中考专题中线倍长法及截长补短

1、实用标准文案几何证明中常用辅助线(一)中线倍长法 :例 1 、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。已知：如图，ABC 中， AD 是 BC 边上的中线，求证： AD 1(AB+AC)2分析：要证明 AD 1 (AB+AC) ，就是证明 AB+AC>2AD，也就是证明两条线2段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点， 没有构成一个三角形， 不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论 AB+AC>2ADA中，出现了 2AD ，即中线 AD 应该加倍。证明：延长 AD 至 E，使 DE=AD ，连 CE，则 AE=2AD 。

2、在ADB 和EDC 中，BDCAD= DEEADB= EDCBD= DCADB EDC(SAS)AB=CE又在ACE 中，AC+CE AE1AC+AB 2AD ，即 AD (AB+AC)小结： (1) 涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边AB 、AC 和两个角BAD 和CAD 集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。课题练习:ABC 中， AD是BAC的平分线，且BD=CD，求证AB=ACA文档大全BCD实用标准文案例 2:中线一倍辅助线作法AAABC 中BC 方式1：延长 AD到E，BDCDAD 是 BC 边中线使 DE=AD ，E连接

3、BE方式 2：间接倍长文档大全实用标准文案AAFMBDC 作 CFAD 于 F，BDC延长 MDEN到 N ，作 BE AD的延长线于 E使DN=MD，连接 BE连接 CD例 3 ：ABC 中， AB=5 ，AC=3 ，求中线AD 的取值范围文档大全实用标准文案例 4 ：已知在 ABC 中， AB=AC ， D 在 AB 上， E 在 AC 的延长线上，DF=EF ，求证： BD=CEDDE交BC于F，且ABFCE课堂练习：已知在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是AD 上一点，且 BE=AC ，延长 BE 交 AC 于例 5：已知：如图，在ABCAB AC，D 、E 在 BC

4、 上，且 DE=EC ，B中，B过 D 作 DF / BA 交 AE 于点 F， DF=AC.求证： AE 平分BACAFAEFDCDEC第1题图文档大全实用标准文案课堂练习：已知CD=AB ，BDA= BAD ， AE 是ABD 的中线，求证： C= BAEABCED作业：1 、在四边形ABCD 中， AB DC ， E 为 BC 边的中点， BAE= EAF， AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线段AB 与 AF 、 CF 之间的数量关系，并证明你的结论ADBECF文档大全实用标准文案2 、已知：如图，ABC 中，C=90， CMAB 于 M ， AT 平分BAC 交 CM 于

5、D ，交 BC于 T，过 D 作 DE/AB交 BC 于 E，求证： CT=BE.AMDBETC3 ：已知在 ABC 中， AD 是 BC 边上的中线， E 是 AD 上一点，且BE=AC ，延长 BE 交 ACA于 F，求证： AF=EFFEBDC文档大全实用标准文案4 ：已知 CD=AB ，BDA= BAD ，AE 是ABD 的中线，求证： C= BAEABCED5 、在四边形ABCD 中， AB DC ， E 为 BC 边的中点， BAE= EAF， AF 与 DC 的延长线相交于点 F。试探究线段AB 与 AF 、 CF 之间的数量关系，并证明你的结论ADBECF文档大全实用标准文案（

6、二）截长补短法例1. 已知，如图1-1 ，在四边形ABCD 中， BC AB， AD = DC ， BD 平分ABC.B求证： BAD+ BCD=180 °.分析： 因为平角等于180 °，因而应考虑把两个不在一起的通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造直角三角形，可通过“截长补短法”来实现 .证明： 过点 D 作 DE 垂直 BA 的延长线于点E，作 DF BC 于点 F，如图1-2BBD 平分ABC，DE= DF，在 RtADE 与 RtCDF 中，DEDFADCDRt ADE RtCDF(HL),DAE= DCF.又BAD + DAE=18

7、0 °，BAD + DCF=180 °，即BAD + BCD=180 °ADC图 1-1EADFC图 1-2文档大全实用标准文案例2.如图 2-1 ， AD BC，点 E 在线段 AB 上， ADE= CDE，DCE= ECB.求证： CD= AD+ BC.AEB例3.已知，如图 3-1 ，1= 2 ，P 为 BN 上一点，且 PDBC 于点 D， AB+ BC=2 BD .求证： BAP+ BCP=180 °.A12B图 3-1DC图 2-1NPDC文档大全实用标准文案例4.已知：如图 4-1 ，在ABC 中，C 2B，12.求证： AB= AC+ C

8、D.A1 2BDC图 4-1文档大全实用标准文案作业：1 、已知：如图，ABCD 是正方形， FAD= FAE. 求证： BE+ DF = AE.ADFBCE2 、五边形 ABCDE 中，AB= AE，BC+ DE= CD，ABC+ AED=180 °，求证： AD 平分CDEABECD（三）其它几种常见的形式：文档大全实用标准文案1、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例： 如图 1 ：已知 AD 为ABC 的中线，且1 2,34,A求证： BE CF EF。NEF1234BDC图12 、有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：如图

9、 2 ： AD 为ABC 的中线，且 1 2 ，3 4 ，求证： BECF EFAEF12 34CBDM图2文档大全实用标准文案练习：已知ABC ，AD 是 BC 边上的中线，分别以AB 边、 AC 边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证 EF2AD 。EFABDC图43 、延长已知边构造三角形：E例如：如图 6：已知 ACBD ，AD AC 于 A ，BCBD 于 B，求证： AD BCABODC图 64、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解文档大全实用标准文案决。例如：如图 7 ：AB CD ，AD BC求证： AB=CD 。AD1324BC图 75 、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 8：在 Rt ABC 中， ABAC ，BAC 90 °，12，CEBD的延长于 E 。求证： BD 2CE文档大全实用标准文案6 连