该级数是正向级数还是非正向级数比较困难，因n +111而也就无法恰当选择判敛方法，注意到ln二ln（1 ）,若将其泰勒展开为丄的nnn相呼应,会使判敛容易进行解因为ln=ln(1 - ) Jn n1_2n2 3n31_4n4JHn所以1 1 n i , n所以J, 01故该级数是正向级数.又因为 由题设f'(a) ：0, f&#

10、39;()空0 ,于是有lim二一二,从而必存在b a,使得f (b) ： 0,又 因为f(a) 0,在a,b上应用连续函数的介值定理,存在x0 (a,b),使f(x0)=0, 由f(x)的严格单调性知x0唯一，因此方程f(x)=0在(a, ：)内存在唯一实根.in：11 1n 2n21 , 1、 1 1 1 3 0(一3 )233n3n3.n n2 4n3GJ所以Un11 n 11/ 1U* n ：.n，n2n"2n'因为&n =1丄 收敛,所以由正向级数比较判别法知原级数收敛2n23.4利用泰勒公式证明根的唯一存在性例3.4 设 f(x)在a, ：)上二阶可导，且

11、 f(a) 0, f'(a) ： 0 ,对 x (a, ：), f''乞0 , 证明： f(x) = 0在(a,：)内存在唯一实根.分析：这里f(x)是抽象函数,直接讨论f(x)=0的根有困难，由题设f(x)在 a,：)上二阶可导且f (a)0, f'(a) ： 0 ,可考虑将f(x)在a点展开一阶泰勒公式然后设法应用戒指定理证明.证明 因为f (x)込0 ,所以f (x)单调减少，又f (a) ： 0 ,因此x>a 时，f'(x) ： f'(a) :： 0 ,故f(x)在(a, v)上严格单调减少.在a点展开一阶泰勒公 式有'f

12、'( r )f (x)二 f (a) f (a)(xa)(xa)2(a ：: x)23.5 利用泰勒公式判断函数的极值例3.5 4(极值的第二充分条件)设f在x0的某邻域U(x0;J内一阶可导， 在 x=x°处二阶可导,且 f'(x°) =0 , f "(x°) = 0 .(i) 若f "(x。)： 0,则f在X。取得极大值.(ii) 若f''(x。)0,则f在X。取得极小值.证明由于由条件，可得f在X0处的二阶泰勒公式f(X°)f (X0 )f(X)二 f(X°)丄(X-X0)-1! 2!亿

13、)=0,因此2 2(X-X0)o(x-X0).f (x )f(X)-f(X0円亍 o(1)(X-X0)2.(*)又因f "(X0)= 0 ,故存在正数J ,当U(x° J)时，丄f "(X0)与21f (X0) o同号.所以，当f(X0)： 0时,(*)式取负值，从而对任意X U(X0； J)有f(X)- f(X0): 0 ,即f在X0取得极大值.同样对f (X0)0,可得f在X0取得极小值.3.6 利用泰勒公式求初等函数的幕级数展开式利用基本初等函数的幕级数展开式，通过加减乘等运算进而可以求得一些较 复杂的初等函数的幕级数展开式.1例3.6 求 的幕级数展开式.

14、1+x+xIH)2二(n 1)解利用泰勒公式3.7 利用泰勒公式进行近似计算,利用利用泰勒公式可以得到函数的近似计算式和一些数值的近似计算 f(x)麦克劳林展开得到函数的近似计算式为f (x) ： f(0) f'(0)x血x2州心2!n!其误差是余项Rn (x).例3.7 计算Ln 1.2的值,使误差不超过0.0001解 先写出f(x)=Ln(1+x)带拉格朗日型余项的麦克劳林展开式:x2 X3 小nXnLn(1 x)二 x(-1) Rn(x),23nn n 1(-1) x其中)乙“I广1(在 0与x之间). 令x=02要使(0 2)n|Rn(x)Sn 1)(1)n"0.2)

15、n1"0001(022)则取n = 5即可.因此ln 1.20.2 -0.02 0.00267 -0.00040 0.00006 =0.1823其误差 | R5 卜：0.0001当要求的算式不能得出它的准确值时，即只能求出其近似值，这时泰勒公式 是解决这种问题的最好方法.1 2 ，- 例3.8 求edx的近似值,精确到10 .01 2在ex的展开式中以42nx2代替x得r2十宀和川日汁川逐项积分,得1 2 1e dx 1dx -1x4一dx - nr 2!=1 -1 丄L1-(T)" -L_1 32! 5n! 2n 11111 1 10 01x2dx + 0"0x

16、2ndx川 n!=1 _310422161329936075600上式右端为一个收敛的交错级数，由其余项Rn(x)的估计式知1R|0.00001575600所以e'dx 1 -1 丄一丄丄一0.7468363 10 42216 1329 9360解 因为.°edx中的被积函数是不可积的(即不能用初级函数表达)，现用3.8 利用泰勒公式求高阶导数在某些点的数值如果f(x)泰勒公式已知,其通项中的加项(xx°)n的系数正是-f (n)(xo),从 n!而可反过来求高阶导数数值，而不必再依次求导.2例3.9 求函数f(x)二x ex在x=1处的高阶导数f(100)(1)

17、解设x=u+1,则=(u 1)2eu e, f(n)(i)= g(n)(o).f(x) =g(u) =(u +1) 易知e(")eu在u=0的泰勒公式为99100u u100o(u ),100!98u ,Ue =1 u98!99!从而98g(u)二e(u2 2u 1)(1 u u99100u u/ 100、o(u ),98!99!100!100而g(u)中的泰勒展开式中含u100的项应为gu100,从g(u)的展开式知u100的100!项为e(丄-)u100,因此1),g100(0) =e 10101 ,98!99!100!100 100 .(1) = g (0) = 10101e.

18、98!99!100!100 /g (0) e( 1 e( 100!3.9 利用泰勒公式求行列式的值若一个行列式可看做x的函数(一般是x的n次多项式)，记作f(x),按泰 勒公式在某处xo展开,用这一方法可求得一些行列式的值.3.10 求n阶行列式D=记仁以)=D ,按泰勒公式在Ifn(X)= f (Z)电严(X - z)1!(1)z处展开:3)22!注 z)nn!z -y00 0z y0 D =00z_y000 0z - y0kJ= z(z- y)z y(3)由(3)得，fk(z) =z(z y)：k = 1,2,，n时都成立.根据行列式求导的规则，有fn(X)= nfn(X), fn(X)=

19、( n_ 1)仁工仪),f?©) = 2 fX), f；(X)=1(因为 fi(XX). 于是fn(x)在X = z处的各阶导数为fn(Z)=仁 J = nfn(Z)= nZ(Z 丫严，fn"(z) = fn'(z)nfn(z) =n(n - 1)z(z y)2,fnnJL(z)二 fnnJL |xm n(n 一 1)2fMz)二 n(n 1)2zfn(n)(z)二 n(n -1)2 1把以上各导数代入(2)式中,有fn(x) =z(z y)2 #z(z y)2(xZ) n(；1)z(z y)nJ3 (x - z)2(n -1)!n!若 z 二 y,有 fn(x)

20、= (x - y)nx (n - 1)y,z( x - y)n - y( x _ z)n若 z =y,有 fn(x).z y4总结本文主要介绍了泰勒公式以及它的九个应用，使我们对泰勒公式有了更深一 层的理解，怎样应用泰勒公式解题有了更深一层的认识.,只要在解题训练中注意 分析,研究题设条件及其形式特点，并把握上述处理规则，就能比较好地掌握利用 泰勒公式解题的技巧.无穷小 极限的简单计算【教学目的】1、理解无穷小与无穷大的概念；2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法。【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较；3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替

21、换；4、求极限的方法。【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较用等价无穷小求极限。难点是未定式的极限的求法。【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质(30分钟)，在理解无穷小 与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法(20分钟)o最后归纳总结求极限的常用方法和技巧(25分钟)，课堂练习(15 分钟)o【授课内容】一、无穷小与无穷大1. 定义前面我们研究了 n数列Xn的极限、Xr ( Xr J - > Xr :)函数f X 的极限、X-; X0 ( X-; X0 > X-; Xq)函数f (x)的极限这七种趋近方式。下面 我们用X > 表示上述

22、七种的某一种趋近方式，即XoX Xo_；*"nXr Xr ： X JX X0 X >定义：当在给定的X > *下，f(x)以零为极限，则称f(x)是X > *下的无 穷小，即lim f X =0 o例如，；limsinx=0,.函数sin x是当x 0时的无穷小.lim - =0, 函数丄是当x 、：时的无穷小.XXX(_1)n(_-)nnnlim J丄=0,.数列-L是当n：时的无穷小.n【注意】不能把无穷小与很小的数混淆； 零是可以作为无穷小的唯一的数， 任何 非零常量都不是无穷小。定义：当在给定的X*下，f X无限增大，则称f X是X > *下的无 穷大

23、，即lim f x - ： o显然，n时，n、n2、n3、都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。无穷 小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是 无穷大，如lim eX =0，lim eX =代 ，X X ：所以eX当x-二时为无穷小，当:时为无穷大。2无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果 f x为无穷 大，则丄为无穷小；反之，如果f X为无穷小，且f x = 0，则亠为无穷大。f Xf X小结：无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势，因此任何常量都不是 无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量

24、、无穷小量之时，首先应 给出自变量的变化趋势。3.无穷小与函数极限的关系：定理1l?m f (x) = A? f (x) A+ : (x),其中(x)是自变量在同一变化过x. X X程X Xo (或Xr )中的无穷小.证：(必要性) 设 lim f(x)= A,令工(x)二 f (x)- A,则有 lim : (x) = 0, x? Xox? x0f (x)二 A 】二(x).(充分性)设f (x)二A+a (x),其中a(x)是当x? x0时的无穷小，则lim f (x) = lim( A+ : (x)二 A lim :- (x)二 A.x 冷x xojxo【意义】(1 )将一般极限问题转化

25、为特殊极限问题(无穷小);(2) 给出了函数f (x)在沧附近的近似表达式f (x) ? A,误差为:(x).3.无穷小的运算性质定理2在同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.例如，n二时丄是无穷小，但n个丄之和为1不是无穷小.nn定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.1 1 1如：lim(-1)n0， lim xsin 0， lim sinx=0n 护nTx推论1在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如，当x? 0时,x,x2,sin x, x

26、2 sin都是无穷小，观察各极限:x2lim =0, x2比3x要快得多；lim-1, sin x与x大致相同；x 10 x2 . 1x sin1lim= lim sin不存在.不可比.x)0xxT0x:1 0.极限不同，反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1 定义：设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小，且(1) 如果lim = 0,就说：是比：高阶的无穷小，记作：=o(：J;aP(2) 如果lim C(C=0),就说：与:是同阶的无穷小；a特殊地 如果lim = 1,则称与：是等价的无穷小，记作：;ap(3) 如果lim=C(C? 0,k0),就说：是:的k阶的无穷小.a例1 证明：当x 0

27、时,4xtan3x为x的四阶无穷小.证：例24xta n3 x4x二4 li叫(tan x)3二4,故当x； 0时,4xtan3 x为x的四阶无穷小 x当Xr 0时，求tan xsinx关于x的阶数.tanx sin x 解；limx 屮tan x=lim (-J0x1 -cosx)=丄，.tanx-sinx为x的三阶无穷小22 常用等价无穷小(1) sin x x ；(4) arctanx x ；x2(7) 1cosx 2用等价无穷小可给出函数Pa -Plim =1, . limaa:当x > 0时,(2) arcsinx x ；(5) ln(1 x)x ；(8) (1x) 1 x0,

28、即- - - - o(一二),于是有(3) tanx x ；(6) ex - 1 x(9) ax- 1 In a* x-o(j).1例如 sin x = x o(x), cosx =1x2 o(x2).23 等价无穷小替换B，定理：设:- , - 且lim 存在，则a r证:Plim = lim(=: 一) aP r a r aP lim = lim . aP H &=lim = lim lim P Ha(1)求lim曲空T1 cosxa=lim . a rx2(2) lim- T cos X 1(1)当x； 0时，1 -cosxtan 2x 2x.故原极限=lim/ 8X? 0 12

29、x22x =2x-0 _ x_2tan x sin x 求lim 厂 x 0 sin 2x(2)原极限=lim错解：当X； 0时，tan x x, sin x x.原式=lim x 一 x =0 T (2x)3正解：1 3 当x 0时,sin 2x 2x, tan x - sin x = tan x(1 - cosx) x ,2lx3故原极限=_2_(2x)3116【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换, 行等价无穷小替换。只有因子乘积形式才可以进求 limtan5x-cosx 1x 0sin3x解： tan x =5x o(x), sin 3x =3x o(x), 1 - cosx 二

30、x2 o(x2).21 2, 2o(x) 1o(x2)5x+ o(x) + x + o(x )5x5原式=lim2limx2x 二-X? 0Qv 亠 c/vo(x)33 +x3x+ o(x)二、极限的简单计算1.代入法：直接将x > X0的X0代入所求极限的函数中去，若 f X0存在,54即为其极限，例如lim 2X -33X 竺=?；若f X。不存在，我们也能知道属 I3x3 +2x +493x3 2x 4于哪种未定式，便于我们选择不同的方法。例如，lim9就代不进去了,T X3我们看出了这是一个0型未定式，我们可以用以下的方法来求解。02. 分解因式，消去零因子法例如，lim -9

31、= lim x 3 = 6。x _33. 分子（分母）有理化法、x25 - 3 . x253、2x T .5例如，1叭1 I；lxr 、2x 1 -、5 *2x 15 X253x2 -4 =linx 2 2x -4x 2 x - 2 linx 22 x _ 2又如，lim . x21 - x 二 limx:4.化无穷大为无穷小法1lim= 0x 、2r 卞x十1十X2例如，lim x2+ x-_ = |mx 2x - x+ 4 xc 173 +-2xx_14一 +飞x x2，实际上就是分子分母同时除以x2这个无穷大量。由此不难得出ma°x1 axamn 4哩 b°xn +d

32、xnf + +bn=1 ,（分子分母同除 x）Oa0b°n ： m_ 1再如，iim=n=limD 1 ,(分子分母同除5n )。 93n +5n 5(3 Yl5 丿 +15. 利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，iim X arCtan X 1 = 0，(无穷小量乘以有界量)。3x +x + 14x _1又如，求Iim .心 x2 +2x3解：；lim(x2，2x-3) =0,商的法则不能用X :12口x2+2x 3 0又 lim(4x-1) =3 =0,. Iim0.J17 4x-13由无穷小与无穷大的关系,得Iim 24x"-：.1 x2 +2x-3再如，等

33、价无穷小量替换求极限的例子见本节例3例5。6. 利用两个重要极限求极限(例题参见§ 1.4例3例5)7. 分段函数、复合函数求极限例如，设f(x) = *1 -x, xvO2,求 Iim f (x).、X2 +1, x£0 T解：x=0是函数的分段点，两个单侧极限为Iim f(x) =lim (1 x) =1, Iim f(x)二 Iim (x2 1) 1,x )0 x0 x 0x >0左右极限存在且相等,故limf(x)=1.【启发与讨论】2y(Xo) =2k,当k充分大时，y(x°)M.无界,22k 二(k =01,2,3,)当k充分大时 凶：、；，但y

34、(xj=2k二sin 2k二=0 ： M .不是无穷大. 结论：无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.思考题2：若f(x) 0，且lim f(x)二A，问：能否保证有A 0的结论？试举例 说明.解：不能保证.例f (x) =1-x 0,xf (x- . 0 lim f (x)二x乂1 lim A = 0.X ”: x思考题3：任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能.例如当X:时f (x !, g(x-Sinx都是无穷小量xxlim sinx不存在且不为无穷大,故当小-时f (x)和g(x)不能比 x_.【课堂练习】求下列函数的极限Xe -cosx(1) limT XXXe co

35、s x e 11 - cos x A解：原极限= limlimlim1xTXT x T X3sin x + x2 cos(2) 求 limx(1 cosx) ln(1 x) 【分析】“ 0 ”型，拆项。0( 2 13sinx+x cosX= limxT( 2 1 c .x cos3sin x 丄x2x2x2xI)I)解：原极限= limxT5,425x 4x 3x ；32(3)xm 2X5-4X 1【分析】“抓大头法”，用于二型QO5+4Q +解：原极限= lim 宀2_44 + 5x xx32，或原极限=5x5xim711x12(4) lim G，x2x -x);【分析】分子有理化X.解：原

36、极限= Jim j 2+ + = xmX X Xx21 、（5）肌（口-口）【分析】：-：型，是不定型，四则运算法则无法应用，需先通分，后计算。2xIx x - 2 x ' 1解牛：lim(p)=lim 2=limT x 4 x27 x 4x+22x2 2x1 、. x-x -2 x 13叫x2 9一34【分析】“0 ”型，是不定型，四则运算法则失效，使用分母有理化消零因 0子。解：原极限=llm x? x 9 3 =6T x212n、（7）求 llm （222）.n Y nnn解：n：:时,是无穷小之和.先变形再求极限.llm (丄nr： njlm1 2 2 nn i n1(n 1)

37、 二llm 22 n+n2=llm 1(1 丄)nr：2n 2【内容小结】一、无穷小（大）的概念无穷小与无穷大是相对于过程而言的.1、主要内容：两个定义；四个定理；三个推论.2、几点注意：（1）无穷小（大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷 小的数；（2） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小 .（3）无界变量未必是无穷大.二、无穷小的比较：1. 反映了同一过程中，两无穷小趋于零的速度快慢，但并不是所有的无 穷小都可进行比较。高（低）阶无穷小；等价无穷小；无穷小的阶。2. 等价无穷小的替换：求极限的又一种方法，注意适用条件.三、 极限求法（不同类型的未定式的不同解法）；a.

38、 多项式与分式函数代入法求极限b. 消去零因子法求极限；c. 无穷小因子分出法求极限；d. 利用无穷小运算性质求极限；e. 利用左右极限求分段函数极限等价无穷小在求函数极限中的应用及推广 前言设f在某llm f（x） =0 则称f为当x沧时的无穷小量x %设当x > Xo时，f于g均为无穷小量若limi丄凶=1则称f于g是当xt Xo时的等价无穷小量。记作X 汪 g(x)f(x) g(x)(x > Xo)一、等价无穷小在求函数极限中的应用1求函数的极限技巧很强，可利用无穷小等价的关系，简化了求某些 的极限的计算 引理 设函数f (X)， f (X)满足下列条件: 在a的某个去心邻域

39、内均有非零导数lim f (x) = 0(1) Limf (x)=0, X >a(2)limx > af (X)f (X)f(x)In (1 f(x)dlim1 lim1Tf(x)Tln (1 + f(x)(3) 当 f (x)，丽 >0时，lim 匕丄=1 ln f(x)证明由洛比塔法则；limx a辿f(x)limx > af (X)lim ln(1 f(x) . Hm丄凶才x 旧 In(1f(x) x a 11 f (x) f (x)ln f (x) f (x) f (x)lim=lim .1,证毕X)aln f (x) xa f (x) f (X)定理1设函数f

40、(x),g(x) 及帀，丽满足下列条件：(1)在a的某去心邻域内均有导数(2) 在x * a时，均为无穷小量,血匸凶limiH f (x), f g(x)1 ,于是； 1若 lim 卩 g(x) f(X)=1, limx 】a11 g(x) lf (x)(2) 若 f(x), f (x) >0,且 lim f (x)%)= t,则 lim f (x)g(X) = t证明由引理(1)ln 1 g(x)l limx)af (x)ln=lim x 0上呵* 亘* ln k+g(x)_lim ln 十丽1+丽帀* 丿 * f (x) f (x) In1 _ 故lim 1 g(x)心-lim 1

41、g(x)1帀=lg(xV ln f (x)*lim g(x)ln f (x)g(x) ln f (x) x)a(2) lim g(x)ln f(x)=lim g(x)ln f (x)* t、g(x)故 lim f(x)gg =lim f (x =t如果我们能熟记一些符合定理条件的一些无穷小量，则在求某些0:1：:型的极限时将很方便.如Xr 0时,x,sin x,tanx,ex_1,ln(1 - x)等,均为无 穷小量,且(si n x)limlimcosx=1x_0xx_0(ta n x )1limlim 厂=1x0x x0 cos xex-1xlimlim e =10x x 0Bn (1+x

42、)"”1limx_0例1=lim1xx7 ix求下列函数的极限32lim(1 x)cotx,(2)lim 1 tanx',(3)lim 1 -sinx x0x)0x 】041x _-(4)lim( x e )x,(5)lim 1 ln 1 xsin x1 1解 (1) 原式= lim 1 x 面= lim 1 x ' = e x=0x )03原式-xmu+x)x)0-22 _(3)原式=lim 1 - x x =lim 1 -xf0 |l_41(4) 原式=lim p ex -11 x =女叫 2x 1 x = ex1(5) 原式=lim 1 x x = e0例2求下

43、列函数的极限xO更-xsin xsinx(1) lim cosx 2 ,(2) lim x ,(3) lim tanxXJ0 .x 0 -1d吧山曲-x佝吧6lim sin 二 x(1)原式='二 2,(6) lim tanx 2x_' x孑2yylim sin y lim y = 1y_P y_p -y(其中，y =二 一 x)2(2)(3)甘亠 lim x原式=x 0一 ,lim x原式=x'sin xlim xx_0 '二 11Tnx(4)(5)原式m tanx lnxpm；tan xxlim x = limx =1 原式=x旷x 0'2y-tan

44、 x1lnxln x _Jlim ee0 -2 y2yPm tany pm"原式=xim0 cotyJIy 二-x （其中 2）所谓等价无穷小，是指在同种变化趋势下，:和如果lim =1，那么和1是等价无穷小，记: -a(6)一：都是无穷小，且:-0,这意味着在这一极限过程沁=1, lim以当Xr 0时，x,si nx,ta nx都是等价无穷小，即 常 见Xxsix x nx xan x x, exx a-rax 1 c2xto2ns a中，和趋近于零的速度基本相同。例如因为lim0 x 'osin x x, tan x x。式 有 ： x 0x） . 1 x 11 1<

45、; n2J0 旳2对不定式极限0,型的计算0旳ab是无穷小且b 则定理2lim a =limb若在同一极限过程中，ra_-型未定式可以施行等价无穷小替换来计算极限。但是这种替换该定理表明，对0只限于整个分子（分母）及其乘积因子，当分子或分母为代数和时，对其中的项 却不能随意作等价无穷小替换。例如：tan x sin xlim 3求极限x 0 sin x 时，sinxx，tanxx对原式作无穷小替换将导致错误的结lim 3 0果：原式=x 0 x(正确结果为2 )例3 因为当Xr 0 时 sin x x tanx lim ln tan 7x ln tan 2x,tan7x7Inln 7x解 原式

46、Tim7x=lim= lim = 1Tln tan2x +n2x x_°)o+|n2x 7 2例412x2xlimsi nx_0x Intan2x zv解1Insin x lim_ex 0ntan2xln sinx11 1ill 1 /Vlimx二 e2xlimsi nx_0x Intan2x使用等价无穷小，当Xr 0 时 sin x x, tan x xIn xf ( lim 彳上式=ex 0jn2x = e =e例 5 求 |imIn(tan( O?)7 In si n( (1 cosx)解 它是二型，按以前的求极限方法，它是不能用等价无穷小来代替，用洛必达Q0法则计算ta n(

47、1 +2x_1)6) sec2 (&1 +2x_1)6 )6(j1+2x1)51原式=lim很显然，这个题目直接用洛比达法则求解太繁，我们考虑函数中使用等价无穷小进行化简。注意到：当x > 0时，有Z?alCiCitan(、1 2x -1) (、1 2x-1) (?(2x)二 xsin(1 -cosx)3)(1cosx)3 ( J3 = 1 x62 8ln (tan(、一厂-1)6)原极限=limx 3lim 61T(si n(1 -cosx)3) 1 6、 7 I nx6-1 n8InIn( x )1 6 8x8可见，对一些无法直接使用等价无穷小的极限式直接使用洛比达法则，会造

48、成计算量大而且通过对函数式的构造变换，再使用等价无穷小，就很容易求得答案了。 3数列极限的若干计算法(1)极限的四则运算法则若an与bn为收敛数列，则an bn， a. - g， an *bn也都是收敛数列，3 -132sin(1 - cosx) ) cos(1-cosx) )3(1-cosx) sin x二1x6In x6In x6其有lim( an 二 bn) =lim an 二 bn n_ jn K.：lim( an bn) = lim an lim bn n_例6n n_sc求 lim 总、n -1 - , n)n_j:解苗(Jn 1 苗)=尸=+Vn1Vi1 由 11( nr'

49、;)n得lim 亦(Jn +1 -扁)=lim =-n n_j:1 2 1亠一T（2）利用重要极限求数列的极限1 n= 1,（2）nim（1 ；）二e两个重极限分别为（"limJEx 例 7 求 lim（1 2）n n- ''n2解 lim(1 )n= lim 侯1.'1 4a2 2即11 4a即 ngn2（4）利用定积分计算计算项数无限增多的无穷小量之和，有时可设法把问题化为某一函数在某一区间 上的积分和的极限问题，从而利用定积分求解。有时问题呈现乘积的形式，也可 试用本方法，只式要先取对数将问题转化为和的形式。例 9 计算 lim 1 n（ 2n）!SY n!n并n 单调有界数列法这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为:（1）判定数列是单调有界的，从而可设其极限为A。（2）建立数列相邻