【新教材教案】6.2.4第1课时向量的数量积的物理背景和数量积教学设计(1)人教A版必修第二册

1、6. 2.4向量的数量积第1课时向量的数量积的物理背景和数量积教材分析本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修第二册（人教A版）第六章平而向量及其 应用，本节内容教材共分为两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量 积的运算律,本节课是第一课时，本节课主要学习平面向量的数量积的定义、投影向量、数量积的性 质。向量的数量积是继向量的线性运算（加法、减法、向量的数乘）后的又一种新的运算，它的内容很 丰富。包括定义、几何意义、性质与运算律，而且在物理和几何中具有广泛的应用。向量数量积是代 数、几何与三角的结合点，很好地体现了数形结合的数学思想。但它与向量的线性运算有着本质的区

2、别，运算结果是一个数量。教学重难点教学目标与核心素养课程目标学科素养A.理解并掌握平面向量的数量积的定义、投影向量；L数学抽象：数量积的定义；B.会求平而向量的数量积、投影向量：2.逻辑推理：数量积的性质：C.熟记平面向量数量积的性质；3.数学运算：求平面向量的数量积：D.能运用数量积的性质解决问题：E.通过数量积的引入和应用，初步体会知识的发生、 发展的过程过程，培养学生的思维习惯。4.直观想象：投影向量。1.教学重点：平而向量数量积的定义及投影向量：2.教学难点：平而向量数量积的定义的理解和对数量积的应用。课前准备多媒体教学过程教学过程教学设计意图核心素养目标一、复习回顾，温故知新L向量的

3、数乘的定义：【答案】一般地，我们规定实数力与向量的积是一个向量，这种运 算叫做向量的数乘，记作,它的长度与方向规定如下：1 1) 1 Aa 1=1 A Ik/1 ：(2)当几0时，的方向与的方向相同：当/IvO时，/iZ的 方向与Z的方向相反。2 .向量的数乘运算律：【答案】设3、B为任意向量，几、4为任意实数，则有：.f一(1)(2) (4 + )4 = Aci + paTrr一(3) A(a+b) = Aa+Ab二、探索新知思考1： 一个物体在力F的作用下产生的位移s,那么力F所做的功应当怎样计算？户I【答案】VV=IFII5lcosa城5思考2：功是一个矢量还是标量？它的大小由那些量确定

4、？【答案】标量，大小由力、位移及它们的夹角确定。通过复习上节 所学知识，引入本节 新课。建立知识间的 联系，提高学生概 括、类比推理的能 力。通过思考，由物 理知识引入本节知 识，提高学生的解决1 .向量的夹角的定义：7已知两个非零向量而，0是平面上的任意一点，作3=1,方=2则= e o a A（0 e4）叫做向量和坂的夹角。显然，当8 = 0时，。和.同向：当8 =4时，。和反反向。如果和B的夹角是e=,我们就说Z和B垂直，记作 2思考3：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？【答案】功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积：两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。=

5、 | a | b cos62 .数量积的定义：已知两个非零向量房口九它们的夹角为e,我们把数量iZii由cose 叫做向量和5的数量积（或内积）,记作。A，即4 Z欧4 IIZ I COS6。规定：零向量与任一向量的数量积为6 0说明：（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角 决定.（2） 中间的在向量运算中不能省略掉，也不能换成“X”；问题、分析问题的能 力,通过思考，建立 知识间的联系，提高 学生分析问题、概括 能力。（3）运用数量积公式时，一定注意两向量的夹角范围是0口，180 o思考4.向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候 为负？【答案】当0。W0 90。

6、时，73为正：当 90。 0 当。为悦角(图6. 22K1D时,函与e方向相问4T函所以ObVfj= |QVfi ,=|0 Icostfe；当。为直角(用6.221(2)时，1=6所以OM*=9=a门当。为钝角(图6221(31)11孔 曲与0方向相反$所以X = 一|QM*| =-IqIcqs/MOMi =|a|ros(x- 则：(1) a e = e , a =1 a I cos。，(2) a l.b a b = 0(3)当向量共线同向时,a-b=ab当向量73共线反向时，a-b = -abo特别地， 7 (4) a-bab牛刀小试：1 .已知在A48B，丽=7元=2当/0或花=0时，试判

7、断AA8C的形状。【答案】当7石 。时，AABC为钝角三角形；当通过探究，让学7坂=0时，a48c为直角三角形生由投影向量来推 导数量积的性质，掌 握知识间的联系，提 高学生的理解、概括 能力。通过练习进一步理 解数量积的性质，提 高学生解决问题的 能力。三、达标检测1 .在中，BC=5, AC=S, ZC=60c ,则比&=(【解析】icos 120 =5X8X1-yj=-20.通过练习巩固本日所学知识，通过学生【答案】解决问题的能力，感D. -2OV5悟其中蕴含的数学2 .设刈，义是两个平行的单位向量.则下面的结果正确的是（A. e】 2=1B. e 62= -1思想，增强学生的应用意识。

8、C.同匐=1D. |ei ei|l【解析】 1 S = ki|cos=l.【答案】c3 .在,：!5c 中，,店=，BC=b,且 6 =0,则.（7是（）A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.无法确定【解析】 在45。中，因为ba=O,所以6_La,故AIBC 为直角三角形.【答案】c4 .己知|=6,为单位向量，且的夹角，为45二 求向量Z在二 上的投影向量。【解析】向量7在上的投影向量为1 a 1 cos% = 6cos45 e = 3l2e o四、小结1 .向量的数量积的定义；2 .投影向量：3 .数量积的性质；五、作业习题6.2 10,18题通过总结，让学生 进一步巩固本节所 学内容，提高概括能 力，提高学生的数学 运算能力和逻辑推 理能力。教学反思通过本节.课的教学,我有以下几点体会：(1)让学生经历数学知识的形成与应用过程高中数学教学应体现知识的来龙去脉刨设问题情景, 建立数学模型，让学生经历数学知识的形成与应用，可以更好的理解数学概念、结论的形成过程，体会 蕴含在其中的思想方法，增强学好数学的愿望和信心。对于抽象数学概念的教学,要关注概念的实际 背景与形成过程,帮助学生克服机械记忆概念的学习方法。(2)鼓励学生自主探索、自主学习教师是学生学习的引导者、组织者，教师在教学中的作用必须 以确定学生主体地位为前提，教学过程中要发扬民主，要鼓励学生质疑，