《高级微观经济理论》第15-16章习题.

1、高级微观经济理论第15-16 章习题解：本题目是在已知两个消费者效用函数和禀赋的条件下求提供曲线的问题。根据题设已知两个消费者的效用函数为：U( X11, X21) X aX1 a， U( X12, X22) X bX1 b1112121222各自相应的初始禀赋为（w ,w ）（w ,w ）1121，1222题目要求均衡的价格比率， 为此先求出两个消费者的提供曲线。提供曲线是在价格变化时单个消费者效用最大化点的轨迹，为此我们建立如下最大化问题拉格朗日方程，先考虑第一个消费者：MAXU1( X11, X21)X11a X 211aSt P X11P X21P wP w21121112求解此最大化

2、问题得：X11a( P1 w11P2 w21) / P1X 21(1a)( P1w11P2 w21 ) / P2所以第一个消费者的提供曲线就表示为OC1 (P)（a( Pw111，a)(P1w11）P2w21) / P1(1P2w21 ) / P2同理，第二个消费者的提供曲线可以表示为：OC2 (P)（b( Pw，b)( P1w12）P2w22 ) / P1(1P2w22 ) / P2112为了求得均衡时的价格， 还需利用均衡时两种商品是出清的特点，以商品 2 为例，商品 2 的总需求为：(1a)( PwP w ) / P(1b)( PwP w ) / P11122121122222商品 2

3、的总供给为：w21 + w22由总供给等于总需求可得均衡时的价格比率为：P1* / P2*aw21bw22(1a)w11(1 b)w12将此均衡价格比率带入到提供曲线中即可得在此均衡价格下的均衡配置，a, (11aOC1 (P)(w11w21bw11w22(1 b) w21w12 )( aw21bw22a)w11(1 b)w12)b, (11bOC2 (P)(w12w22aw21w12(1 a)w11w22 )( aw21bw22a) w11(1 b) w12)最后看以上几项怎样随着w11 的变化而变化：(P1* / P1* ) / w110OC11（ P*）/ w110OC21（ P* ）/

4、 w110OC12（ P*）/ w110OC22（ P*）/ w110( x11212) 3 x212 )1u1( x11, x21 )(2 , w 1(1,0)3712)3 x122x222 )1u2 ( x12 , x22 )(2 , w2(0,1)37x11 p1x21 p2p1x21 p1x22 p2p2x11x121我们可以令 p2 =1，于是，这个式子可以写为x11 p1x21p1x21 p1x221下面就是求 x11与 x21 之间的关系， x12与 x22 之间的关系Maxu1 ( x12 , x22 )s.tx11 p1x21p1令 F u1( x11 p1x21p1) 则F

5、0x11F0x21u1p1x12u1x22,u1所以，x11 =p1u1x21由题意有u1Ax113x11,其中， A 是相同的部分u1A(12 )3 x213x2137121求出 x21p13 x1137再带入 x11 p1x21p1x11p11p112 p13得到37412 p13x2137112p1p1337同样地，我们可以求出x21，x22 之间的关系Maxu2 ( x12 , x22 )s.tx12 p1x221令 F u2( x12 p1x221) 则F0x12F0x22u2p1u2x12x12我们有p1uu22x22x22u2B(12)3 x3x123712其中， B 是相同的部

6、分u2Bx223x22（123x 223p137）（x12）1x2237 p13 x12 ,再由 x21 p1 x22 1，得到12x1211p137 p131237 p13 1x22121373p112p1我们知道 x11x121p11+1111237于是， p1p13p1p1337121x31令 p13x ,我们得到+1 ,得到 ( x 1)(3x 4)(4 x 3) 0x312 xx337 x3712所以， x 1或 x4 或 x334p11或 p164 或 p1272764p11或 p164 或 p127p2p227p264当两种商品的价格都为正时，两个消费者的提供曲线是OC pp ,

7、 pbxp , xbR 2 : xpxb；OC pp , pbxp , xbR2 : xpxb1 2。在p 30, b0, p0, b 20 的情况下没有内点解，不会发生交易。在 p30, b0, p0, b20 的情况下，根据Walras 定律，有：pp xppb xbp p p30 pp ， pp xppb xbpb b20 pb当 pp0且 pb0 时， pp xp0 xp0 ， pb xb20pbxb 20 。在均衡配置下， xp1/212会取 u12，即 会选择全部消费需要 20 ，否则 uMin xp , xbxb自己已持有的商品b，不会与 进行交换；当 pp0且pb0 时， pp

8、 xp30 ppxp30 ， pp xp0x p0 。在均衡配置下， xb 需要 p ，否则 uMinxp , xb会取 uxp ，即 会选择全部消费自己已持有的商品p，不会与 进行交换；当两种商品的其中一种的价格为零，提供曲线是：xp ,0 : xp0if pp0且 pb0,OCpp , pbp , xb: xbp if pp 0且 pb 0.xp, 20 : xp201 2 if p 0且 p 0,OCp p , pbpb0, xb: xb0if pp0且 pb0.所有的均衡点在埃奇沃斯盒的边界上，均衡价格比是pppb0 ，均衡配置是30 xp ,0 , xp ,20 : 201 2xp

9、30 。（ 0 30 xp 30 201 2 ，均衡点都在横轴涂黑实线上。）在 p5, b0,p0, b20 的情况下，根据 Walras 定律，有内点解961,961, 5961 ,20961 （解方程组22222xb=xp, xb=-(xp-5) +20 而得）在当两种商品的其中一种价格为零的情况下，pp xppb xbpp p5pp20 xbxbxp5pp xppb xbpb b5 xp xpxb=2020 pb，边角均衡的价格比是pppb0 ，内点均衡配置是5, xb, 0,20xb:5xb20当 p 从 30 降到 5 后， 的效用水平增加， 的效用水平降低，不论均衡点在内部还是在边

10、角上，这是因为当p30时，商品 p 相对于商品 b 来说太充足，其均衡价格为 0，商品 b 是交换经济中至关重要的禀赋。当 p 5 时，商品 p 足够稀缺以至于其产生了正的价格， 对两种商品的消费也就有了正数量。商品 b 的价格可以降到 0，在这种情况下他会消费经济中所有的禀赋。1由于生产函数为 f (z)z2，且劳动总禀赋 L 1 ,代入效用函数 u( x1 , x2 )ln x1ln x2 可得：11u( z2 ,1 z)ln z2ln(1z)求一阶导数可得：1112z1z0 ，所以 z3假定产出价格p1，由利润最大化条件可得：1maxf ( z)wz z2wz求一阶导数可得： 1 z11

11、12w 0 ，从而代入 z得， w 32 / 2231所以均衡利润1/ (232 )1同时可知，均衡消费为(1/ 3)2 ,2 / 3)证明：可以加强斯托珀 萨缪尔森定理的结论， 即证明密集要素价格上升的比例要大于产品价格上升的比例。证明：由命题 15.D.1 可知设 w=（w1,w 2）为要素价格向量cj （ w）代表生产单位产品j 的最小成本aj（ w）=（a1j（ w）， a2j （w）代表这一最小成本达到时的投入组合。给定不变规模报酬的假设， （w1* ，w2* ）成为内点均衡中的要素价格的必要条件是c1 （w1， w2）=p1（ 1）c2 （w1， w2）=p2（ 2）又由谢波德引理

12、可知cj (w)(a1 j (w), a2 j (w)所以将（ 1）、（2）式全微分可得写成矩阵形式为又设产品 1 的生产比产品 2 相对更多地密集了要素1，所以有a1 1( w)a1 2( w)a2 1( w)a2 2( w)可知假设 p1 上升而 p2 保持不变，那么可知 dp2=0， dp1>0 所以d w1( a2 2( *w ) / A ) d 1 pp 1a*a 2(*1 (1 w ) w 11 w ) w 2最后可证证毕。（ 1）根据分散决策 15.D.1 和 15.D.2f j ( z* )wl*Pjzljzlj*zlj根据利润最大化条件有1P1 f1w1z11w2 z2

13、12(z11 )1/2( z21 )1/2w1 z11w2 z2111w10z11z11110z212w2z212P2 f 2w1 z12w2 z22( z12 )1/22( z22 )1/2w1z12w2 z22210z122w1z1221w20z22z22根据上述式子可得：2z21z22w1z112z12w2另由于 z11 +z12 =z1 ， z21 +z22 =z2*4z1*z1*z2*4z2*5*5从而 z115, z125, z215, z225， w12 z1, w22 z2（ 2）社会计划者决策MaxPj f j ( zj )( xi ,., x j) 0js.tz jzj建立拉格朗日函数L=P1 f1P2 f 21( z1 -z11-z12 )+2 (z2 -z21-z22 )L110z11z11L120z212z21L110z122z12L120z22z22Lz zz01- 11-121Lz